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Author: Orangerot <purple@orangerot.dev>
Date: Fri, 20 Jun 2025 22:36:49 +0200
feat(ggg): exam solutions for chapter 3
Diffstat:
| M | ggg/ggg-cards.typ | | | 170 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------ |
1 file changed, 157 insertions(+), 13 deletions(-)
diff --git a/ggg/ggg-cards.typ b/ggg/ggg-cards.typ
@@ -943,27 +943,52 @@ positiv?],
question: [Was ist ein euklidischer Raum und was unterscheidet ihn
von einem affinen?],
answer: [
-
+ Ein euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum mit einem
+ Skalarprodukt und ein euklidischer Raum ist ein affiner Raum, dessen
+ zugeordneter Vektorraum euklidisch ist.
+
+ $cal(E)^n$ bezeichnet den euklidischen $cal(A)^n$ und er Abstand zweier
+ Punkte $sans(p)$ und $sans(q)$ ist die Länge des Vektors $sans(q) - sans(p)$
+ als auch die Länge der Strecke $sans(p q)$.
+
+
])
== Euklidische Bewegungen
#card(
question: [Was gilt für ihre Matrizen?],
answer: [
-
+ Ein affines Koordinatessystem $sans(a a_1 ... a_n)$ ist ein euklidisches
+ Koordinatensystem, wenn die Vektoren $sans(a)_1,...,sans(a)_n$ eine
+ orthonormale Basis bilden.
+
+ Stellen $sans(u), sans(v)$ zwei Vektoren zezüglich einer orthonormalen Basis
+ dar, ist $sans(u)^t sans(v)$ ihr Skalarprodukt und allgemeiner lässt sich
+ jedes Skalarprodukt mit Hilfe einer symmetrischen, positiv definiten Matrix
+ A als $sans(u)^t A sans(v)$ schreiben. Hier setzen wir für den $cal(E)^n$
+ immer ein euklidisches Koordinatensystem voraus.
])
#card(
question: [Wie kann man die Drehachse einer Rotation im
dreidimensionalen Raum bestimmen?],
answer: [
+ Eigenvektor der Matrix $[sans(b)_1, sans(b)_2, sans(b)_3]$
+ Eine affine Abbildung $Phi(x) = sans(b) + B sans(x)$ ist eine Bewegung, wenn
+ B orthonormal ist.
])
== Euler-Winkel
#card(
question: [Was sind die Euler-Winkel und wie verwendet man sie?],
answer: [
+ Jede Rotation im $cal(E)^3$ kann aus einer Rotation um die z-Achse mit dem
+ Winkel $alpha$, eine Rotation um die gedrehte x-Achse (= $x'$-Achse) mit dem
+ Winkel $beta$ und eine Rotation um die zweimal gedrehte z-Achse mit dem
+ Winkel $gamma$ zusammengesetzt werden. Diese Rotation sind die
+ Euler-Drehungen um die Euler-Winkel $alpha, beta, gamma$.
+ #text(stroke: red)[TODO: verwendung]
])
@@ -971,61 +996,140 @@ dreidimensionalen Raum bestimmen?],
#card(
question: [Was sind Quaternionen, konjugierte und normierte?],
answer: [
+ Quaternionen oder hyperkomplexe Zahlen sind Elemente
+ $
+ bb(q) = (q_0, ..., q_3) = q_0 dot 1 + q_1 dot i + q_2 dot j + q_3 dot k
+ $
+ des $bb(R)^4$ mit den Multiplikationsregeln
+ #table(columns: 5,
+ $dot$, $1$, $i$, $j$, $k$,
+ $1$, $1$, $i$, $j$, $k$,
+ $i$, $i$, $-1$, $k$, $-j$,
+ $j$, $j$, $-k$, $-1$, $i$,
+ $k$, $k$, $j$, $-i$, $-1$
+ )
+ d.h. für ein Quaternionenprodukt
+ $
+ bb(a) dot bb(b) &= (a_0, ..., a_3) dot (b_0, ..., b_3) \
+ &= (a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3) \
+ & + (a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3 - a_3 b_2) dot i \
+ & + (a_0 b_2 - a_1 b_3 + a_2 b_0 + a_3 b_1) dot j \
+ & + (a_0 b_3 + a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_0) dot k \
+ $
+ und insbesondere $bb(1) := (1, 0, 0, 0)$ und alle $bb(q)$ ist
+ $
+ bb(1) dot bb(q) = bb(q) dot bb(1)
+ $
+
+ Das konjugierte Quaternion zu $bb(q)$ ist
+ $
+ bb(q)^* = (q_0, -q_1, -q_2, -q_3)
+ $
+
+ Es heißt Einheitsquaternion oder normiertes Quaternion, falls
+ $
+ norm(bb(q))^2 = norm(bb(q)^*)^2 := sum q_i^2 = 1
+ $
])
#card(
question: [Wie hangen sie mit Rotationen zusammen?],
answer: [
-
+ Sei $bb(r) = (cos phi / 2, a^t, sin phi / 2) $ ein normiertes Quaternion,
+ d.h. $a^2 = 1$.
