From 1a3c60aed6d6f6a3b1c577b60f1ba12f418dad7e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Orangerot Date: Sat, 28 Jun 2025 22:18:42 +0200 Subject: [PATCH] feat(ggg): exam solutions for chapter 6 --- ggg/ggg-cards.typ | 241 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 210 insertions(+), 31 deletions(-) diff --git a/ggg/ggg-cards.typ b/ggg/ggg-cards.typ index e850580..5295a0f 100644 --- a/ggg/ggg-cards.typ +++ b/ggg/ggg-cards.typ @@ -1943,17 +1943,35 @@ komplexen Erweiterung?], #card( question: [Erklaren Sie das hyperbolische Modell der hyperbolischen Ebene !], answer: [ - + Im hyperbolischen Modell wird ie hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ durch die + obere Schale des zweischaligen Hyperboloids $cal(O) : bold(x)^t H bold(x) = + [x, y, z] mat(1,,;,1,;,,-1) vec(x,y,z) = -1, z > 0$ im $bb(R)^3$ + dargestellt. Der asymptotische Kegel $cal(K)$ von $cal(O)$ hat die Gleichung + $cal(K) : bold(x)^t H bold(x) = 0$ und ist in der Abbildung rot gezeichnet. ]) #card( question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?], answer: [ - + In diesem Modell sind die hyperbolischen Geraden durch die nicht leeren + Schnitte von $cal(O)$ mit den zweidimensionalen linearen Unterräumen des + $bb(R)^3$ gegeben. Es sind Pyperbeläste auf $cal(O)$. ]) #card( question: [Was sind die hyperbolischen Abbildungen in diesem Modell?], answer: [ - + Die regulären linearen Abbildungen des $bb(R)^3$, die $cal(O)$ auf sich + abbilden, und ihre Vielfachen repräsentieren die hyperbolischen Abbildungen, + wen wir sie auf $cal(O)$ beschränken und die Vielfachen der $bold(x) in + cal(O)$ als homogene Koordinatenvektoren für die Punkte des $cal(H)^2$ + auffassen. Zu diesen linearen Abbildungen gehören under anderem Rotationen + um die z-Achse und Spiegelungen an Ebenen durch die z-Achste. + + Die hyperbolischen Abbildungen werden durch die Matrizen $A$ repräsentiert, + für die $A^t H A = rho H$ mit $rho > 0$. + + Da der Kegel $cal(K)$ durch die Gleichung $bold(x)^t rho H bold(x) = 0$ + gegeben ist, stellen die linearen Abbildungen, die den Kegel auf sich + abbilden, die hyperbolischen Abbildungen dar. ]) #card( question: [Nennen Sie einfache Beispiele für hyperbolische @@ -1965,24 +1983,48 @@ Abbildungen in diesem Modell !], #card( question: [Wie ist das Klein-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?], answer: [ - + Aus dem hyperbolischen Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir durch + die Zentralprojektion $pi: bb(R)^3 \\ {bold(o)} -> {vec(bold(x), 1) | + bold(x) in bb(R)^2}, vec(bold(x),z) |-> vec(bold(x)/z, 1)$, das Klein-Modell + der hyperbolischen Ebene. Die Zentralprojektion $pi$ bildet $cal(O)$ auf die + offene Einheitskreisscheibe $cal(D) : x^2 + y^2 < 1, z = 1$ ab. ]) #card( question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?], answer: [ - + Hyperbolische Geraden in bildet die Zentralprojektion $pi$ auf die geraden + Strecken, die sich ergeben, wenn die Scheibe $cal(D)$ mit den + zweidimensionalen Unterräumen des $bb(R)^3$ geschnitten wird. ]) #card( question: [Was sind die hyperbolischen Abbildungen in diesem Modell?], answer: [ - + Unter der Projektion $pi$ werden die