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Author: Orangerot <purple@orangerot.dev>
Date: Sat, 28 Jun 2025 22:18:42 +0200
feat(ggg): exam solutions for chapter 6
Diffstat:
| M | ggg/ggg-cards.typ | | | 243 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------- |
1 file changed, 211 insertions(+), 32 deletions(-)
diff --git a/ggg/ggg-cards.typ b/ggg/ggg-cards.typ
@@ -1943,17 +1943,35 @@ komplexen Erweiterung?],
#card(
question: [Erklaren Sie das hyperbolische Modell der hyperbolischen Ebene !],
answer: [
-
+ Im hyperbolischen Modell wird ie hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ durch die
+ obere Schale des zweischaligen Hyperboloids $cal(O) : bold(x)^t H bold(x) =
+ [x, y, z] mat(1,,;,1,;,,-1) vec(x,y,z) = -1, z > 0$ im $bb(R)^3$
+ dargestellt. Der asymptotische Kegel $cal(K)$ von $cal(O)$ hat die Gleichung
+ $cal(K) : bold(x)^t H bold(x) = 0$ und ist in der Abbildung rot gezeichnet.
])
#card(
question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
answer: [
-
+ In diesem Modell sind die hyperbolischen Geraden durch die nicht leeren
+ Schnitte von $cal(O)$ mit den zweidimensionalen linearen Unterräumen des
+ $bb(R)^3$ gegeben. Es sind Pyperbeläste auf $cal(O)$.
])
#card(
question: [Was sind die hyperbolischen Abbildungen in diesem Modell?],
answer: [
-
+ Die regulären linearen Abbildungen des $bb(R)^3$, die $cal(O)$ auf sich
+ abbilden, und ihre Vielfachen repräsentieren die hyperbolischen Abbildungen,
+ wen wir sie auf $cal(O)$ beschränken und die Vielfachen der $bold(x) in
+ cal(O)$ als homogene Koordinatenvektoren für die Punkte des $cal(H)^2$
+ auffassen. Zu diesen linearen Abbildungen gehören under anderem Rotationen
+ um die z-Achse und Spiegelungen an Ebenen durch die z-Achste.
+
+ Die hyperbolischen Abbildungen werden durch die Matrizen $A$ repräsentiert,
+ für die $A^t H A = rho H$ mit $rho > 0$.
+
+ Da der Kegel $cal(K)$ durch die Gleichung $bold(x)^t rho H bold(x) = 0$
+ gegeben ist, stellen die linearen Abbildungen, die den Kegel auf sich
+ abbilden, die hyperbolischen Abbildungen dar.
])
#card(
question: [Nennen Sie einfache Beispiele für hyperbolische
@@ -1965,24 +1983,48 @@ Abbildungen in diesem Modell !],
#card(
question: [Wie ist das Klein-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?],
answer: [
-
+ Aus dem hyperbolischen Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir durch
+ die Zentralprojektion $pi: bb(R)^3 \\ {bold(o)} -> {vec(bold(x), 1) |
+ bold(x) in bb(R)^2}, vec(bold(x),z) |-> vec(bold(x)/z, 1)$, das Klein-Modell
+ der hyperbolischen Ebene. Die Zentralprojektion $pi$ bildet $cal(O)$ auf die
+ offene Einheitskreisscheibe $cal(D) : x^2 + y^2 < 1, z = 1$ ab.
])
#card(
question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
answer: [
-
+ Hyperbolische Geraden in bildet die Zentralprojektion $pi$ auf die geraden
+ Strecken, die sich ergeben, wenn die Scheibe $cal(D)$ mit den
+ zweidimensionalen Unterräumen des $bb(R)^3$ geschnitten wird.
])
#card(
question: [Was sind die hyperbolischen Abbildungen in diesem
Modell?],
answer: [
-
+ Unter der Projektion $pi$ werden die linearen Abbildungen des $bb(R)^3$ und
+ ihre Vielfachen je zu einer linear rationalen Abbildung der Ebene $z = 1$,
+ das heißt, dass eine lineare Abbildung und ihre Vielfachen eine projektive
+ Abbildung der linearen Abbildung auf $cal(O)$ entspricht der Beschränkung
+ der projektiven Abbildung auf $cal(D)$.