+ Dann gilt
+ $
+ bb(r) dot (0 x^t) dot bb(r)^* = (mat(0, ""; "", R) vec(0, x))^t
+ $
+
+ $bb(r) = (1, 0, 0, )$ stellt die Identität dar\
+ $bb(r)^*$ die inverse Rotation \
+ $bb(p r)$ die Komposition der durch $bb(p)$ und $bb(r)$ gegebene Rotation
+
])
#card(
question: [Was lasst sich mit Quaternionen, EulerWinkeln und
Drehmatrizen jeweils besser gut darstellen oder
durchführen?],
answer: [
-
+ *Euler-Winkel*: interpolation, anwendung auf pkt\
+ *Matirx*: anwendung auf pkt\
+ *Quaternion*: Konkatenation, Normierung, Interpolation
])
== Zweibögen
#card(
question: [Was sind Zweibogen und Kontaktelemente?],
answer: [
-
+ Ein Zweibogen (Biarc) ist eine glatte Kurve bestehend aus zwei orientierten
+ Kreisbögen. Dabei dürfen Radien unendlich sein, d.h. Kreisbögen können
+ Strecken sein.
+
+ Ein Punkt $p$ einer Kurve bildet zusammen mit dem zugehörigen
+ Tangentenvektor $t, norm(t) = 1$, ein Kontaktelement der Kurve.
])
#card(
question: [Wodurch ist ein Zweibogen eindeutig festgelegt?],
answer: [
-
+ Zu zwei gegebenen Punkten $a$ und $b$ und einem Kontaktelement $c t$ gibt es
+ genau einen Zweibogen von $a$ nach $b$ mit der Tangentenrichtung $t$ um
+ Übergangspunkt $c$ zwischen den beiden Bögen.
+
])
#card(
question: [Was erfüllen die drei Endkontaktelemente der beiden
Bogen eines Zweibogens?],
answer: [
-
])
#card(
question: [Wie bekommt man alle Zweibogen zu gegebenen
Anfangs-und Endkontaktelement?],
answer: [
+ Im $cal(E)^2$ seien $a u$ und $c w$ zwei beliebige Kontaktelemente mit den
+ Tangenten $cal(A) := a + u bb(R)$ und $cal(C) := c w bb(R)$. Dann existiert
+ ein eindeutiger Kreis $K$ durch $a$ und $b$ sodass
+ $
+ phi := angle cal(A K) = angle cal(C K)
+ $
+ Dieser Kreis $cal(K)$ ist der Ort $cal(B)$ (d.h. die Menge) Übergangs- oder
+ Bindepunkte aller Zweibögen mit den Endkontaktelementen $a u$ und $c w$.
])
#card(
question: [Wie übertragen sich planare Zweibogenkonstruktionen
auf sphärische?],
answer: [
-
+ Die Sätze gelten genauso auch auf der Sphäre $S^2$ anstelle des $cal(E)^2$.
+ Echte Zweibögen auf $S^2$ sind räumlich: Ihre Bögen liegen in verschiedenen
+ Ebenen. Außerdem liegt jeder räumliche Zweibogen auf einer (eideutigen)
+ Sphäre.
