feat(ggg): exam solutions for chapter 6
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67495874b8
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1a3c60aed6
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@ -1943,17 +1943,35 @@ komplexen Erweiterung?],
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#card(
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question: [Erklaren Sie das hyperbolische Modell der hyperbolischen Ebene !],
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answer: [
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Im hyperbolischen Modell wird ie hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ durch die
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obere Schale des zweischaligen Hyperboloids $cal(O) : bold(x)^t H bold(x) =
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[x, y, z] mat(1,,;,1,;,,-1) vec(x,y,z) = -1, z > 0$ im $bb(R)^3$
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dargestellt. Der asymptotische Kegel $cal(K)$ von $cal(O)$ hat die Gleichung
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$cal(K) : bold(x)^t H bold(x) = 0$ und ist in der Abbildung rot gezeichnet.
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])
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#card(
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question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
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answer: [
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In diesem Modell sind die hyperbolischen Geraden durch die nicht leeren
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Schnitte von $cal(O)$ mit den zweidimensionalen linearen Unterräumen des
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$bb(R)^3$ gegeben. Es sind Pyperbeläste auf $cal(O)$.
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])
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#card(
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question: [Was sind die hyperbolischen Abbildungen in diesem Modell?],
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answer: [
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Die regulären linearen Abbildungen des $bb(R)^3$, die $cal(O)$ auf sich
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abbilden, und ihre Vielfachen repräsentieren die hyperbolischen Abbildungen,
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wen wir sie auf $cal(O)$ beschränken und die Vielfachen der $bold(x) in
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cal(O)$ als homogene Koordinatenvektoren für die Punkte des $cal(H)^2$
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auffassen. Zu diesen linearen Abbildungen gehören under anderem Rotationen
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um die z-Achse und Spiegelungen an Ebenen durch die z-Achste.
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Die hyperbolischen Abbildungen werden durch die Matrizen $A$ repräsentiert,
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für die $A^t H A = rho H$ mit $rho > 0$.
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Da der Kegel $cal(K)$ durch die Gleichung $bold(x)^t rho H bold(x) = 0$
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gegeben ist, stellen die linearen Abbildungen, die den Kegel auf sich
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abbilden, die hyperbolischen Abbildungen dar.
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])
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#card(
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question: [Nennen Sie einfache Beispiele für hyperbolische
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@ -1965,24 +1983,48 @@ Abbildungen in diesem Modell !],
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#card(
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question: [Wie ist das Klein-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?],
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answer: [
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Aus dem hyperbolischen Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir durch
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die Zentralprojektion $pi: bb(R)^3 \\ {bold(o)} -> {vec(bold(x), 1) |
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bold(x) in bb(R)^2}, vec(bold(x),z) |-> vec(bold(x)/z, 1)$, das Klein-Modell
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der hyperbolischen Ebene. Die Zentralprojektion $pi$ bildet $cal(O)$ auf die
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offene Einheitskreisscheibe $cal(D) : x^2 + y^2 < 1, z = 1$ ab.
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])
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#card(
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question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
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answer: [
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Hyperbolische Geraden in bildet die Zentralprojektion $pi$ auf die geraden
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Strecken, die sich ergeben, wenn die Scheibe $cal(D)$ mit den
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zweidimensionalen Unterräumen des $bb(R)^3$ geschnitten wird.
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])
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#card(
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question: [Was sind die hyperbolischen Abbildungen in diesem
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Modell?],
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answer: [
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Unter der Projektion $pi$ werden die linearen Abbildungen des $bb(R)^3$ und
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ihre Vielfachen je zu einer linear rationalen Abbildung der Ebene $z = 1$,
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das heißt, dass eine lineare Abbildung und ihre Vielfachen eine projektive
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Abbildung der linearen Abbildung auf $cal(O)$ entspricht der Beschränkung
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der projektiven Abbildung auf $cal(D)$.
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Folglich sind die hyperbolischen Abbildungen im Klein-Modell die auf
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$cal(D)$ beschränkten Projektivetäten der Ebene $z=1$, die $cal(D)$ bzm.,
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wenn nicht beschränkt, den Kreis $pi cal(K) = "Rand" cal(D)$ auf sich
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abbilden.
