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Author: Orangerot <purple@orangerot.dev>
Date: Thu, 26 Jun 2025 07:43:12 +0200
feat(ggg): exam solutions for chapter 5
Diffstat:
| M | ggg/ggg-cards.typ | | | 312 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------ |
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@@ -1489,44 +1489,75 @@ was sind ihre Dimensionen?],
#card(
question: [Was ist ein projektiver Raum?],
answer: [
-
+ Die eigentlichen und uneigentlichen Punkte des $cal(A)^n$ bilden den
+ projektiven Raum $cal(P)^n$ bzw die projektive Erweiterung des $cal(A)^n$.
])
#card(
question: [Was sind die projektiven Unterräume?],
answer: [
-
+ Der $cal(P)^n$ wird durch die Menge der eindimensionalen Unterräume des
+ $bb(R)^(n+1)$ repräsentiert und die projektiven Unterräume von $cal(P)^n$
+ durch die linearen Unterräume des $bb(R)^(n+1)$. Die eindimensionalen
+ Unterräume des $bb(R)^(n+1)$ stellen die Punkte des $cal(P)^n$ dar.
+
+ Stellt ein Unterraum $U subset bb(R)^(n+1)$ den Unterraum $U subset
+ cal(P)^n$ dar, gilt $dim cal(U) := dim U -1$. Ein Unterraum $cal(U)$ der
+ Dimension $-1,0,1,2,n-1$ ist leer oder wird Punkt, eine Gerade, eine Ebene
+ bzw. eine Hyperebene genannt.
+
+ Der Schnitt zweier projektiven Unterräume $cal(U)$ und $cal(V)$ ist der
+ projektive Unterraum $cal(U) inter.sq cal(V) := cal(U) inter cal(V)$ und
+ ihre Verbindung $cal(U) union.sq cal(V)$ der kleinste projektive Unterraum,
+ der $cal(U)$ und $cal(V)$ enthält.
])
#card(
question: [Warum schneiden sich zwei Geraden einer projektiven
Ebene immer?],
answer: [
-
+ (Alle Hyperebenen gehen durch den Ursprung des $cal(A)^n$)
])
== Projektive Koordinaten
#card(
question: [Wann heißt eine Punktfolge projektiv unabhängig?],
answer: [
-
+ Die Folge $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ heißt projektiv unabhängig genau dann,
+ wenn die Folge $bb(p)_0...bb(p)_r subset bb(R)^(n+15$ linear unabhängig ist.
])
#card(
question: [Wie ist die projektive Hülle von Punkten definiert?],
answer: [
-
+ Die projektive Hülle oder der Aufspann von $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ ist der
+ projektive Unterraum $<bold(p)_0 ... bold(p)_r> := { bold(x) | bb(x) in
+ [bb(p)_0 .. bb(p)_r] bb(R)^(r+1) \\ { bb(o) } }$.
])
#card(
question: [Wie sind projektive Koordinaten definiert?],
answer: [
-
+ Wir bemereken, dass jedes projektive Grundeck im $cal(P)^n$ eindeutig ein
+ Koordinatensystem im $bb(R)^(n+1)$ bestimmt. Für die Angabe von Koordinaten
+ im $cal(P)^(n+1)$ reicht es, nur ein Grundeck im $cal(P)^n$ anzugeben,
+ sodass wir uns ganz vom $bb(R)^(n+1)$ lösen können. Wir nennen die
+ Koordinaten eines Punktes deshalb auch projektive Koordinaten bezüglich
+ eines Grundecks. Sind $x_i$ die projektiven Koordinaten eines Punkts
+ $bold(x)$ bezüglich $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ schreiben wir auch
+ $bold(x) = bold(p)_0 x_0 + ... + bold(p)_n x_n$.
])
#card(
question: [Was ist eine projektive Skala?],
answer: [
-
+ Seien $x_0$ und $x_1$ die projektiven Koordinaten eines Punkts $bold(x)$
+ bezüglich eines Grundecks $bold(p)_0 bold(p)_1 bold(p)$. Dann bilden die
+ Quotienten $x = x_1 / x_0$ für alle $bold(x) in bold(p)_0 union.sq
+ bold(p)_1$ die projektive Skala bezüglich $bold(p)_0 bold(p_1) bold(p)$.
