feat(ggg): exam solutions for chapter 5
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2da4435402
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67495874b8
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@ -1489,44 +1489,75 @@ was sind ihre Dimensionen?],
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#card(
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question: [Was ist ein projektiver Raum?],
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answer: [
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Die eigentlichen und uneigentlichen Punkte des $cal(A)^n$ bilden den
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projektiven Raum $cal(P)^n$ bzw die projektive Erweiterung des $cal(A)^n$.
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])
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#card(
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question: [Was sind die projektiven Unterräume?],
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answer: [
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Der $cal(P)^n$ wird durch die Menge der eindimensionalen Unterräume des
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$bb(R)^(n+1)$ repräsentiert und die projektiven Unterräume von $cal(P)^n$
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durch die linearen Unterräume des $bb(R)^(n+1)$. Die eindimensionalen
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Unterräume des $bb(R)^(n+1)$ stellen die Punkte des $cal(P)^n$ dar.
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Stellt ein Unterraum $U subset bb(R)^(n+1)$ den Unterraum $U subset
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cal(P)^n$ dar, gilt $dim cal(U) := dim U -1$. Ein Unterraum $cal(U)$ der
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Dimension $-1,0,1,2,n-1$ ist leer oder wird Punkt, eine Gerade, eine Ebene
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bzw. eine Hyperebene genannt.
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Der Schnitt zweier projektiven Unterräume $cal(U)$ und $cal(V)$ ist der
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projektive Unterraum $cal(U) inter.sq cal(V) := cal(U) inter cal(V)$ und
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ihre Verbindung $cal(U) union.sq cal(V)$ der kleinste projektive Unterraum,
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der $cal(U)$ und $cal(V)$ enthält.
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])
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#card(
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question: [Warum schneiden sich zwei Geraden einer projektiven
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Ebene immer?],
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answer: [
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(Alle Hyperebenen gehen durch den Ursprung des $cal(A)^n$)
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])
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== Projektive Koordinaten
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#card(
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question: [Wann heißt eine Punktfolge projektiv unabhängig?],
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answer: [
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Die Folge $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ heißt projektiv unabhängig genau dann,
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wenn die Folge $bb(p)_0...bb(p)_r subset bb(R)^(n+15$ linear unabhängig ist.
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])
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#card(
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question: [Wie ist die projektive Hülle von Punkten definiert?],
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answer: [
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Die projektive Hülle oder der Aufspann von $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ ist der
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projektive Unterraum $<bold(p)_0 ... bold(p)_r> := { bold(x) | bb(x) in
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[bb(p)_0 .. bb(p)_r] bb(R)^(r+1) \\ { bb(o) } }$.
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])
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#card(
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question: [Wie sind projektive Koordinaten definiert?],
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answer: [
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Wir bemereken, dass jedes projektive Grundeck im $cal(P)^n$ eindeutig ein
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Koordinatensystem im $bb(R)^(n+1)$ bestimmt. Für die Angabe von Koordinaten
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im $cal(P)^(n+1)$ reicht es, nur ein Grundeck im $cal(P)^n$ anzugeben,
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sodass wir uns ganz vom $bb(R)^(n+1)$ lösen können. Wir nennen die
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Koordinaten eines Punktes deshalb auch projektive Koordinaten bezüglich
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eines Grundecks. Sind $x_i$ die projektiven Koordinaten eines Punkts
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$bold(x)$ bezüglich $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ schreiben wir auch
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$bold(x) = bold(p)_0 x_0 + ... + bold(p)_n x_n$.
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])
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#card(
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question: [Was ist eine projektive Skala?],
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answer: [
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Seien $x_0$ und $x_1$ die projektiven Koordinaten eines Punkts $bold(x)$
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bezüglich eines Grundecks $bold(p)_0 bold(p)_1 bold(p)$. Dann bilden die
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Quotienten $x = x_1 / x_0$ für alle $bold(x) in bold(p)_0 union.sq
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bold(p)_1$ die projektive Skala bezüglich $bold(p)_0 bold(p_1) bold(p)$.