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])
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#card(
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question: [Wie sind Entfernungen definiert?],
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answer: [
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Eine Strecke $bold(x y)$ hat die Länge $"dist"(bold(x), bold(y)) = abs(log D
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V [bold(x y) | bold(a b)])$ wobei $bold(a)$ und $bold(b)$ die Fernpunkte der
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hyperbolischen Geraden $bold(x y)$ sind. Man beachte, dass die Vertauschung
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der Punkte $bold(a)$ und $bold(b)$ oder der Punkte $bold(x)$ und $bold(y)$ das
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Doppelverhaltnis invertiert und daher nur das Vorzeichen seines Logarithmus
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ändert.
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(Der Rand der Kreisscheibe $cal(D)$ heißt Fernkreis. Er gehört nicht zur
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hyperbolischen Ebene. Seine Punkte werden Fernpunkte genannt und die Punkte
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außerhalb des Fernkreises Ultra-Fernpunkte. )
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])
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#card(
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question: [Warum sind Entfernungen invariant unter hyperbolischen
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@ -1994,87 +2036,189 @@ Abb.?],
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#card(
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question: [Wie ist eine hyperbolische Spiegelung definiert?],
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answer: [
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Eine hyperbolische Spiegelung oder harmonische Homologie ist eine
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hyperbolische Abbildung $bold(y) = Phi(bold(x))$ mit einer Fixpunktgeraden
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$cal(P)$, bei der die Geraden $bold(x) union.sq Phi(bold(x))$ alle durch den
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Pol $bold(p)$ zur Polare $cal(P)$ bezüglich des Fernkreis gehen. Es sind
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also Perspektivitäten, die $cal(D)$ auf sich abbilden.
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])
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#card(
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question: [Was muss man tun, um eine hyperbolische Spiegelung ais
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euklidische Spiegelung anzusehen?],
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answer: [
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Betrachtet man den Pol $bold(p)$ als Fernpunkt einer euklidischen Ebene,
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entspricht die hyperbolische Spiegelung einer Spiegelung der euklidischen
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Ebene an $cal(P)$. Die Polare geht bei dieser Betrachtung durch den
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Mittelpunkt von $cal(D)$.
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])
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#card(
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question: [Wie geht man vor, um zu zeigen, dass jede hyperbolische
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Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
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answer: [
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Bildet $Phi$ eine Gerade $cal(P)$ und einen Punkt $bold(r) in cal(P)$ auf
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sich ab, bildet sie die Fernpunkte $bold(a)$ und $bold(b)$ von $cal(P)$ mit
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den zugehöringen Tangenten des Fernkreis auf sich ab oder vertauscht sie.
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||||
Sie bildet dahre auch den Pol $bold(p)$ zu $cal(P)$ und die Gerade $cal(Q)$
|
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durch $bold(p)$ und $bold(r)$ auf sich ab. Da $Phi$ durch die Bilder der
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Fernpunkte von $cal(P)$ und $cal(Q)$ bestimmt ist, kann $Phi$ nur die
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Identität, die Spiegelung an $cal(P)$, die an $cal(Q)$ odie die Verknüpfung
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dieser beiden Spiegelungen sein.
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])
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== Kreisverwandtschaften
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#card(
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question: [Was ist eine stereographische Projektion?],
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answer: [
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Eine stereographische Projektion ist eine Zentralprojektion vom Nordpol
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$bold(n)$ einer Kugel aus auf die Tangentialebene am Südpol, die auf die
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Kugel beschränkt wird und eindeutig jedem Punkt der Kugel mit Ausnahme des
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Nordpols einen Punkt der Ebene zuordnet.
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Für den Nordpol erweitert man die Ebene um einen gedachten unechten Punkt
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$bold(k)$ und erklärt $bold(k)$ als das stereographische Bild von $bold(n)$.
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(Durch $bold(k)$ wird die Ebene kompaktifiziert.) Die Kreise durch den
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Nordpol werden durch die stereographische Projektion auf die Geraden der
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Ebene abgebildet und ihnen eindeutig zugeordnet. Die Geraden heißen unechte
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Kreise und sind genau die Kreise, die durch $bold(k)$ gehen.