+
+ Folglich sind die hyperbolischen Abbildungen im Klein-Modell die auf
+ $cal(D)$ beschränkten Projektivetäten der Ebene $z=1$, die $cal(D)$ bzm.,
+ wenn nicht beschränkt, den Kreis $pi cal(K) = "Rand" cal(D)$ auf sich
+ abbilden.
])
#card(
question: [Wie sind Entfernungen definiert?],
answer: [
-
+ Eine Strecke $bold(x y)$ hat die Länge $"dist"(bold(x), bold(y)) = abs(log D
+ V [bold(x y) | bold(a b)])$ wobei $bold(a)$ und $bold(b)$ die Fernpunkte der
+ hyperbolischen Geraden $bold(x y)$ sind. Man beachte, dass die Vertauschung
+ der Punkte $bold(a)$ und $bold(b)$ oder der Punkte $bold(x)$ und $bold(y)$ das
+ Doppelverhaltnis invertiert und daher nur das Vorzeichen seines Logarithmus
+ ändert.
+
+ (Der Rand der Kreisscheibe $cal(D)$ heißt Fernkreis. Er gehört nicht zur
+ hyperbolischen Ebene. Seine Punkte werden Fernpunkte genannt und die Punkte
+ außerhalb des Fernkreises Ultra-Fernpunkte. )
])
#card(
question: [Warum sind Entfernungen invariant unter hyperbolischen
@@ -1994,87 +2036,189 @@ Abb.?],
#card(
question: [Wie ist eine hyperbolische Spiegelung definiert?],
answer: [
-
+ Eine hyperbolische Spiegelung oder harmonische Homologie ist eine
+ hyperbolische Abbildung $bold(y) = Phi(bold(x))$ mit einer Fixpunktgeraden
+ $cal(P)$, bei der die Geraden $bold(x) union.sq Phi(bold(x))$ alle durch den
+ Pol $bold(p)$ zur Polare $cal(P)$ bezüglich des Fernkreis gehen. Es sind
+ also Perspektivitäten, die $cal(D)$ auf sich abbilden.
])
#card(
question: [Was muss man tun, um eine hyperbolische Spiegelung ais
euklidische Spiegelung anzusehen?],
answer: [
-
+ Betrachtet man den Pol $bold(p)$ als Fernpunkt einer euklidischen Ebene,
+ entspricht die hyperbolische Spiegelung einer Spiegelung der euklidischen
+ Ebene an $cal(P)$. Die Polare geht bei dieser Betrachtung durch den
+ Mittelpunkt von $cal(D)$.
])
#card(
question: [Wie geht man vor, um zu zeigen, dass jede hyperbolische
Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
answer: [
-
+ Bildet $Phi$ eine Gerade $cal(P)$ und einen Punkt $bold(r) in cal(P)$ auf
+ sich ab, bildet sie die Fernpunkte $bold(a)$ und $bold(b)$ von $cal(P)$ mit
+ den zugehöringen Tangenten des Fernkreis auf sich ab oder vertauscht sie.
+
+ Sie bildet dahre auch den Pol $bold(p)$ zu $cal(P)$ und die Gerade $cal(Q)$
+ durch $bold(p)$ und $bold(r)$ auf sich ab. Da $Phi$ durch die Bilder der
+ Fernpunkte von $cal(P)$ und $cal(Q)$ bestimmt ist, kann $Phi$ nur die
+ Identität, die Spiegelung an $cal(P)$, die an $cal(Q)$ odie die Verknüpfung
+ dieser beiden Spiegelungen sein.
])
== Kreisverwandtschaften
#card(
question: [Was ist eine stereographische Projektion?],
answer: [
-
+ Eine stereographische Projektion ist eine Zentralprojektion vom Nordpol
+ $bold(n)$ einer Kugel aus auf die Tangentialebene am Südpol, die auf die
+ Kugel beschränkt wird und eindeutig jedem Punkt der Kugel mit Ausnahme des
+ Nordpols einen Punkt der Ebene zuordnet.
+
+ Für den Nordpol erweitert man die Ebene um einen gedachten unechten Punkt
+ $bold(k)$ und erklärt $bold(k)$ als das stereographische Bild von $bold(n)$.
