feat(ggg): exam solutions for chapter 3

ggg/ggg-cards.typ

@@ -943,6 +943,14 @@ positiv?],
   question: [Was ist ein euklidischer Raum und was unterscheidet ihn
 von einem affinen?],
   answer: [
+    Ein euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum mit einem
+    Skalarprodukt und ein euklidischer Raum ist ein affiner Raum, dessen
+    zugeordneter Vektorraum euklidisch ist. 
+
+    $cal(E)^n$ bezeichnet den euklidischen $cal(A)^n$ und er Abstand zweier
+    Punkte $sans(p)$ und $sans(q)$ ist die Länge des Vektors $sans(q) - sans(p)$
+    als auch die Länge der Strecke $sans(p q)$. 
+
 
 ])
 
@@ -950,20 +958,37 @@ von einem affinen?],
 #card(
 question: [Was gilt für ihre Matrizen?],
   answer: [
+    Ein affines Koordinatessystem $sans(a a_1 ... a_n)$ ist ein euklidisches
+    Koordinatensystem, wenn die Vektoren $sans(a)_1,...,sans(a)_n$ eine
+    orthonormale Basis bilden. 
 
+    Stellen $sans(u), sans(v)$ zwei Vektoren zezüglich einer orthonormalen Basis
+    dar, ist $sans(u)^t sans(v)$ ihr Skalarprodukt und allgemeiner lässt sich
+    jedes Skalarprodukt mit Hilfe einer symmetrischen, positiv definiten Matrix
+    A als $sans(u)^t A sans(v)$ schreiben. Hier setzen wir für den $cal(E)^n$
+    immer ein euklidisches Koordinatensystem voraus. 
 ])
 #card(
   question: [Wie kann man die Drehachse einer Rotation im
 dreidimensionalen Raum bestimmen?],
   answer: [
+    Eigenvektor der Matrix $[sans(b)_1, sans(b)_2, sans(b)_3]$
     
+    Eine affine Abbildung $Phi(x) = sans(b) + B sans(x)$ ist eine Bewegung, wenn
+    B orthonormal ist. 
 ])
 
 == Euler-Winkel
 #card(
   question: [Was sind die Euler-Winkel und wie verwendet man sie?],
   answer: [
+    Jede Rotation im $cal(E)^3$ kann aus einer Rotation um die z-Achse mit dem
+    Winkel $alpha$, eine Rotation um die gedrehte x-Achse (= $x'$-Achse) mit dem
+    Winkel $beta$ und eine Rotation um die zweimal gedrehte z-Achse mit dem
+    Winkel $gamma$ zusammengesetzt werden. Diese Rotation sind die
+    Euler-Drehungen um die Euler-Winkel $alpha, beta, gamma$. 
     
+    #text(stroke: red)[TODO: verwendung]
 ])
 
 
@@ -971,11 +996,55 @@ dreidimensionalen Raum bestimmen?],
 #card(
   question: [Was sind Quaternionen, konjugierte und normierte?],
   answer: [
+    Quaternionen oder hyperkomplexe Zahlen sind Elemente
+    $
+      bb(q) = (q_0, ..., q_3) = q_0 dot 1 + q_1 dot i + q_2 dot j + q_3 dot k
+    $
+    des $bb(R)^4$ mit den Multiplikationsregeln
+    #table(columns: 5,
+      $dot$, $1$, $i$, $j$, $k$,
+      $1$,   $1$, $i$, $j$, $k$,
+      $i$,   $i$, $-1$, $k$, $-j$,
+      $j$,    $j$, $-k$, $-1$, $i$,
+      $k$,   $k$, $j$, $-i$, $-1$
+    )
+    d.h. für ein Quaternionenprodukt
+    $
+      bb(a) dot bb(b) &= (a_0, ..., a_3) dot (b_0, ..., b_3) \
+        &= (a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3) \
+        & + (a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3 - a_3 b_2) dot i \
+        & + (a_0 b_2 - a_1 b_3 + a_2 b_0 + a_3 b_1) dot j \
+        & + (a_0 b_3 + a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_0) dot k \
+    $
+    und insbesondere $bb(1) := (1, 0, 0, 0)$ und alle $bb(q)$ ist
+    $
+      bb(1) dot bb(q) = bb(q) dot bb(1)
+    $
+
+    Das konjugierte Quaternion zu $bb(q)$ ist
+    $
+      bb(q)^* = (q_0, -q_1, -q_2, -q_3)
+    $
+
+    Es heißt Einheitsquaternion oder normiertes Quaternion, falls
+    $
+      norm(bb(q))^2 = norm(bb(q)^*)^2 := sum q_i^2 = 1
+    $
     