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#cetz.canvas({
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import cetz.draw: *
|
||||
import cetz.matrix: *
|
||||
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||||
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||||
let xy = ((cos(20deg),cos(20deg),0),(-sin(20deg),sin(20deg),1))
|
||||
// set-transform(xy)
|
||||
line(mul-vec(xy, (-2, -2, -1)), mul-vec(xy, (2, -2, -1)))
|
||||
line(mul-vec(xy, (-2, -2, -1)), mul-vec(xy, (-2, 2, -1)))
|
||||
line(mul-vec(xy, (2, 2, -1)), mul-vec(xy, (2, -2, -1)))
|
||||
line(mul-vec(xy, (2, 2, -1)), mul-vec(xy, (-2, 2, -1)))
|
||||
|
||||
circle((0,0), radius: 1, stroke: blue)
|
||||
circle(mul-vec(xy, (0,0,1)), radius: 0.08, fill: red, stroke: none)
|
||||
content((), text(fill: red, $n$), anchor: "south-west", padding: .1)
|
||||
|
||||
line(mul-vec(xy, (0,0,1)), mul-vec(xy, (1,0,-1)), mark: (end: ">"),
|
||||
stroke: red)
|
||||
circle(mul-vec(xy, (1,0,-1)), radius: 0.08, stroke: red)
|
||||
circle((mul-vec(xy, (0,0,1)), 60%, mul-vec(xy, (1,0,-1))), radius: 0.08, stroke: blue)
|
||||
})
|
||||
])
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#card(
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question: [Warum sind stereographische Projektionen winkel-und
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kreistreu?],
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answer: [
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Zum Beweis der Winkeltreue, sehen wir uns zwei Tangenten der Kugel in einem
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Punkt $bold(p)$ an und dazu die Beiden Kreise durch $bold(p)$ und $bold(n)$
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mit diesen Tangenten. Diese Kreise schneiden sich im Nordpol im gleichen
|
||||
Winkel und die Tangenten im Nordpol sind parallel zu den Bildtangenten, da
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diese beiden Tangentenpaare Schnitte der beiden Kreisebenen mit den
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||||
Tangentialebenen der Kugel im Nord- und Südpol sind. Das beweist die
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||||
Winkeltreue.
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Kreise, die nicht den Nordpol gehen, werden auf Ellipsen abgebildet. Um zu
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zeigen, dass diese Ellipsen Kreise sind, betrachten wir zu einem Kreis der
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Kugel den Tangentialkegel, der die Gugel in diesem Kreis berührt. Die
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Mantellinien des Kegels schneiden den Kreis orthogonal und werden auf
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Geraden abgebildet, die alle durch das Bild der Kegelspitze gehen und wegen
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der Winkeltreue das Bild des Kreises orthogonal schneiden. Deshalb kann das
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Bild nur ein Kreis sein.
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])
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#card(
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question: [Was sind Kreisverwandtschaften?],
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answer: [
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Kreisverwandtschaften sind bijektive Abbildungen, die Kreise und nur Kreise
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auf Kreise abbilden. Beispielsweise sind stereographische Projektionen
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Kreisverwandtschaften.
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])
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#card(
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question: [Was ist eine Inversion an einem Kreis?],
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answer: [
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Jeder echte Kreis $cal(K)$ einer Ebene, ist Bild eines Kugeläquators unter
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einer stereographischen Projektion $pi$. Bezeichnet $rho$ die Spiegelung der
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Kugel an der Äquatorebene, ist $pi compose rho compose pi^(-1)$ die
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Inversion der Ebene an $cal(K)$.
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])
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#card(
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question: [Wie kann man Kreisinversionen berechnen?],
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answer: [
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Invertiert man einen Punkt $bold(x)$ an einem Kreis mit Radius $r$ und
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||||
Mittelpunkt $bold(m)$ gilt für den Bildpunkt $bold(y)$: $norm(bold(x) -
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bold(m)) dot norm(bold(y) - bold(m)) = r^2$.
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])
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#card(
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question: [(Warum) sind Kreisinversionen winkeltreu?],
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answer: [
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Eine Inversion an einem Kreis $cal(K)$ ist eine winkeltreue
|
||||
Kreisverwandtschaft, die $cal(K)$ punktweise auf sich und den Mittelpunkt
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auf $bold(k)$ abbildet.