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])
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#card(
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question: [Wann ist eine projektive Skala eine affine?],
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answer: [
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Ist $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ ein projektives Grundeck in einer
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projektiv erweiterten affinen Gerade mit Fernpunkt $bold(p)_1$, ist die
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porjektive Skala $x$ bezüglich $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ auch eine
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affinie Skala, die den affinen Koordinaten der Punkte $bold(x)$ bezüglich
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des affinen Koordinatensystems $bold(p)_0 (bold(p) - bold(p)_0)$ entspricht.
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])
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== Koordintentransformation
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#card(
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@ -1534,132 +1565,278 @@ Ebene immer?],
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Koordinaten bezüglich eines anderen Grundecks
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transformiert werden?],
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answer: [
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Seien $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ und $bold(q)_0 ... bold(q)_n
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bold(q)$ Grundecke des $cal(P)^n$ und sei
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$
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bb(p) = & [ bb(p)_0 ... bb(p)_n] bb(e) = bb(P e) \
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||||
bb(q) = & [ bb(q)_0 ... bb(q)_n] bb(e) = bb(Q e) \
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||||
bb(x) = & bb(P x)_p = bb(Q x)_q
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||||
$
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||||
Dann ist $bb(x)_q = bb(Q)^(-1) bb(P) bb(x)_p$ eine
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Koordinatentransformation. Dabei repräsentiert $bb(Q)^(-1) bb(P)$ die
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Grundpunkte $bold(p)_i$ bezüglich des Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n
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bold(q)$.
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])
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#card(
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question: [Wie ändern sich bei einer Koordinatentransformation die
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Koordinaten von Hyperebenen?],
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answer: [
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Eine Hyperebene $cal(U): bb(u)^t bb(x) = 0$ hat bezüglich des Gundecks
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$bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$ die Darstellung $bb(u)^t bb(Q) bb(x)_q =:
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||||
bb(u)^t_q bb(x)_q = 0$. Also ist $bb(u)_q = bb(Q)^t bb(u)$ die
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||||
Transformation des homogenen Hyperebenen-Koordinatenvektors $bb(u)$ in den
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bezüglich des Grundecks $bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$.
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])
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#card(
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question: [Warum kann jede Hyperebene eines projektiven Raums
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als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
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answer: [
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Die Grundpunkte $bold(q)_1, ..., bold(q)_n$ liegen in der Hyperebene
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$cal(U)$ genau dann, wenn $bb(u)^t_q ~ [1 0 ... 0]$. D.h. bezüglich des
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||||
Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n bold(q)$ kann $cal(U)$ als die
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Fernhyperebene einer projektiven Erweiterung des $cal(A)^n$ aufgefasst
|
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werden. Da $cal(U)$ eine beliebige Hyperebene ist, kann auch jede andere
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Hyperebene als Fernhyperebene aufgefasst werden.
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])
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== Der Dualraum
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#card(
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question: [Was ist der Dualraum eines projektiven Raums?],
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answer: [
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Die Hyperebenen des $cal(P) := cal(P)^n$ bilden einen projektiven Raume, der
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Dualraum von $cal(P)^n$ genannd und mit $cal(P)^*$ bezeichnet wird.
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])
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#card(
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question: [Was heißt alles dual zueinander?],
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answer: [
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Ein Punkt $bold(u)$ und eine Hyperebene $cal(U)$ med dem glichen homogenen
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Koordinatenvektoren $bb(u)$ heißen dual zueinander.
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])
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#card(
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question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des 𝒫𝒫 ⁿ
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berechnen?],
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question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des $cal(P)^n$ berechnen?],
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answer: [
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Ein Unterraum $cal(A) := bold(a)_0 union.sq ... union.sq bold(a)_k subset
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cal(P)$ geht beim Dualisieren in den Unterraum $cal(A)^* := cal(A)_0
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union.sq ... union.sq cal(A)_k subset cal(P)^*$ über, aber meist stellt man
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den Unterraum $cal(A)^*$ durch den polaren Unterraum $cal(A)̧̃° := cal(A)_0 inter
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... inter cal(A)_k subset cal(P)$ dar und bezeichnet auch $cal(A)°$ als den
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||||
zu $cal(A)$ dualen Unterraum.
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||||
Die Hyperebene $cal(U) = bold(a)_1 union.sq ... union.sq bold(a)_n : bb(u)^t
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= [bb(a)_1 and ... and bb(a)_n]^t$ ist dual zum Punkt $cal(U)^* = cal(A)_1
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inter.sq ... inter.sq cal(A)_n = { bold(u)}: bb(u) = bb(a)_1 and ... and
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bb(a)_n$.