+ (Durch $bold(k)$ wird die Ebene kompaktifiziert.) Die Kreise durch den
+ Nordpol werden durch die stereographische Projektion auf die Geraden der
+ Ebene abgebildet und ihnen eindeutig zugeordnet. Die Geraden heißen unechte
+ Kreise und sind genau die Kreise, die durch $bold(k)$ gehen.
+
+ #cetz.canvas({
+ import cetz.draw: *
+ import cetz.matrix: *
+
+
+ let xy = ((cos(20deg),cos(20deg),0),(-sin(20deg),sin(20deg),1))
+ // set-transform(xy)
+ line(mul-vec(xy, (-2, -2, -1)), mul-vec(xy, (2, -2, -1)))
+ line(mul-vec(xy, (-2, -2, -1)), mul-vec(xy, (-2, 2, -1)))
+ line(mul-vec(xy, (2, 2, -1)), mul-vec(xy, (2, -2, -1)))
+ line(mul-vec(xy, (2, 2, -1)), mul-vec(xy, (-2, 2, -1)))
+
+ circle((0,0), radius: 1, stroke: blue)
+ circle(mul-vec(xy, (0,0,1)), radius: 0.08, fill: red, stroke: none)
+ content((), text(fill: red, $n$), anchor: "south-west", padding: .1)
+
+ line(mul-vec(xy, (0,0,1)), mul-vec(xy, (1,0,-1)), mark: (end: ">"),
+ stroke: red)
+ circle(mul-vec(xy, (1,0,-1)), radius: 0.08, stroke: red)
+ circle((mul-vec(xy, (0,0,1)), 60%, mul-vec(xy, (1,0,-1))), radius: 0.08, stroke: blue)
+ })
])
#card(
question: [Warum sind stereographische Projektionen winkel-und
kreistreu?],
answer: [
-
+ Zum Beweis der Winkeltreue, sehen wir uns zwei Tangenten der Kugel in einem
+ Punkt $bold(p)$ an und dazu die Beiden Kreise durch $bold(p)$ und $bold(n)$
+ mit diesen Tangenten. Diese Kreise schneiden sich im Nordpol im gleichen
+ Winkel und die Tangenten im Nordpol sind parallel zu den Bildtangenten, da
+ diese beiden Tangentenpaare Schnitte der beiden Kreisebenen mit den
+ Tangentialebenen der Kugel im Nord- und Südpol sind. Das beweist die
+ Winkeltreue.
+
+ Kreise, die nicht den Nordpol gehen, werden auf Ellipsen abgebildet. Um zu
+ zeigen, dass diese Ellipsen Kreise sind, betrachten wir zu einem Kreis der
+ Kugel den Tangentialkegel, der die Gugel in diesem Kreis berührt. Die
+ Mantellinien des Kegels schneiden den Kreis orthogonal und werden auf
+ Geraden abgebildet, die alle durch das Bild der Kegelspitze gehen und wegen
+ der Winkeltreue das Bild des Kreises orthogonal schneiden. Deshalb kann das
+ Bild nur ein Kreis sein.
])
#card(
question: [Was sind Kreisverwandtschaften?],
answer: [
-
+ Kreisverwandtschaften sind bijektive Abbildungen, die Kreise und nur Kreise
+ auf Kreise abbilden. Beispielsweise sind stereographische Projektionen
+ Kreisverwandtschaften.
])
#card(
question: [Was ist eine Inversion an einem Kreis?],
answer: [
-
+ Jeder echte Kreis $cal(K)$ einer Ebene, ist Bild eines Kugeläquators unter
+ einer stereographischen Projektion $pi$. Bezeichnet $rho$ die Spiegelung der
+ Kugel an der Äquatorebene, ist $pi compose rho compose pi^(-1)$ die
+ Inversion der Ebene an $cal(K)$.
])
#card(
question: [Wie kann man Kreisinversionen berechnen?],
answer: [
-
+ Invertiert man einen Punkt $bold(x)$ an einem Kreis mit Radius $r$ und
+ Mittelpunkt $bold(m)$ gilt für den Bildpunkt $bold(y)$: $norm(bold(x) -
+ bold(m)) dot norm(bold(y) - bold(m)) = r^2$.