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||||
Daher bildet sie auch zu $cal(K)$ orthogonale Kreise auf sich ab.
|
||||
])
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#card(
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question: [Warum sind Kreisinversionen Kompositionen von Ahnlichkeiten und
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Kreisinversionen?],
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answer: [
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||||
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||||
(1) Eine Kreisverwandtschaft $kappa$, die den Punkt $bold(k)$ fest lässt,
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||||
bildet ein Quadratgitter wieder auf ein solches ab, weil sie die
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||||
einbeschriebenen Kreise auf Kreise abbildet. Somit ist sie eine Ähnlichkeit.
|
||||
|
||||
(2) Bildet $kappa$ den Punkt $bold(k)$ auf einen anderen Punkt $bold(m)$ ab,
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||||
betrachten wir die Inversion $iota$ an einem Kreis mit Mittelpunkt
|
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$bold(m)$. Weil $iota compose kappa$ nach (1) eine Ähnlichkeit $alpha$ ist,
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hat auch $kappa = iota compose iota compose kappa = iota compose alpha$ die
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behauptete Zerlegung.
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])
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||||
== Das Poincaré-Modell
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#card(
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question: [Wie ist das Poincaré-Madel! der hyperbolischen Ebene
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definiert?],
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question: [Wie ist das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?],
|
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answer: [
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Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir aus dem
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Klein-Modell, indem wir die Kreisscheinbe $cal(D)$ als orthogonale
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||||
Projektion einer auf ihr liegenden Kugel auffassen und das Klein-Modell der
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||||
hyperbolischen Ebene zurück nach oben auf die untere Hälfte der Kugel
|
||||
projizieren.
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||||
Vom Nordpol der Kugel projiziert man die untere Halbkugel stereographisch
|
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wieder zurück auf die Ebene von $cal(D)$ und erhält so das Poincaré-Modell
|
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der hyperbolischen Ebene.
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||||
])
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#card(
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question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
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answer: [
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Aus den hyperbolischen Geraden werden Halbkreise, die orthogonal vom Äquator
|
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der Kugel weg nach unten hängen.
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Die hyperbolischen Geraden entsprechen im Poincaré-Modell Kreisbögen, die
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orthogonal vom Fernkreis weglaufen.
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])
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#card(
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question: [Was sind die hyperbolischen Spiegelungen in diesem
|
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Modell?],
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answer: [
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||||
Die hyperbolischen Abbildungen werden im Poincaré-Modell zu Abbildungen, die
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||||
den Fernkreis auf sich abbilden. insbesondere wird aus einer hyperbolischen
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||||
Spiegelung an einer Polagen eine Inversion an einem zum Fernkreis
|
||||
orthogonalen Kreis, dessen Mittelpunkt $bold(m)$ der Pol der Spiegelung ist.
|
||||
])
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#card(
|
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question: [Warum sind die hyperbolischen Abb. genau die
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Kreisverwandtschaften, die den Fernkreis auf sich
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abbilden?],
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answer: [
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||||
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||||
Die projektiven Geraden durch den Pol gehen bei der Spiegelung und der
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Inversion in sich über. Jede hyperbolische Gerade ist hat im Klein- als auch
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im Poincaré-Modell zwei Fernpunkte auf dem Fernkreis und ist durch diese
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||||
festgelegt. Weil die Fernpunkte sowohl durch die Spiegelung als auch durch
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die Inversion auf sich abgebildet werden, wird jede Gerade in die gleiche
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||||
aber unterschiedlich als Strecke oder Kreissegment dargestellte Gerade
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||||
gespiegelt bzw. invertiert. Da jeder Punkt Schnitt von zwei Geraden ist,
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||||
folgt die Behauptung.
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||||
])
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#card(
|
||||
question: [Wie ist der hyperbolische Winkel definiert?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Der Winkel, in dem sich zwei hyperbolische Geraden im Poincaré-Modell
|
||||
schneiden, ist ihr hyperbolischer Winkel. Er ist invariant unter
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||||
hyperbolischen Abbildungen.