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])
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== Projektive Abbildungen
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#card(
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question: [Was ist eine projektive Abbildung?],
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answer: [
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Jede lineare Abbildung $phi : bb(R)^(m+1) -> bb(R)^(n+1), bb(x) |-> bb(A
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x)$, induziert eine projektive Abbildung $Phi: cal(P)^m -> cal(P)^n$, die
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||||
durch die gleiche Matrix $bb(A)$ wie $phi$ dargestellt wird: $bold(y) =
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Phi(bold(x)) : bb(A x) = [bb(a)_0 .. bb(a)_m] bb(x)$.
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||||
Dabei repräsentieren die Koordinatenvektoren $bb(a)_0...bb(a)_m (bb(a)_0 +
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... bb(a)_m)$ die Bilder des Koordinaten-Grundecks.
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])
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#card(
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question: [Wann hat eine projektive Abbildung einen ausnahmeraum
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und wie ist er definiert?],
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answer: [
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Die projektive Abbildung $Phi$ heißt regulär oder Projektivität, wenn
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$bb(A)$ eine reguläre Matrix ist. Der Kern der Matrix repräsentiert den
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Ausnahmeraum $cal(A)_Phi := "kern" bb(A) = {bb(x) | bb(A x) = bb(o)}$ von
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||||
$Phi$. Es ist der Raum, der durch $Phi$ auf den Unpunkt abgebildet wird.
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])
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#card(
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question: [Auf was bilden projektive Abbildungen projektive
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Unterräume ab?],
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||||
question: [Auf was bilden projektive Abbildungen projektive Unterräume ab?],
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answer: [
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Projektivitäten bilden projektive Unterräume auf projektive Unterräume ab
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und allgemein bildet eine projektive Abbildung $Phi$ jeden projektiven
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Unterraum $cal(U)$ ohne den Ausnahmeraum auf einen projektiven Unterraum ab:
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$Phi: cal(U) \\ cal(A)_Phi |-> Phi(cal(U) \\ cal(A)_Phi)$.
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Zu zwei Grundecken $bold(p)_0...bold(p)_n bold(p)$ und
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$bold(q)_0...bold(q)_n bold(q)$ zweier projektiver Räume gibt es genau eine
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Projektivität $Phi$, die das erste auf das zweite abbildet, d.h. die
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$Phi(bold(p)_i) = bold(q)_i$ und $Phi(bold(p)) = bold(q)$ erfüllt.
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])
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== Kollineationen und Korrelationen
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#card(
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question: [Was sind Kollineationen und Korrelationen?],
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answer: [
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||||
Projektivitäten $Phi: cal(P) -> cal(P)$ heißen Kollineationen, weil sie
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kollineare Punkte auf kollineare Punkte abbliden, und Projektivitäten $Phi:
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cal(P) -> cal(P)^*$ heißen Korrelationen.
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])
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#card(
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question: [Wie ist Dualität allgemein definiert?],
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answer: [
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Die Dualitätsdefinition besagt, dass eine Figur, d.h. ein aus Unterräumen
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eines projektiven Raums besthendes Gebilde, dual zu einer zweiten ist, wenn
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sie durch eine Korrelation in diese überführt werden kann.
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])
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#card(
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question: [Wie lautet der Satz von Desargues und wie der dazu duale
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Satz?],
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answer: [
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Sind die Ecken zweier Dreiecke in perspektivischer Lage, dann sind es auch
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ihre Kanten.
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(Sind die Kanten zweier Dreiecke in perspektivischer Lage, dann sind es auch
|
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ihre Ecken. )
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])
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||||
== Linear rationale Transformationen
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#card(
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question: [Wie lassen sich Projektivitäten zwischen zwei Geraden
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darstellen?],
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answer: [
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Eine Projektivität zwischen zwei Geraden hat die Darstellung $vec(y_0, y_1)
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= mat(a, b; c, d) vec(x_0, x_1)$ oder nach Inhomogenisierung die Darstellung
|
||||
$y_1 / y_0 = (c x_0 + d x_1) / (a x_0 + b x_1) = (c + d x_1 / x_0) / (a + b
|
||||
x_1 / x_0)$ bzw., wenn wir die projektiven Skalen $x = x_1 / x_0$ und $y = y_1
|
||||
/ y_0$ verwenden, die Darstellung $y = (c x_0 + d x_1) / (a x_0 + b x_1) = (c
|
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+ d x) / (a + b x)$. Letztere ist eine linear-rationale Transformation der
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projektiven Skala $x$.