])
#card(
question: [(Warum) sind Kreisinversionen winkeltreu?],
answer: [
-
+ Eine Inversion an einem Kreis $cal(K)$ ist eine winkeltreue
+ Kreisverwandtschaft, die $cal(K)$ punktweise auf sich und den Mittelpunkt
+ auf $bold(k)$ abbildet.
+ Daher bildet sie auch zu $cal(K)$ orthogonale Kreise auf sich ab.
])
#card(
question: [Warum sind Kreisinversionen Kompositionen von Ahnlichkeiten und
Kreisinversionen?],
answer: [
-
+ (1) Eine Kreisverwandtschaft $kappa$, die den Punkt $bold(k)$ fest lässt,
+ bildet ein Quadratgitter wieder auf ein solches ab, weil sie die
+ einbeschriebenen Kreise auf Kreise abbildet. Somit ist sie eine Ähnlichkeit.
+
+ (2) Bildet $kappa$ den Punkt $bold(k)$ auf einen anderen Punkt $bold(m)$ ab,
+ betrachten wir die Inversion $iota$ an einem Kreis mit Mittelpunkt
+ $bold(m)$. Weil $iota compose kappa$ nach (1) eine Ähnlichkeit $alpha$ ist,
+ hat auch $kappa = iota compose iota compose kappa = iota compose alpha$ die
+ behauptete Zerlegung.
])
== Das Poincaré-Modell
#card(
- question: [Wie ist das Poincaré-Madel! der hyperbolischen Ebene
-definiert?],
+ question: [Wie ist das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?],
answer: [
-
+ Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir aus dem
+ Klein-Modell, indem wir die Kreisscheinbe $cal(D)$ als orthogonale
+ Projektion einer auf ihr liegenden Kugel auffassen und das Klein-Modell der
+ hyperbolischen Ebene zurück nach oben auf die untere Hälfte der Kugel
+ projizieren.
+
+ Vom Nordpol der Kugel projiziert man die untere Halbkugel stereographisch
+ wieder zurück auf die Ebene von $cal(D)$ und erhält so das Poincaré-Modell
+ der hyperbolischen Ebene.
])
#card(
question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
answer: [
-
+ Aus den hyperbolischen Geraden werden Halbkreise, die orthogonal vom Äquator
+ der Kugel weg nach unten hängen.
+
+ Die hyperbolischen Geraden entsprechen im Poincaré-Modell Kreisbögen, die
+ orthogonal vom Fernkreis weglaufen.
])
#card(
question: [Was sind die hyperbolischen Spiegelungen in diesem
Modell?],
answer: [
-
+ Die hyperbolischen Abbildungen werden im Poincaré-Modell zu Abbildungen, die
+ den Fernkreis auf sich abbilden. insbesondere wird aus einer hyperbolischen
+ Spiegelung an einer Polagen eine Inversion an einem zum Fernkreis
+ orthogonalen Kreis, dessen Mittelpunkt $bold(m)$ der Pol der Spiegelung ist.
])
#card(
question: [Warum sind die hyperbolischen Abb. genau die
Kreisverwandtschaften, die den Fernkreis auf sich
abbilden?],
answer: [
-
+ Die projektiven Geraden durch den Pol gehen bei der Spiegelung und der
+ Inversion in sich über. Jede hyperbolische Gerade ist hat im Klein- als auch
+ im Poincaré-Modell zwei Fernpunkte auf dem Fernkreis und ist durch diese
+ festgelegt. Weil die Fernpunkte sowohl durch die Spiegelung als auch durch
+ die Inversion auf sich abgebildet werden, wird jede Gerade in die gleiche
+ aber unterschiedlich als Strecke oder Kreissegment dargestellte Gerade
+ gespiegelt bzw. invertiert. Da jeder Punkt Schnitt von zwei Geraden ist,
+ folgt die Behauptung.
])
#card(
question: [Wie ist der hyperbolische Winkel definiert?],
answer: [
-
+ Der Winkel, in dem sich zwei hyperbolische Geraden im Poincaré-Modell
+ schneiden, ist ihr hyperbolischer Winkel. Er ist invariant unter
+ hyperbolischen Abbildungen.