])
== Volumen
#card(
question: [Wie ist das Volumen eines Parallelepipeds definiert?],
answer: [
-
+ Jedes k-dimensionale Parallelepiped
+ $
+ P_k := sans(p) + A_k [0,1]^k
+ $
+ hat die Höhe $gamma_(k k)$ über $P_(k-1)$ und das Volumen
+ $
+ "vol"_k P_k &:= gamma_11 ... gamma_(k k) \
+ &= sqrt(det(Gamma_k^t B_k^t B_k Gamma_k)) \
+ &= sqrt(det(A_k^t A_k))
+ $
])
#card(
- question: [Warum lassen euklidische Bewegungen
+ question: [Warum lassen euklidische Bewegungen Volumina invariant?
],
answer: [
-
+ Euklidische Bewegungen lassen Volumina invariant. Affinitäten
+ $
+ Phi(x) = c + C x: cal(E)^n -> cal(E)^n
+ $
+ ändern das n-dimensionale Volumina um den Faktor $abs(det C)$ und lassen
+ Verhältnisse n-dimensionaler Volumina invariant. (Weil C orthonormal/eine
+ Drehung und keine Skalierung ist?)
])
== Alternierendes Produkt
@@ -1033,14 +1137,54 @@ answer: [
question: [Wie ist das alternierende Produkt definiert und welche
Eigenschaften hat es?],
answer: [
-
+ Die Determinate einer $n times n$-Matrix $A = [a_1 ... a_n]$ kann mit Hilfe
+ ihrer Kofaktoren $v_i = (-1)^(i+1) det A_(i 1)$ berechnet werden, wobei
+ $A_(i 1)$ die Matrix A ohne ihre $i$-te Zeile und erste Spalte ist; denn mit
+ dem Vektor $bb(b) = [v_1 ... v_n]$ der Kofaktoren git $det A = a_1^t v$.
+
+ Das alternierende Produkt der Vektoren $a_2,...,a_n$ ist der Vektor $a_2 and
+ ... and a_n := v$.
+
+ - $a_i^t v = 0$ für $i = 2, ..., n$
+ - $"vol"_n A = "vol"_(n-1) [a_2 ... a_n] dot abs(a_1^t) / norm(v) => norm(v)
+ = "vol"_(n-1) [a_2 ... a_n]$
+ - $det [v a_2 ... a_n] = v^2 >= 0$, d.h. die Folge $v a_2 ... a_n$ ist
+ positiv orientiert.
+
+ Für $n=2$: $and vec(a,b) = vec(b, -a)$\
+ Für $n=3$: Kreuzprodukt $a_2 and a_3 = a_2 times a_3$
])
== Lot und Abstand
#card(
question: [Wie lassen sich die Abstände eines Punkts von einer
Ebene und die zweier Geraden berechnen?],
answer: [
-
+ Gesucht: Fußpunkt $f$ und Abstand $d$
+
+ *Punkt $p$ zu Ebene $U: d(x) = u^t x - u = 0$, sodass $f = p - d u$*:
+ $
+ u^t f &= u^t p - d = u \
+ => d &= u^t p - d \
+ &= d(p)
+ $
+
+ *Punkt $p$ zu Ebene $U: x = a + [a_2 ... a_n]y =: a + A y$, sodass $f = p - d u$*:
+ $
+ d = (det mat((p-a), A))/("vol"_(n-1) A)
+ = (det mat((p-a), A)) / norm(a_2 and ... and a_n) \
+
+ f = p - (a_2 and ... and a_n)/(norm(a_2 and ... and a_n)) d
+ $
+
+ *Gerade $cal(A): x = a + a_1 lambda$ zu Gerade $cal(B): x = b + b_1 lambda$:*
+ $
+ d = ("vol"_3 mat((b-a), a_1, b_1))/("vol"_2 mat(a_1, b_1))
+ $
+
+ Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : u^t (x - a) = 0$
+ $
+ ... => f = b + b_1 (u^t (a-b)) / (u^t b_1)
+ $
])
= Perspektivische Darstellungen
== Homogene Koordinaten