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])
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||||
== Das Doppelverhältnis
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#card(
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question: [Was ist das Doppelverhältnis?],
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answer: [
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Hier betrachen wir vier Punkte $bold(a), bold(b), bold(x)$ und $bold(y)$
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einer Geraden mit den projektiven Skalenwerten $alpha, beta, xi$ und $eta$
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||||
bzgl. irgendeines Grundecks.
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||||
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||||
#cetz.canvas({
|
||||
import cetz.draw: *
|
||||
|
||||
line((0,0), (7.5, 0))
|
||||
content((), [projektive Skala], anchor: "south-east")
|
||||
|
||||
circle((1,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $alpha$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((2,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $eta$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((3.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $beta$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((4.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $xi$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
})
|
||||
|
||||
Das Doppelverhaltnis der Punktpaare $bold(x y)$ und $bold(a b)$ ist der Wert
|
||||
$delta = D V [bold(x y) | bold(a b)] := (xi - alpha) / (xi - beta) : (eta -
|
||||
alpha) / (eta - beta)$.
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||||
])
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||||
|
||||
#card(
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||||
question: [Warum sind Doppelverhältnisse invariant unter
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projektiven Abbildungen?],
|
||||
question: [Warum sind Doppelverhältnisse invariant unter projektiven Abbildungen?],
|
||||
answer: [
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||||
|
||||
Weil die Matrix einer projektiven Abbildung $Phi$ die Einheitsmatrix ist,
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||||
wenn wir sie für die Urbild- und Bildkoordinaten bezüglich des Grundecks
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||||
$bold(a b y)$ bzw $Phi(bold(a)) Phi(bold(b)) Phi(bold(y))$ beschreiben,
|
||||
ändern projektive Abbildungen Doppelverhältnisse nicht. Doppelverhälnisse
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||||
treten daher im projektiven Raum an die Stelle der Teilverhaltnisse, da
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||||
letztere nur affine Invarientan sind.
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||||
])
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||||
#card(
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||||
question: [Was ist das harmonische Doppelverhältnis?],
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answer: [
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||||
])
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||||
Für das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ liegen $bold(x y)$ und
|
||||
$bold(a b)$ in harmonischer Lage.
|
||||
])
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||||
#card(
|
||||
question: [Was bedeutet harmonische Lage von vier kollinearen
|
||||
Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
|
||||
answer: [
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||||
|
||||
Für $delta = - 1$ liegen $bold(x y)$ und $bold(a b)$ in harmonischer Lage.
|
||||
|
||||
Ist $bold(b)$ ein Fernpunkt, ist $delta$ eine affine Skala und für $delta =
|
||||
-1$ ist $bold(a) = (bold(x) + bold(y)) /2$.
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||||
|
||||
|
||||
#cetz.canvas({
|
||||
import cetz.draw: *
|
||||
|
||||
line((0,0), (4, 0))
|
||||
content((), [affine Skala], padding: .2, anchor: "south")
|
||||
|
||||
circle((0.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $-1$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((1.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $0$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((2.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $1$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
line((5,0), (6, 0), mark: (end: ">"))
|
||||
content((), $oo$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
})
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmon,ische
|
||||
Verhältnis invariant?],
|
||||
question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmonische Verhältnis invariant?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ ist invariant gegenüber den
|
||||
Vertauschungen $bold(x) <-> bold(y), bold(x y) <-> bold(a b), bold(a) <->
|
||||
bold(b)$.
|
||||
])
|
||||
== Die duale Abbildung
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||||
#card(
|
||||
question: [Was ist die duale Abbildung?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Sei $Phi: cal(X) -> cal(Y), bb(x) |-> bb(A x)$ eine projektive Abbildung.
