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commit e8ce38af917c94dee3fbaccd7212d9b3c6113470
parent b61e2c88eddb089cd7e605f6f514afd47da71a11
Author: Orangerot <purple@orangerot.dev>
Date:   Thu, 19 Jun 2025 21:09:07 +0200

feat(numerik summary): Gleitpunktzahlen

Diffstat:
M
numerik/summary.typ
 | 
64
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1 file changed, 64 insertions(+), 0 deletions(-)
diff --git a/numerik/summary.typ b/numerik/summary.typ
@@ -3,6 +3,70 @@
 
 #let TODO(..rest, content) = text(stroke: red, ..rest, [TODO: #content])
 
+== Gleitpunktzahlen
+
+$
+"FL" = {
+  +- sum_(l=1)^(L_m) a_l B^(-l) B^e : e = e_"min" + sum_(l=0)^(L_e - 1) c_l B^l, 
+  a_l, c_l in {0, ..., B-1}, a_1 != 0
+} union {0} 
+$
+
+#columns()[
+$
+& e_"max" = e_"min" + B^(L_e) - 1 \
+& max "FL" = - min "FL" = B^(e_max) ( 1 - B^(-L_m)) \
+& min "FL"_+ = B^(e_min - 1) \
+& B^(-1) <= abs(m) < 1
+$
+
+#colbreak()
+
+Relative Maschinengenauigkeit 
+
+$
+abs(x - "fl"(x)) / abs(x) <= (B^(1- L_m)) / 2 =: "eps" \
+"fl"(x) = x ( 1 + epsilon) " mit " abs(epsilon) <= "eps" \
+x hat(compose) y := "fl"(x compose y) = (x compose y)(1 + epsilon) " mit " abs(epsilon) <= "eps"
+$
+]
+
+Stabilität eines Algorithmus: Fehlerverstärkung des Verfahrens ist "moderat"
+groß (im vergleich zum unvermeidbaren Fehler). 
+
+#columns(gutter: 0.1cm)[
+== Cholesky-Zerlegung
+
+Ist eine $A in bb(R)^(N times N)$ symmetrisch und positix definit, existirt eine
+Cholesky-Zerlegung $A = L L^T$
+
+1. Berechne Cholesky-Zerlegung $A = L L^T$
+2. Löse $L y = b$ durch Vorwärtssubstitution
+3. Löste $L^T x = y$ durch Rückwärtssubstitution
+
+$l_(n n) > 0$ macht die Zerlegugn eindeutig. 
+
+$
+Q(lambda m) = lambda Q m = - lambda w " für alle " lambda in bb(R) \
+Q y = y " für alle " y in bb(R)^N " mit " w^T y = 0 \
+"Spiegelebene " E = {y in bb(R)^M: w^T y = 0}
+$
+#colbreak()
+== LR-Zerlegung
+
+Ist jeder Hauptminor von $A in bb(R)^(N times N)$ regulär, existire eine
+LR-Zerlegen $A = L R$.  Ist $A in bb(R)^(N times N)$ regulär existiert eine LR-Zerlegung mit
+Spaltenpivotwahl $P A = L R$. 
+
+1. Berechne Zerlegung $P A = L R$ durch Gauß-Elimination
+2. Löse $L y = P b$ durch Vorwärtssubstitution in $1/2 N^2$ Ops
+3. Löse $R x = y$ durch Rückwärtssubstitution $x_n = [y_n - sum_(j=n+1)^N r_(n j) x_j] / r_(n n)$ in $O(1/2 N^2)$ Ops
+
+$l_(n n) = 1$ liefiert Eindeutigkeid der Zerlegung. 
+]
+
+#pagebreak()
+
 == Kondition und Normen
 
 Problem: Wie wirken sich Störungen der Eingabegrößen (hier A und b) auf die