])
#card(
question: [Wann ist eine projektive Skala eine affine?],
answer: [
-
+ Ist $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ ein projektives Grundeck in einer
+ projektiv erweiterten affinen Gerade mit Fernpunkt $bold(p)_1$, ist die
+ porjektive Skala $x$ bezüglich $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ auch eine
+ affinie Skala, die den affinen Koordinaten der Punkte $bold(x)$ bezüglich
+ des affinen Koordinatensystems $bold(p)_0 (bold(p) - bold(p)_0)$ entspricht.
])
== Koordintentransformation
#card(
@@ -1534,132 +1565,278 @@ Ebene immer?],
Koordinaten bezüglich eines anderen Grundecks
transformiert werden?],
answer: [
-
+ Seien $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ und $bold(q)_0 ... bold(q)_n
+ bold(q)$ Grundecke des $cal(P)^n$ und sei
+ $
+ bb(p) = & [ bb(p)_0 ... bb(p)_n] bb(e) = bb(P e) \
+ bb(q) = & [ bb(q)_0 ... bb(q)_n] bb(e) = bb(Q e) \
+ bb(x) = & bb(P x)_p = bb(Q x)_q
+ $
+ Dann ist $bb(x)_q = bb(Q)^(-1) bb(P) bb(x)_p$ eine
+ Koordinatentransformation. Dabei repräsentiert $bb(Q)^(-1) bb(P)$ die
+ Grundpunkte $bold(p)_i$ bezüglich des Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n
+ bold(q)$.
])
#card(
question: [Wie ändern sich bei einer Koordinatentransformation die
Koordinaten von Hyperebenen?],
answer: [
-
+ Eine Hyperebene $cal(U): bb(u)^t bb(x) = 0$ hat bezüglich des Gundecks
+ $bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$ die Darstellung $bb(u)^t bb(Q) bb(x)_q =:
+ bb(u)^t_q bb(x)_q = 0$. Also ist $bb(u)_q = bb(Q)^t bb(u)$ die
+ Transformation des homogenen Hyperebenen-Koordinatenvektors $bb(u)$ in den
+ bezüglich des Grundecks $bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$.
])
#card(
question: [Warum kann jede Hyperebene eines projektiven Raums
als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
answer: [
-
+ Die Grundpunkte $bold(q)_1, ..., bold(q)_n$ liegen in der Hyperebene
+ $cal(U)$ genau dann, wenn $bb(u)^t_q ~ [1 0 ... 0]$. D.h. bezüglich des
+ Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n bold(q)$ kann $cal(U)$ als die
+ Fernhyperebene einer projektiven Erweiterung des $cal(A)^n$ aufgefasst
+ werden. Da $cal(U)$ eine beliebige Hyperebene ist, kann auch jede andere
+ Hyperebene als Fernhyperebene aufgefasst werden.
])
== Der Dualraum
#card(
question: [Was ist der Dualraum eines projektiven Raums?],
answer: [
-
+ Die Hyperebenen des $cal(P) := cal(P)^n$ bilden einen projektiven Raume, der
+ Dualraum von $cal(P)^n$ genannd und mit $cal(P)^*$ bezeichnet wird.
])
#card(
question: [Was heißt alles dual zueinander?],
answer: [
-
+ Ein Punkt $bold(u)$ und eine Hyperebene $cal(U)$ med dem glichen homogenen
+ Koordinatenvektoren $bb(u)$ heißen dual zueinander.
])
#card(
- question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des 𝒫𝒫 ⁿ
-berechnen?],
+ question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des $cal(P)^n$ berechnen?],
answer: [
-
+ Ein Unterraum $cal(A) := bold(a)_0 union.sq ... union.sq bold(a)_k subset
+ cal(P)$ geht beim Dualisieren in den Unterraum $cal(A)^* := cal(A)_0
+ union.sq ... union.sq cal(A)_k subset cal(P)^*$ über, aber meist stellt man
+ den Unterraum $cal(A)^*$ durch den polaren Unterraum $cal(A)̧̃° := cal(A)_0 inter
+ ... inter cal(A)_k subset cal(P)$ dar und bezeichnet auch $cal(A)°$ als den
+ zu $cal(A)$ dualen Unterraum.