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||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Warum bleiben Winkel unter hyperbolischen Abb.
|
||||
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@ -2088,33 +2232,68 @@ invariant?],
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|||
question: [Wie gro8 ist die Winkelsumme eines hyperbolischen
|
||||
Dreiecks?],
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||||
answer: [
|
||||
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||||
Die Winkelsumme in einem hyperbolischen Dreieck ist kleiner als 180°.
|
||||
|
||||
(Die Winkelsumme eines Dreiecks der euklidischen Ebene ist 180° und für ein
|
||||
Kugeldreieck größer als 180°.)
|
||||
])
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||||
#card(
|
||||
question: [Warum ist die Winkelsumme eines hyperbolischen
|
||||
Dreiecks kleiner ais 180],
|
||||
Dreiecks kleiner als 180?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Jedes hyperbolische Dreieck $bold(o' p' q')$ kann durch eine Spiegelung
|
||||
(winkelerhaltend) in ein Dreieck $bold(o p q)$ überführt werden, bei dem
|
||||
z.B. $bold(o)$ Mittelpunkt der Kreisscheibe $cal(D)$ ist. Die zu dieser Ecke
|
||||
adjazenten Kanten liegen dann auf Durchmessern der Kreisscheibe. Nur der
|
||||
Winkel bei $bold(o)$ entspricht dem des euklidischen Dreiecks $bold(o p q)$,
|
||||
während die beiden anderen kleiner als die entsprechenden des euklidischen
|
||||
Dreiecks sind.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Wie groB kônnen die Winkelsummen regelma8iger n-Ecke sein?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Die Winkelsummen aller regelmäßigen n-Ecke bilden das Intervall $(0, (n-2)
|
||||
180°)$. Zu jeder Winkelsumme aus diesem Intervall gibt es also regelmäßige
|
||||
n-Ecke.
|
||||
|
||||
Ein regelmäßiges n-Eck ist ein Polygon, dessen Kantenlängen und Winkel alle
|
||||
gleichgroß sind.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was ist ein Fundamentalgebiet?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Ein regelmäßiger n-Eck mit Winkelsumme 360° (n > 4) heißt Fundamentalgebiet.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was ist eine Fuchssche Gruppe?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Bei einem Fundamentalgebiet $cal(Q)$ (regelmäßiger n-Eck mit Winkelsumme 360°)
|
||||
existiren $n$ (nicht eindeutige) Drehungen $phi_1, ..., phi_n$0mit $phi_1
|
||||
compose ... compose phi_n = id$, sodass die Bilder $phi cal(Q)$ für $phi =
|
||||
rho_1 compose ... compose rho_k, k in NN$ und $rho_1 ... rho_k in {phi_1,
|
||||
..., phi_n}$, die hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ zerlegen.
|
||||
|
||||
Die $phi_i$ erzeugen eine Fuchse Gruppe. Allgemeiner ist eine Fuchssche
|
||||
Gruppe eine Gruppe hyperbolischer Abbildungen, die ein, auch nicht
|
||||
regelmäßiges Polygon auf Polygone abbildet, welche die hyperbolische Ebene
|
||||
$cal(H)^2$ zerlegen.
|
||||
])
|
||||
== Orbifaltigkeiten
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was ist eine Obifaltigkeit?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Die Oberfläche eines Körpers mat $gamma$ hindurchführenden Tunneln ist eine
|
||||
Fläche vom topologischen Geschlecht $gamma$. Solch eine Fläche kann
|
||||
aufgeschnitten und vber dem Fundamentalgebiet einer Fuchsschen Gruppe
|
||||
parametrisiert werden.
|
||||
|
||||
Indem man eine Fläche über einem Fundamentalgebiet parametrisiert und ihre
|
||||
Parametrisierung periodisch über einer zugehörigen Kachelung der
|
||||
hyperbolischen Ebene fortsetzt, erhält man eine Orbidfaltigkeit. Die
|
||||
periodische Fortsetzung hilft, glatte, d.h. differenzierbare
|
||||
Parametrisierungen für solche Flächen zu konstruiren, die von beliebiger
|
||||
Glattheitsordnung sind. Man kann so stückweise rationale
|
||||
Splineorbidfaltigkeiten konstruiren, deren Grad nur um eins höher als ihre
|
||||
Differenzierbarkeitsordnung ist.
|
||||
])
|
||||
|
||||
|
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