 ])
 #card(
   question: [Wie hangen sie mit Rotationen zusammen?],
   answer: [
+    Sei $bb(r) = (cos phi / 2, a^t, sin phi / 2) $ ein normiertes Quaternion,
+    d.h. $a^2 = 1$.
+    Dann gilt
+    $
+      bb(r) dot (0 x^t) dot bb(r)^* = (mat(0, ""; "", R) vec(0, x))^t
+    $
+
+    $bb(r) = (1, 0, 0, )$ stellt die Identität dar\
+    $bb(r)^*$ die inverse Rotation \
+    $bb(p r)$ die Komposition der durch $bb(p)$ und $bb(r)$ gegebene Rotation
 
 ])
 #card(
@@ -983,49 +1052,84 @@ dreidimensionalen Raum bestimmen?],
 Drehmatrizen jeweils besser gut darstellen oder
 durchführen?],
   answer: [
-    
+  *Euler-Winkel*: interpolation, anwendung auf pkt\
+  *Matirx*: anwendung auf pkt\
+  *Quaternion*: Konkatenation, Normierung, Interpolation
 ])
 == Zweibögen
 #card(
   question: [Was sind Zweibogen und Kontaktelemente?],
   answer: [
+    Ein Zweibogen (Biarc) ist eine glatte Kurve bestehend aus zwei orientierten
+    Kreisbögen. Dabei dürfen Radien unendlich sein, d.h. Kreisbögen können
+    Strecken sein. 
 
+    Ein Punkt $p$ einer Kurve bildet zusammen mit dem zugehörigen
+    Tangentenvektor $t, norm(t) = 1$, ein Kontaktelement der Kurve. 
 ])
 #card(
   question: [Wodurch ist ein Zweibogen eindeutig festgelegt?],
   answer: [
+    Zu zwei gegebenen Punkten $a$ und $b$ und einem Kontaktelement $c t$ gibt es
+    genau einen Zweibogen von $a$ nach $b$ mit der Tangentenrichtung $t$ um
+    Übergangspunkt $c$ zwischen den beiden Bögen. 
 
 ])
 #card(
   question: [Was erfüllen die drei Endkontaktelemente der beiden
 Bogen eines Zweibogens?],
   answer: [
-    
 ])
 #card(
   question: [Wie bekommt man alle Zweibogen zu gegebenen
 Anfangs-und Endkontaktelement?],
   answer: [
+    Im $cal(E)^2$ seien $a u$ und $c w$ zwei beliebige Kontaktelemente mit den
+    Tangenten $cal(A) := a + u bb(R)$ und $cal(C) := c w bb(R)$. Dann existiert
+    ein eindeutiger Kreis $K$ durch $a$ und $b$ sodass
+    $
+      phi := angle cal(A K) = angle cal(C K)
+    $
+    Dieser Kreis $cal(K)$ ist der Ort $cal(B)$ (d.h. die Menge) Übergangs- oder
+    Bindepunkte aller Zweibögen mit den Endkontaktelementen $a u$ und $c w$. 
     