+
+ Die Hyperebene $cal(U) = bold(a)_1 union.sq ... union.sq bold(a)_n : bb(u)^t
+ = [bb(a)_1 and ... and bb(a)_n]^t$ ist dual zum Punkt $cal(U)^* = cal(A)_1
+ inter.sq ... inter.sq cal(A)_n = { bold(u)}: bb(u) = bb(a)_1 and ... and
+ bb(a)_n$.
])
== Projektive Abbildungen
#card(
question: [Was ist eine projektive Abbildung?],
answer: [
-
+ Jede lineare Abbildung $phi : bb(R)^(m+1) -> bb(R)^(n+1), bb(x) |-> bb(A
+ x)$, induziert eine projektive Abbildung $Phi: cal(P)^m -> cal(P)^n$, die
+ durch die gleiche Matrix $bb(A)$ wie $phi$ dargestellt wird: $bold(y) =
+ Phi(bold(x)) : bb(A x) = [bb(a)_0 .. bb(a)_m] bb(x)$.
+
+ Dabei repräsentieren die Koordinatenvektoren $bb(a)_0...bb(a)_m (bb(a)_0 +
+ ... bb(a)_m)$ die Bilder des Koordinaten-Grundecks.
])
#card(
question: [Wann hat eine projektive Abbildung einen ausnahmeraum
und wie ist er definiert?],
answer: [
-
+ Die projektive Abbildung $Phi$ heißt regulär oder Projektivität, wenn
+ $bb(A)$ eine reguläre Matrix ist. Der Kern der Matrix repräsentiert den
+ Ausnahmeraum $cal(A)_Phi := "kern" bb(A) = {bb(x) | bb(A x) = bb(o)}$ von
+ $Phi$. Es ist der Raum, der durch $Phi$ auf den Unpunkt abgebildet wird.
])
#card(
- question: [Auf was bilden projektive Abbildungen projektive
-Unterräume ab?],
+ question: [Auf was bilden projektive Abbildungen projektive Unterräume ab?],
answer: [
-
+ Projektivitäten bilden projektive Unterräume auf projektive Unterräume ab
+ und allgemein bildet eine projektive Abbildung $Phi$ jeden projektiven
+ Unterraum $cal(U)$ ohne den Ausnahmeraum auf einen projektiven Unterraum ab:
+ $Phi: cal(U) \\ cal(A)_Phi |-> Phi(cal(U) \\ cal(A)_Phi)$.
+
+ Zu zwei Grundecken $bold(p)_0...bold(p)_n bold(p)$ und
+ $bold(q)_0...bold(q)_n bold(q)$ zweier projektiver Räume gibt es genau eine
+ Projektivität $Phi$, die das erste auf das zweite abbildet, d.h. die
+ $Phi(bold(p)_i) = bold(q)_i$ und $Phi(bold(p)) = bold(q)$ erfüllt.
])
== Kollineationen und Korrelationen
#card(
question: [Was sind Kollineationen und Korrelationen?],
answer: [
-
+ Projektivitäten $Phi: cal(P) -> cal(P)$ heißen Kollineationen, weil sie
+ kollineare Punkte auf kollineare Punkte abbliden, und Projektivitäten $Phi:
+ cal(P) -> cal(P)^*$ heißen Korrelationen.
])
#card(
question: [Wie ist Dualität allgemein definiert?],
answer: [
-
+ Die Dualitätsdefinition besagt, dass eine Figur, d.h. ein aus Unterräumen
+ eines projektiven Raums besthendes Gebilde, dual zu einer zweiten ist, wenn
+ sie durch eine Korrelation in diese überführt werden kann.
])
#card(
question: [Wie lautet der Satz von Desargues und wie der dazu duale
Satz?],
answer: [
-
+ Sind die Ecken zweier Dreiecke in perspektivischer Lage, dann sind es auch
+ ihre Kanten.
+
+ (Sind die Kanten zweier Dreiecke in perspektivischer Lage, dann sind es auch
+ ihre Ecken. )
])
== Linear rationale Transformationen
#card(
question: [Wie lassen sich Projektivitäten zwischen zwei Geraden
darstellen?],
answer: [
-
+ Eine Projektivität zwischen zwei Geraden hat die Darstellung $vec(y_0, y_1)
+ = mat(a, b; c, d) vec(x_0, x_1)$ oder nach Inhomogenisierung die Darstellung
+ $y_1 / y_0 = (c x_0 + d x_1) / (a x_0 + b x_1) = (c + d x_1 / x_0) / (a + b
+ x_1 / x_0)$ bzw., wenn wir die projektiven Skalen $x = x_1 / x_0$ und $y = y_1
+ / y_0$ verwenden, die Darstellung $y = (c x_0 + d x_1) / (a x_0 + b x_1) = (c
+ + d x) / (a + b x)$. Letztere ist eine linear-rationale Transformation der
+ projektiven Skala $x$.