linearen Abbildungen des $bb(R)^3$ und + ihre Vielfachen je zu einer linear rationalen Abbildung der Ebene $z = 1$, + das heißt, dass eine lineare Abbildung und ihre Vielfachen eine projektive + Abbildung der linearen Abbildung auf $cal(O)$ entspricht der Beschränkung + der projektiven Abbildung auf $cal(D)$. + + Folglich sind die hyperbolischen Abbildungen im Klein-Modell die auf + $cal(D)$ beschränkten Projektivetäten der Ebene $z=1$, die $cal(D)$ bzm., + wenn nicht beschränkt, den Kreis $pi cal(K) = "Rand" cal(D)$ auf sich + abbilden. ]) #card( question: [Wie sind Entfernungen definiert?], answer: [ - + Eine Strecke $bold(x y)$ hat die Länge $"dist"(bold(x), bold(y)) = abs(log D + V [bold(x y) | bold(a b)])$ wobei $bold(a)$ und $bold(b)$ die Fernpunkte der + hyperbolischen Geraden $bold(x y)$ sind. Man beachte, dass die Vertauschung + der Punkte $bold(a)$ und $bold(b)$ oder der Punkte $bold(x)$ und $bold(y)$ das + Doppelverhaltnis invertiert und daher nur das Vorzeichen seines Logarithmus + ändert. + + (Der Rand der Kreisscheibe $cal(D)$ heißt Fernkreis. Er gehört nicht zur + hyperbolischen Ebene. Seine Punkte werden Fernpunkte genannt und die Punkte + außerhalb des Fernkreises Ultra-Fernpunkte. ) ]) #card( question: [Warum sind Entfernungen invariant unter hyperbolischen @@ -1994,87 +2036,189 @@ Abb.?], #card( question: [Wie ist eine hyperbolische Spiegelung definiert?], answer: [ - + Eine hyperbolische Spiegelung oder harmonische Homologie ist eine + hyperbolische Abbildung $bold(y) = Phi(bold(x))$ mit einer Fixpunktgeraden + $cal(P)$, bei der die Geraden $bold(x) union.sq Phi(bold(x))$ alle durch den + Pol $bold(p)$ zur Polare $cal(P)$ bezüglich des Fernkreis gehen. Es sind + also Perspektivitäten, die $cal(D)$ auf sich abbilden. ]) #card( question: [Was muss man tun, um eine hyperbolische Spiegelung ais euklidische Spiegelung anzusehen?], answer: [ - + Betrachtet man den Pol $bold(p)$ als Fernpunkt einer euklidischen Ebene, + entspricht die hyperbolische Spiegelung einer Spiegelung der euklidischen + Ebene an $cal(P)$. Die Polare geht bei dieser Betrachtung durch den + Mittelpunkt von $cal(D)$. ]) #card( question: [Wie geht man vor, um zu zeigen, dass jede hyperbolische Abb. Produkt von Spiegelungen ist?], answer: [ - + Bildet $Phi$ eine Gerade $cal(P)$ und einen Punkt $bold(r) in cal(P)$ auf + sich ab, bildet sie die Fernpunkte $bold(a)$ und $bold(b)$ von $cal(P)$ mit + den zugehöringen Tangenten des Fernkreis auf sich ab oder vertauscht sie. + + Sie bildet dahre auch den Pol $bold(p)$ zu $cal(P)$ und die Gerade $cal(Q)$ + durch $bold(p)$ und $bold(r)$ auf sich ab. Da $Phi$ durch die Bilder der + Fernpunkte von $cal(P)$ und $cal(Q)$ bestimmt ist, kann $Phi$ nur die + Identität, die Spiegelung an $cal(P)$, die an $cal(Q)$ odie die Verknüpfung + dieser beiden Spiegelungen sein. ]) == Kreisverwandtschaften #card( question: [Was ist eine stereographische Projektion?], answer: [ - + Eine stereographische Projektion ist eine Zentralprojektion vom Nordpol + $bold(n)$ einer Kugel aus auf die Tangentialebene am Südpol, die auf die + Kugel beschränkt wird und eindeutig jedem Punkt der Kugel mit Ausnahme des + Nordpols einen Punkt