])
#card(
question: [Warum bleiben Winkel unter hyperbolischen Abb.
@@ -2088,33 +2232,68 @@ invariant?],
question: [Wie gro8 ist die Winkelsumme eines hyperbolischen
Dreiecks?],
answer: [
-
+ Die Winkelsumme in einem hyperbolischen Dreieck ist kleiner als 180°.
+
+ (Die Winkelsumme eines Dreiecks der euklidischen Ebene ist 180° und für ein
+ Kugeldreieck größer als 180°.)
])
#card(
question: [Warum ist die Winkelsumme eines hyperbolischen
-Dreiecks kleiner ais 180],
- answer: [
-
+Dreiecks kleiner als 180?],
+ answer: [
+ Jedes hyperbolische Dreieck $bold(o' p' q')$ kann durch eine Spiegelung
+ (winkelerhaltend) in ein Dreieck $bold(o p q)$ überführt werden, bei dem
+ z.B. $bold(o)$ Mittelpunkt der Kreisscheibe $cal(D)$ ist. Die zu dieser Ecke
+ adjazenten Kanten liegen dann auf Durchmessern der Kreisscheibe. Nur der
+ Winkel bei $bold(o)$ entspricht dem des euklidischen Dreiecks $bold(o p q)$,
+ während die beiden anderen kleiner als die entsprechenden des euklidischen
+ Dreiecks sind.
])
#card(
question: [Wie groB kônnen die Winkelsummen regelma8iger n-Ecke sein?],
answer: [
-
+ Die Winkelsummen aller regelmäßigen n-Ecke bilden das Intervall $(0, (n-2)
+ 180°)$. Zu jeder Winkelsumme aus diesem Intervall gibt es also regelmäßige
+ n-Ecke.
+
+ Ein regelmäßiges n-Eck ist ein Polygon, dessen Kantenlängen und Winkel alle
+ gleichgroß sind.
])
#card(
question: [Was ist ein Fundamentalgebiet?],
answer: [
-
+ Ein regelmäßiger n-Eck mit Winkelsumme 360° (n > 4) heißt Fundamentalgebiet.
])
#card(
question: [Was ist eine Fuchssche Gruppe?],
answer: [
-
+ Bei einem Fundamentalgebiet $cal(Q)$ (regelmäßiger n-Eck mit Winkelsumme 360°)
+ existiren $n$ (nicht eindeutige) Drehungen $phi_1, ..., phi_n$0mit $phi_1
+ compose ... compose phi_n = id$, sodass die Bilder $phi cal(Q)$ für $phi =
+ rho_1 compose ... compose rho_k, k in NN$ und $rho_1 ... rho_k in {phi_1,
+ ..., phi_n}$, die hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ zerlegen.
+
+ Die $phi_i$ erzeugen eine Fuchse Gruppe. Allgemeiner ist eine Fuchssche
+ Gruppe eine Gruppe hyperbolischer Abbildungen, die ein, auch nicht
+ regelmäßiges Polygon auf Polygone abbildet, welche die hyperbolische Ebene
+ $cal(H)^2$ zerlegen.
])
== Orbifaltigkeiten
#card(
question: [Was ist eine Obifaltigkeit?],
answer: [
-
+ Die Oberfläche eines Körpers mat $gamma$ hindurchführenden Tunneln ist eine
+ Fläche vom topologischen Geschlecht $gamma$. Solch eine Fläche kann
+ aufgeschnitten und vber dem Fundamentalgebiet einer Fuchsschen Gruppe
+ parametrisiert werden.
+
+ Indem man eine Fläche über einem Fundamentalgebiet parametrisiert und ihre
+ Parametrisierung periodisch über einer zugehörigen Kachelung der
+ hyperbolischen Ebene fortsetzt, erhält man eine Orbidfaltigkeit. Die
+ periodische Fortsetzung hilft, glatte, d.h. differenzierbare
+ Parametrisierungen für solche Flächen zu konstruiren, die von beliebiger
+ Glattheitsordnung sind. Man kann so stückweise rationale
+ Splineorbidfaltigkeiten konstruiren, deren Grad nur um eins höher als ihre
+ Differenzierbarkeitsordnung ist.
])