])
== Das Doppelverhältnis
#card(
question: [Was ist das Doppelverhältnis?],
answer: [
-
+ Hier betrachen wir vier Punkte $bold(a), bold(b), bold(x)$ und $bold(y)$
+ einer Geraden mit den projektiven Skalenwerten $alpha, beta, xi$ und $eta$
+ bzgl. irgendeines Grundecks.
+
+ #cetz.canvas({
+ import cetz.draw: *
+
+ line((0,0), (7.5, 0))
+ content((), [projektive Skala], anchor: "south-east")
+
+ circle((1,0), radius: .08, fill: white)
+ content((), $alpha$, padding: .2, anchor: "south")
+ content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
+
+ circle((2,0), radius: .08, fill: white)
+ content((), $eta$, padding: .2, anchor: "south")
+ content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
+
+ circle((3.5,0), radius: .08, fill: white)
+ content((), $beta$, padding: .2, anchor: "south")
+ content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
+
+ circle((4.5,0), radius: .08, fill: white)
+ content((), $xi$, padding: .2, anchor: "south")
+ content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
+ })
+
+ Das Doppelverhaltnis der Punktpaare $bold(x y)$ und $bold(a b)$ ist der Wert
+ $delta = D V [bold(x y) | bold(a b)] := (xi - alpha) / (xi - beta) : (eta -
+ alpha) / (eta - beta)$.
])
#card(
- question: [Warum sind Doppelverhältnisse invariant unter
-projektiven Abbildungen?],
+ question: [Warum sind Doppelverhältnisse invariant unter projektiven Abbildungen?],
answer: [
-
+ Weil die Matrix einer projektiven Abbildung $Phi$ die Einheitsmatrix ist,
+ wenn wir sie für die Urbild- und Bildkoordinaten bezüglich des Grundecks
+ $bold(a b y)$ bzw $Phi(bold(a)) Phi(bold(b)) Phi(bold(y))$ beschreiben,
+ ändern projektive Abbildungen Doppelverhältnisse nicht. Doppelverhälnisse
+ treten daher im projektiven Raum an die Stelle der Teilverhaltnisse, da
+ letztere nur affine Invarientan sind.
])
#card(
question: [Was ist das harmonische Doppelverhältnis?],
answer: [
-
-])
+ Für das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ liegen $bold(x y)$ und
+ $bold(a b)$ in harmonischer Lage.
+ ])
#card(
question: [Was bedeutet harmonische Lage von vier kollinearen
Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
answer: [
-
+ Für $delta = - 1$ liegen $bold(x y)$ und $bold(a b)$ in harmonischer Lage.
+
+ Ist $bold(b)$ ein Fernpunkt, ist $delta$ eine affine Skala und für $delta =
+ -1$ ist $bold(a) = (bold(x) + bold(y)) /2$.
+
+
+ #cetz.canvas({
+ import cetz.draw: *
+
+ line((0,0), (4, 0))
+ content((), [affine Skala], padding: .2, anchor: "south")
+
+ circle((0.5,0), radius: .08, fill: white)
+ content((), $-1$, padding: .2, anchor: "south")
+ content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
+
+ circle((1.5,0), radius: .08, fill: white)
+ content((), $0$, padding: .2, anchor: "south")
+ content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
+
+ circle((2.5,0), radius: .08, fill: white)
+ content((), $1$, padding: .2, anchor: "south")
+ content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
+
+ line((5,0), (6, 0), mark: (end: ">"))
+ content((), $oo$, padding: .2, anchor: "south")
+ content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
+ })
])
#card(
- question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmon,ische
-Verhältnis invariant?],
+ question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmonische Verhältnis invariant?],
answer: [
-
+ Das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ ist invariant gegenüber den
+ Vertauschungen $bold(x) <-> bold(y), bold(x y) <-> bold(a b), bold(a) <->
+ bold(b)$.