der Ebene zuordnet. + + Für den Nordpol erweitert man die Ebene um einen gedachten unechten Punkt + $bold(k)$ und erklärt $bold(k)$ als das stereographische Bild von $bold(n)$. + (Durch $bold(k)$ wird die Ebene kompaktifiziert.) Die Kreise durch den + Nordpol werden durch die stereographische Projektion auf die Geraden der + Ebene abgebildet und ihnen eindeutig zugeordnet. Die Geraden heißen unechte + Kreise und sind genau die Kreise, die durch $bold(k)$ gehen. + + #cetz.canvas({ + import cetz.draw: * + import cetz.matrix: * + + + let xy = ((cos(20deg),cos(20deg),0),(-sin(20deg),sin(20deg),1)) + // set-transform(xy) + line(mul-vec(xy, (-2, -2, -1)), mul-vec(xy, (2, -2, -1))) + line(mul-vec(xy, (-2, -2, -1)), mul-vec(xy, (-2, 2, -1))) + line(mul-vec(xy, (2, 2, -1)), mul-vec(xy, (2, -2, -1))) + line(mul-vec(xy, (2, 2, -1)), mul-vec(xy, (-2, 2, -1))) + + circle((0,0), radius: 1, stroke: blue) + circle(mul-vec(xy, (0,0,1)), radius: 0.08, fill: red, stroke: none) + content((), text(fill: red, $n$), anchor: "south-west", padding: .1) + + line(mul-vec(xy, (0,0,1)), mul-vec(xy, (1,0,-1)), mark: (end: ">"), + stroke: red) + circle(mul-vec(xy, (1,0,-1)), radius: 0.08, stroke: red) + circle((mul-vec(xy, (0,0,1)), 60%, mul-vec(xy, (1,0,-1))), radius: 0.08, stroke: blue) + }) ]) #card( question: [Warum sind stereographische Projektionen winkel-und kreistreu?], answer: [ - + Zum Beweis der Winkeltreue, sehen wir uns zwei Tangenten der Kugel in einem + Punkt $bold(p)$ an und dazu die Beiden Kreise durch $bold(p)$ und $bold(n)$ + mit diesen Tangenten. Diese Kreise schneiden sich im Nordpol im gleichen + Winkel und die Tangenten im Nordpol sind parallel zu den Bildtangenten, da + diese beiden Tangentenpaare Schnitte der beiden Kreisebenen mit den + Tangentialebenen der Kugel im Nord- und Südpol sind. Das beweist die + Winkeltreue. + + Kreise, die nicht den Nordpol gehen, werden auf Ellipsen abgebildet. Um zu + zeigen, dass diese Ellipsen Kreise sind, betrachten wir zu einem Kreis der + Kugel den Tangentialkegel, der die Gugel in diesem Kreis berührt. Die + Mantellinien des Kegels schneiden den Kreis orthogonal und werden auf + Geraden abgebildet, die alle durch das Bild der Kegelspitze gehen und wegen + der Winkeltreue das Bild des Kreises orthogonal schneiden. Deshalb kann das + Bild nur ein Kreis sein. ]) #card( question: [Was sind Kreisverwandtschaften?], answer: [ - + Kreisverwandtschaften sind bijektive Abbildungen, die Kreise und nur Kreise + auf Kreise abbilden. Beispielsweise sind stereographische Projektionen + Kreisverwandtschaften. ]) #card( question: [Was ist eine Inversion an einem Kreis?], answer: [ - + Jeder echte Kreis $cal(K)$ einer Ebene, ist Bild eines Kugeläquators unter + einer stereographischen Projektion $pi$. Bezeichnet $rho$ die Spiegelung der + Kugel an der Äquatorebene, ist $pi compose rho compose pi^(-1)$ die + Inversion der Ebene an $cal(K)$. ]) #card( question: [Wie kann man Kreisinversionen berechnen?], answer: [ - + Invertiert man einen Punkt $bold(x)$ an einem Kreis mit Radius $r$ und + Mittelpunkt $bold(m)$ gilt für den Bildpunkt $bold(y)$: $norm(bold(x) - + bold(m)) dot norm(bold(y) - bold(m)) = r^2$. ]) #card( question: [(Warum) sind Kreisinversionen winkeltreu?], answer: [ - + Eine Inversion an einem Kreis $cal(K)$ ist eine winkeltreue + Kreisverwandtschaft, die $cal(K)$ punktweise auf sich und den Mittelpunkt + auf $bold(k)$ abbildet. + Daher bildet sie auch zu $cal(K)$ orthogonale Kreise auf sich ab. ]) #card( question: [Warum sind Kreisinversionen Kompositionen von Ahnlichkeiten und Kreisinversionen?], answer: [ - + (1) Eine Kreisverwandtschaft $kappa$, die den Punkt $bold(k)$ fest lässt, + bildet ein Quadratgitter wieder auf ein solches ab, weil sie die + einbeschriebenen Kreise auf Kreise abbildet. Somit ist sie eine Ähnlichkeit. + + (2) Bildet $kappa$ den Punkt $bold(k)$ auf einen anderen Punkt $bold(m)$ ab, + betrachten wir die Inversion $iota$ an einem Kreis mit Mittelpunkt + $bold(m)$. Weil $iota compose kappa$ nach (1) eine Ähnlichkeit $alpha$ ist, + hat auch $kappa = iota compose iota compose kappa = iota compose alpha$ die + behauptete Zerlegung. ]) == Das Poincaré-Modell #card( - question: [Wie ist das Poincaré-Madel! der hyperbolischen Ebene -definiert?], + question: [Wie ist das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?], answer: [ - + Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir aus dem + Klein-Modell, indem wir die Kreisscheinbe $cal(D)$ als orthogonale + Projektion einer auf ihr liegenden Kugel auffassen und das Klein-Modell der + hyperbolischen Ebene zurück nach oben auf die untere Hälfte der Kugel + projizieren. + + Vom Nordpol der Kugel projiziert man die untere Halbkugel stereographisch + wieder zurück auf die Ebene von $cal(D)$ und erhält so das Poincaré-Modell + der hyperbolischen Ebene. ]) #card( question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?], answer: [ - + Aus den hyperbolischen Geraden werden Halbkreise, die orthogonal vom Äquator + der Kugel weg nach unten hängen. + + Die hyperbolischen Geraden entsprechen im Poincaré-Modell Kreisbögen, die + orthogonal vom Fernkreis weglaufen. ]) #card( question: [Was sind die hyperbolischen Spiegelungen in diesem Modell?], answer: [ - + Die hyperbolischen Abbildungen werden im Poincaré-Modell zu Abbildungen, die + den Fernkreis auf sich abbilden. insbesondere wird aus einer hyperbolischen + Spiegelung an einer Polagen eine Inversion an einem zum Fernkreis + orthogonalen Kreis, dessen Mittelpunkt $bold(m)$ der Pol der Spiegelung ist. ]) #card( question: [Warum sind die hyperbolischen Abb. genau die Kreisverwandtschaften, die den Fernkreis auf sich abbilden?], answer: [ - + Die projektiven Geraden durch den Pol gehen bei der Spiegelung und der + Inversion in sich über. Jede hyperbolische Gerade ist hat im Klein- als auch + im Poincaré-Modell zwei Fernpunkte auf dem Fernkreis und ist durch diese + festgelegt. Weil die Fernpunkte sowohl durch die Spiegelung als auch durch + die Inversion auf sich abgebildet werden, wird jede Gerade in die gleiche + aber unterschiedlich als Strecke oder Kreissegment dargestellte Gerade + gespiegelt bzw. invertiert. Da jeder Punkt Schnitt von zwei Geraden ist, + folgt die Behauptung. ]) #card( question: [Wie ist der hyperbolische Winkel definiert?], answer: [ - + Der Winkel, in dem sich zwei