 ])
 #card(
   question: [Wie übertragen sich planare Zweibogenkonstruktionen
 auf sphärische?],
   answer: [
-    
+    Die Sätze gelten genauso auch auf der Sphäre $S^2$ anstelle des $cal(E)^2$.
+    Echte Zweibögen auf $S^2$ sind räumlich: Ihre Bögen liegen in verschiedenen
+    Ebenen. Außerdem liegt jeder räumliche Zweibogen auf einer (eideutigen)
+    Sphäre. 
 ])
 
 == Volumen
 #card(
   question: [Wie ist das Volumen eines Parallelepipeds definiert?],
   answer: [
-    
+    Jedes k-dimensionale Parallelepiped
+    $
+      P_k := sans(p) + A_k [0,1]^k
+    $
+    hat die Höhe $gamma_(k k)$ über $P_(k-1)$ und das Volumen
+    $
+      "vol"_k P_k &:= gamma_11 ... gamma_(k k) \
+                  &= sqrt(det(Gamma_k^t B_k^t B_k Gamma_k)) \
+                  &= sqrt(det(A_k^t A_k))
+    $
 ])
 #card(
-  question: [Warum lassen euklidische Bewegungen
+  question: [Warum lassen euklidische Bewegungen Volumina invariant?
 ],
 answer: [
-
+  Euklidische Bewegungen lassen Volumina invariant. Affinitäten
+  $
+    Phi(x) = c + C x: cal(E)^n -> cal(E)^n
+  $
+  ändern das n-dimensionale Volumina um den Faktor $abs(det C)$ und lassen
+  Verhältnisse n-dimensionaler Volumina invariant. (Weil C orthonormal/eine
+  Drehung und keine Skalierung ist?)
 ])
 
 == Alternierendes Produkt
@@ -1033,14 +1137,54 @@ answer: [
   question: [Wie ist das alternierende Produkt definiert und welche
 Eigenschaften hat es?],
   answer: [
+    Die Determinate einer $n times n$-Matrix $A = [a_1 ... a_n]$ kann mit Hilfe
+    ihrer Kofaktoren $v_i = (-1)^(i+1) det A_(i 1)$ berechnet werden, wobei
+    $A_(i 1)$ die Matrix A ohne ihre $i$-te Zeile und erste Spalte ist; denn mit
+    dem Vektor $bb(b) = [v_1 ... v_n]$ der Kofaktoren git $det A = a_1^t v$. 
 
+    Das alternierende Produkt der Vektoren $a_2,...,a_n$ ist der Vektor $a_2 and
+    ... and a_n := v$. 
+
+    - $a_i^t v = 0$ für $i = 2, ..., n$
+    - $"vol"_n A = "vol"_(n-1) [a_2 ... a_n] dot abs(a_1^t) / norm(v) => norm(v)
+      = "vol"_(n-1) [a_2 ... a_n]$
+    - $det [v a_2 ... a_n] = v^2 >= 0$, d.h. die Folge $v a_2 ... a_n$ ist
+      positiv orientiert. 
+
+      Für $n=2$: $and vec(a,b) = vec(b, -a)$\
+      Für $n=3$: Kreuzprodukt $a_2 and a_3 = a_2 times a_3$
 ])
 == Lot und Abstand
 #card(
   question: [Wie lassen sich die Abstände eines Punkts von einer
 Ebene und die zweier Geraden berechnen?],
   answer: [
+    Gesucht: Fußpunkt $f$ und Abstand $d$ 
 
+    *Punkt $p$ zu Ebene $U: d(x) = u^t x - u = 0$, sodass $f = p - d u$*: 
+    $
+      u^t f &= u^t p - d = u \
+      =>  d &= u^t p - d \
+            &= d(p)
+    $
+
+    *Punkt $p$ zu Ebene $U: x = a + [a_2 ... a_n]y =: a + A y$, sodass $f = p - d u$*: 
+    $
+      d = (det mat((p-a), A))/("vol"_(n-1) A) 
+        = (det mat((p-a), A)) / norm(a_2 and ... and a_n) \
+
+      f = p - (a_2 and ... and a_n)/(norm(a_2 and ... and a_n)) d
+    $
+
+    *Gerade $cal(A): x = a + a_1 lambda$ zu Gerade $cal(B): x = b + b_1 lambda$:*
+    $
+      d = ("vol"_3 mat((b-a), a_1, b_1))/("vol"_2 mat(a_1, b_1))
+    $
+
+    Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : u^t (x - a) = 0$
+    $
+      ... => f = b + b_1 (u^t (a-b)) / (u^t b_1)
+    $
 ])
 = Perspektivische Darstellungen
 == Homogene Koordinaten