|
||||
NUter ihr hat eine Hyperebene $cal(V): bb(v)^t bb(y) = 0$ von $cal(Y)$ das
|
||||
Urbild $Phi^- cal(V) = { bold(x) in cal(X) | bb(v)^t bb(A x) = 0} : bb(u)^t
|
||||
= bb(v)^t bb(A)$. Die Abbildung $Phi^* : cal(Y)^* -> cal(X)^*, bb(v)^t |->
|
||||
bb(A)^t bb(v)$ ist die duale Abbildung zu $Phi$. Ist sie bijektiv, bildet
|
||||
ihre Inverse jede Hyperebene $cal(U)$ auf die Hyperebene $cal(V)$ ab, in die
|
||||
$Phi$ alle Punkte von $cal(U)$ abbildet.
|
||||
|
||||
Da $A^(t t) = A$, ist die duale Abbildung $Phi^(* *)$ der dualen Abbildung
|
||||
$Phi^*$ wieder die Ausgangsabbildung $Phi$.
|
||||
])
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||||
== Quadriken
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||||
#card(
|
||||
question: [Was ist eine Quadrik?],
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||||
answer: [
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||||
|
||||
Eine Quadrik im $cal(P)^n$ besteht aus den Punkten $bold(x)$, deren homogene
|
||||
Koordinatenvektioren $bb(x)^t = [epsilon, bold(x)^t] x_0$ eine quadratische
|
||||
Gleichung erfüllen:
|
||||
$
|
||||
cal(Q)(bb(x)) &= bb(x)^t bb(Q x) \
|
||||
&= [epsilon x_0, bold(x)^t x_0] mat(q, bold(q)^t; bold(q), Q)
|
||||
vec(epsilon x_0, bold(x) x_0) \
|
||||
&~ bold(x)^t Q bold(x) + 2 epsilon bold(q)^t bold(x) + q epsilon^2 \
|
||||
&= 0
|
||||
$
|
||||
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Warum können wir annehmen, dass die Matrix einer
|
||||
Quadrik symmetrisch ist?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Da $bb(Q) + bb(Q)^t$ ebenfalls $cal(Q)$ repräsentiert, nehmen wir ohne
|
||||
Einschränkung der Allgemeinheit an, dass $bb(Q) = bb(Q)^t$ symmetrisch ist.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was ist die Fernquadrik und der affine Teil einer
|
||||
projektiven Quadrik?],
|
||||
answer: [
|
||||
|
||||
Für $epsilon = 1$, erhäld man den affinen Teil $cal(Q)_"aff"$ von $cal(Q)$
|
||||
und für $epsilon = 0$ die Fernquadrik $cal(Q)_oo$. Die Fernpunkte von
|
||||
$cal(Q)$ heißen asymptotic directions und $cal(Q) = cal(Q)_"aff" union
|
||||
cal(Q)_oo$ auch projektive Erweiterung von $cal(Q)_"aff"$. Die Quadrik
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$cal(Q)$ heißt regulär, wenn ihre Matrix $bb(Q)$ regulär ist.
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#card(
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question: [Was ist eine Quadrik in einer projektiven Gerade?],
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@ -1670,32 +1847,71 @@ projektiven Quadrik?],
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#card(
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question: [Wie berechnet man die Tangentenquadrik einer Quadrik?],
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answer: [
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Um die Tangentialebenen (genauer Tangentialhyperebenen) einer Quadrik
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$cal(Q)$ zu bestimmen, betrachten wir zunächst einen Punkt $bold(p)$ der
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Quadrik $cal(Q)$ und einer Geraden $cal(T): bb(x) = bb(p) + bb(q) lambda$
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des $cal(P)^n$. (Dabei stellt $lambda = lambda_1 / lambda_0$ eine projektive
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Skala auf $cal(T) : bb(x) = bb(p) lambda_0 + bb(q) lambda_1$ dar.) Nur wenn
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die Gerade $cal(T)$ die Quadrik allein im Punkt $bold(p)$ berührt oder ganz
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auf der Quadrik liegt ist sie eine Tangente. Folglich ist $cal(T)$ Tangente
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genau dann, wenn die quadratische Gleichung
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$
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cal(Q)(bb(x)(lambda)) &= bb(x)^t bb(Q x) \
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&= bb(p)^t bb(Q p) + 2 bb(p)^t bb(Q q) lambda + bb(q)^t bb(Q q) lambda^2 \
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&= 2 bb(p)^t bb(Q p) lambda + bb(q)^t bb(Q q) lambda^2 \
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&= 0
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$
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eine doppelte Nullstelle $lambda = 0$ hat. Somit ist $cal(T)$ Tangente von
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$cal(Q)$ genau dann, wenn $bb(p)^t bb(Q q) = 0$. Weiter folgt, dass die
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Tangentialebene von $cal(Q)$ in $bold(p)$ die Qleichung $bb(u)^t bb(x) =
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bb(q)^t bb(Q x) = 0$ hat.