hyperbolische Geraden im Poincaré-Modell + schneiden, ist ihr hyperbolischer Winkel. Er ist invariant unter + hyperbolischen Abbildungen. ]) #card( question: [Warum bleiben Winkel unter hyperbolischen Abb. @@ -2088,33 +2232,68 @@ invariant?], question: [Wie gro8 ist die Winkelsumme eines hyperbolischen Dreiecks?], answer: [ - + Die Winkelsumme in einem hyperbolischen Dreieck ist kleiner als 180°. + + (Die Winkelsumme eines Dreiecks der euklidischen Ebene ist 180° und für ein + Kugeldreieck größer als 180°.) ]) #card( question: [Warum ist die Winkelsumme eines hyperbolischen -Dreiecks kleiner ais 180], +Dreiecks kleiner als 180?], answer: [ - + Jedes hyperbolische Dreieck $bold(o' p' q')$ kann durch eine Spiegelung + (winkelerhaltend) in ein Dreieck $bold(o p q)$ überführt werden, bei dem + z.B. $bold(o)$ Mittelpunkt der Kreisscheibe $cal(D)$ ist. Die zu dieser Ecke + adjazenten Kanten liegen dann auf Durchmessern der Kreisscheibe. Nur der + Winkel bei $bold(o)$ entspricht dem des euklidischen Dreiecks $bold(o p q)$, + während die beiden anderen kleiner als die entsprechenden des euklidischen + Dreiecks sind. ]) #card( question: [Wie groB kônnen die Winkelsummen regelma8iger n-Ecke sein?], answer: [ - + Die Winkelsummen aller regelmäßigen n-Ecke bilden das Intervall $(0, (n-2) + 180°)$. Zu jeder Winkelsumme aus diesem Intervall gibt es also regelmäßige + n-Ecke. + + Ein regelmäßiges n-Eck ist ein Polygon, dessen Kantenlängen und Winkel alle + gleichgroß sind. ]) #card( question: [Was ist ein Fundamentalgebiet?], answer: [ - + Ein regelmäßiger n-Eck mit Winkelsumme 360° (n > 4) heißt Fundamentalgebiet. ]) #card( question: [Was ist eine Fuchssche Gruppe?], answer: [ - + Bei einem Fundamentalgebiet $cal(Q)$ (regelmäßiger n-Eck mit Winkelsumme 360°) + existiren $n$ (nicht eindeutige) Drehungen $phi_1, ..., phi_n$0mit $phi_1 + compose ... compose phi_n = id$, sodass die Bilder $phi cal(Q)$ für $phi = + rho_1 compose ... compose rho_k, k in NN$ und $rho_1 ... rho_k in {phi_1, + ..., phi_n}$, die hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ zerlegen. + + Die $phi_i$ erzeugen eine Fuchse Gruppe. Allgemeiner ist eine Fuchssche + Gruppe eine Gruppe hyperbolischer Abbildungen, die ein, auch nicht + regelmäßiges Polygon auf Polygone abbildet, welche die hyperbolische Ebene + $cal(H)^2$ zerlegen. ]) == Orbifaltigkeiten #card( question: [Was ist eine Obifaltigkeit?], answer: [ - + Die Oberfläche eines Körpers mat $gamma$ hindurchführenden Tunneln ist eine + Fläche vom topologischen Geschlecht $gamma$. Solch eine Fläche kann + aufgeschnitten und vber dem Fundamentalgebiet einer Fuchsschen Gruppe + parametrisiert werden. + + Indem man eine Fläche über einem Fundamentalgebiet parametrisiert und ihre + Parametrisierung periodisch über einer zugehörigen Kachelung der + hyperbolischen Ebene fortsetzt, erhält man eine Orbidfaltigkeit. Die + periodische Fortsetzung hilft, glatte, d.h. differenzierbare + Parametrisierungen für solche Flächen zu konstruiren, die von beliebiger + Glattheitsordnung sind. Man kann so stückweise rationale + Splineorbidfaltigkeiten konstruiren, deren Grad nur um eins höher als ihre + Differenzierbarkeitsordnung ist. ])