])
== Die duale Abbildung
#card(
question: [Was ist die duale Abbildung?],
answer: [
-
+ Sei $Phi: cal(X) -> cal(Y), bb(x) |-> bb(A x)$ eine projektive Abbildung.
+ NUter ihr hat eine Hyperebene $cal(V): bb(v)^t bb(y) = 0$ von $cal(Y)$ das
+ Urbild $Phi^- cal(V) = { bold(x) in cal(X) | bb(v)^t bb(A x) = 0} : bb(u)^t
+ = bb(v)^t bb(A)$. Die Abbildung $Phi^* : cal(Y)^* -> cal(X)^*, bb(v)^t |->
+ bb(A)^t bb(v)$ ist die duale Abbildung zu $Phi$. Ist sie bijektiv, bildet
+ ihre Inverse jede Hyperebene $cal(U)$ auf die Hyperebene $cal(V)$ ab, in die
+ $Phi$ alle Punkte von $cal(U)$ abbildet.
+
+ Da $A^(t t) = A$, ist die duale Abbildung $Phi^(* *)$ der dualen Abbildung
+ $Phi^*$ wieder die Ausgangsabbildung $Phi$.
])
== Quadriken
#card(
question: [Was ist eine Quadrik?],
answer: [
-
+ Eine Quadrik im $cal(P)^n$ besteht aus den Punkten $bold(x)$, deren homogene
+ Koordinatenvektioren $bb(x)^t = [epsilon, bold(x)^t] x_0$ eine quadratische
+ Gleichung erfüllen:
+ $
+ cal(Q)(bb(x)) &= bb(x)^t bb(Q x) \
+ &= [epsilon x_0, bold(x)^t x_0] mat(q, bold(q)^t; bold(q), Q)
+ vec(epsilon x_0, bold(x) x_0) \
+ &~ bold(x)^t Q bold(x) + 2 epsilon bold(q)^t bold(x) + q epsilon^2 \
+ &= 0
+ $
+
])
#card(
question: [Warum können wir annehmen, dass die Matrix einer
Quadrik symmetrisch ist?],
answer: [
-
+ Da $bb(Q) + bb(Q)^t$ ebenfalls $cal(Q)$ repräsentiert, nehmen wir ohne
+ Einschränkung der Allgemeinheit an, dass $bb(Q) = bb(Q)^t$ symmetrisch ist.
])
#card(
question: [Was ist die Fernquadrik und der affine Teil einer
projektiven Quadrik?],
answer: [
-
+ Für $epsilon = 1$, erhäld man den affinen Teil $cal(Q)_"aff"$ von $cal(Q)$
+ und für $epsilon = 0$ die Fernquadrik $cal(Q)_oo$. Die Fernpunkte von
+ $cal(Q)$ heißen asymptotic directions und $cal(Q) = cal(Q)_"aff" union
+ cal(Q)_oo$ auch projektive Erweiterung von $cal(Q)_"aff"$. Die Quadrik
+ $cal(Q)$ heißt regulär, wenn ihre Matrix $bb(Q)$ regulär ist.
])
#card(
question: [Was ist eine Quadrik in einer projektiven Gerade?],
@@ -1670,32 +1847,71 @@ projektiven Quadrik?],
#card(
question: [Wie berechnet man die Tangentenquadrik einer Quadrik?],
answer: [
-
+ Um die Tangentialebenen (genauer Tangentialhyperebenen) einer Quadrik
+ $cal(Q)$ zu bestimmen, betrachten wir zunächst einen Punkt $bold(p)$ der
+ Quadrik $cal(Q)$ und einer Geraden $cal(T): bb(x) = bb(p) + bb(q) lambda$
+ des $cal(P)^n$. (Dabei stellt $lambda = lambda_1 / lambda_0$ eine projektive
+ Skala auf $cal(T) : bb(x) = bb(p) lambda_0 + bb(q) lambda_1$ dar.) Nur wenn
+ die Gerade $cal(T)$ die Quadrik allein im Punkt $bold(p)$ berührt oder ganz
+ auf der Quadrik liegt ist sie eine Tangente. Folglich ist $cal(T)$ Tangente
+ genau dann, wenn die quadratische Gleichung
+ $
+ cal(Q)(bb(x)(lambda)) &= bb(x)^t bb(Q x) \
+ &= bb(p)^t bb(Q p) + 2 bb(p)^t bb(Q q) lambda + bb(q)^t bb(Q q) lambda^2 \
+ &= 2 bb(p)^t bb(Q p) lambda + bb(q)^t bb(Q q) lambda^2 \
+ &= 0
+ $
+ eine doppelte Nullstelle $lambda = 0$ hat. Somit ist $cal(T)$ Tangente von
+ $cal(Q)$ genau dann, wenn $bb(p)^t bb(Q q) = 0$. Weiter folgt, dass die
+ Tangentialebene von $cal(Q)$ in $bold(p)$ die Qleichung $bb(u)^t bb(x) =
+ bb(q)^t bb(Q x) = 0$ hat.