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#card(
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question: [Was sind Polarebenen?],
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answer: [
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Für einen beliebigen Punkt $bold(p) in cal(P)^n$, definiert die Gleicuhng
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$bb(p)^t bb(Q x) = 0$ die Polarebene (oder eigentlich Polarhyperebene)
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$cal(P)(bold(p), cal(Q))$ von $bold(p)$ bezüglich $cal(Q)$, sofern $bold(p)$
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kein singulärer Punkt ist. Sie schneidet $cal(Q)$ in den Punkten $bold(x)$,
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deren Tangentialebenen $cal(T) lt.tri bb(Q x)$ auch durch $bold(p)$ gehen.
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Liegt $bold(p)$ auf $cal(Q)$, ist die Polarebene die Tangentialebene von
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$cal(Q)$ in $bold(p)$.
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#card(
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question: [Was bilden die Tangentialebenen einer Quadrik?],
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answer: [
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Auch die Tangentialebenen einer Quadrik $cal(Q)$ bilden eine Quadrik im
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Dualraum. Dazu macht man sich klar, dass ein $bb(u)$ eine Tangentialebene
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von $cal(Q)$ in einem Punkt $bold(p)$ von $cal(Q)$ darstellt, falls das
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homogene lineare Gleichungssystem
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$
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bb(Q p) - bb(u) rho &= bb(o) \
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bb(u)^t bb(p) &= 0
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$
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für $bb(p)$ und $rho$ lösbar ist, d.h. falls $det mat(bb(Q), bb(u); bb(u)^t,
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0) = 0$. Letzteres ist eine quadratische Gleichung und stellt die duale
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Quadrik $cal(Q)^*$ zu $cal(Q)$ dar.
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#card(
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question: [Was ist eine Polaritat?],
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answer: [
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Ist die Matirx $bb(Q)$ regulär, heißt die Korrelation $bb(x) |-> bb(x)^t
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bb(Q)$ die Polarität bezüglich $cal(Q)$. Sie bildet die Punkte von $cal(Q)$
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auf die zugehörigen Tangentialebenen ab und $cal(Q)$ auf die duale Quadrik
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$cal(Q)^*$, deren Punkte $bold(u) lt.tri bb(u) := bb(Q x)$ die Gleichung
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$bb(u)^t bb(Q)^(-1) bb(u) = 0$ erfüllen. Polaritäten sind also Korrelationen
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oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix.
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])
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#card(
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question: [Ist jede Korrelation eine Polaritat?],
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answer: [
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Polaritäten sind Korrelationen oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix.
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])
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#card(
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question: [Was bedeutet dies für den Begriff der Dualitat?],
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answer: [
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Bsp. Die Dualität $bold(x) |-> cal(X)$ ist die Polarität zur leeren
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regulären Quadrik $cal(Q) lt.tri bb(E)$.
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== Harmonische Punkte und Polaritat
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#card(
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@ -1709,7 +1925,11 @@ und y die Schnittpunkte der Geraden pq mit Q sind?],
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#card(
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question: [Was ist die Normalform einer Quadrik?],
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answer: [
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Mit einer reellen Koordinatentransformation kann die Gleichung einer Quadrik
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$cal(Q)$ in die Normalform $y_0^2 + ... + y_r^2 - y_(r+1)^2 - ... -
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y_(r+s)^2 = 0$ und anschließend mid der komplexen Koordinatentransformation
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$bb(y) = "diag"(1 ... bold(1) i ... i) bb(z)$ in die Normalform $z_0^2 + ... +
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z_(r+s)^2 = 0$ überführt werden.
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#card(
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question: [Wie viele projektiv verschiedene Quadriken gibt es im
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