])
#card(
question: [Was sind Polarebenen?],
answer: [
-
+ Für einen beliebigen Punkt $bold(p) in cal(P)^n$, definiert die Gleicuhng
+ $bb(p)^t bb(Q x) = 0$ die Polarebene (oder eigentlich Polarhyperebene)
+ $cal(P)(bold(p), cal(Q))$ von $bold(p)$ bezüglich $cal(Q)$, sofern $bold(p)$
+ kein singulärer Punkt ist. Sie schneidet $cal(Q)$ in den Punkten $bold(x)$,
+ deren Tangentialebenen $cal(T) lt.tri bb(Q x)$ auch durch $bold(p)$ gehen.
+ Liegt $bold(p)$ auf $cal(Q)$, ist die Polarebene die Tangentialebene von
+ $cal(Q)$ in $bold(p)$.
])
#card(
question: [Was bilden die Tangentialebenen einer Quadrik?],
answer: [
-
+ Auch die Tangentialebenen einer Quadrik $cal(Q)$ bilden eine Quadrik im
+ Dualraum. Dazu macht man sich klar, dass ein $bb(u)$ eine Tangentialebene
+ von $cal(Q)$ in einem Punkt $bold(p)$ von $cal(Q)$ darstellt, falls das
+ homogene lineare Gleichungssystem
+ $
+ bb(Q p) - bb(u) rho &= bb(o) \
+ bb(u)^t bb(p) &= 0
+ $
+ für $bb(p)$ und $rho$ lösbar ist, d.h. falls $det mat(bb(Q), bb(u); bb(u)^t,
+ 0) = 0$. Letzteres ist eine quadratische Gleichung und stellt die duale
+ Quadrik $cal(Q)^*$ zu $cal(Q)$ dar.
])
#card(
question: [Was ist eine Polaritat?],
answer: [
-
+ Ist die Matirx $bb(Q)$ regulär, heißt die Korrelation $bb(x) |-> bb(x)^t
+ bb(Q)$ die Polarität bezüglich $cal(Q)$. Sie bildet die Punkte von $cal(Q)$
+ auf die zugehörigen Tangentialebenen ab und $cal(Q)$ auf die duale Quadrik
+ $cal(Q)^*$, deren Punkte $bold(u) lt.tri bb(u) := bb(Q x)$ die Gleichung
+ $bb(u)^t bb(Q)^(-1) bb(u) = 0$ erfüllen. Polaritäten sind also Korrelationen
+ oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix.
])
#card(
question: [Ist jede Korrelation eine Polaritat?],
answer: [
-
+ Polaritäten sind Korrelationen oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix.
])
#card(
question: [Was bedeutet dies für den Begriff der Dualitat?],
answer: [
-
+ Bsp. Die Dualität $bold(x) |-> cal(X)$ ist die Polarität zur leeren
+ regulären Quadrik $cal(Q) lt.tri bb(E)$.
])
== Harmonische Punkte und Polaritat
#card(
@@ -1709,7 +1925,11 @@ und y die Schnittpunkte der Geraden pq mit Q sind?],
#card(
question: [Was ist die Normalform einer Quadrik?],
answer: [
-
+ Mit einer reellen Koordinatentransformation kann die Gleichung einer Quadrik
+ $cal(Q)$ in die Normalform $y_0^2 + ... + y_r^2 - y_(r+1)^2 - ... -
+ y_(r+s)^2 = 0$ und anschließend mid der komplexen Koordinatentransformation
+ $bb(y) = "diag"(1 ... bold(1) i ... i) bb(z)$ in die Normalform $z_0^2 + ... +
+ z_(r+s)^2 = 0$ überführt werden.
])
#card(
question: [Wie viele projektiv verschiedene Quadriken gibt es im
