diff --git a/ggg/ggg-cards.typ b/ggg/ggg-cards.typ index 273ec44..6534e5b 100644 --- a/ggg/ggg-cards.typ +++ b/ggg/ggg-cards.typ @@ -943,27 +943,52 @@ positiv?], question: [Was ist ein euklidischer Raum und was unterscheidet ihn von einem affinen?], answer: [ - + Ein euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum mit einem + Skalarprodukt und ein euklidischer Raum ist ein affiner Raum, dessen + zugeordneter Vektorraum euklidisch ist. + + $cal(E)^n$ bezeichnet den euklidischen $cal(A)^n$ und er Abstand zweier + Punkte $sans(p)$ und $sans(q)$ ist die Länge des Vektors $sans(q) - sans(p)$ + als auch die Länge der Strecke $sans(p q)$. + + ]) == Euklidische Bewegungen #card( question: [Was gilt für ihre Matrizen?], answer: [ - + Ein affines Koordinatessystem $sans(a a_1 ... a_n)$ ist ein euklidisches + Koordinatensystem, wenn die Vektoren $sans(a)_1,...,sans(a)_n$ eine + orthonormale Basis bilden. + + Stellen $sans(u), sans(v)$ zwei Vektoren zezüglich einer orthonormalen Basis + dar, ist $sans(u)^t sans(v)$ ihr Skalarprodukt und allgemeiner lässt sich + jedes Skalarprodukt mit Hilfe einer symmetrischen, positiv definiten Matrix + A als $sans(u)^t A sans(v)$ schreiben. Hier setzen wir für den $cal(E)^n$ + immer ein euklidisches Koordinatensystem voraus. ]) #card( question: [Wie kann man die Drehachse einer Rotation im dreidimensionalen Raum bestimmen?], answer: [ + Eigenvektor der Matrix $[sans(b)_1, sans(b)_2, sans(b)_3]$ + Eine affine Abbildung $Phi(x) = sans(b) + B sans(x)$ ist eine Bewegung, wenn + B orthonormal ist. ]) == Euler-Winkel #card( question: [Was sind die Euler-Winkel und wie verwendet man sie?], answer: [ + Jede Rotation im $cal(E)^3$ kann aus einer Rotation um die z-Achse mit dem + Winkel $alpha$, eine Rotation um die gedrehte x-Achse (= $x'$-Achse) mit dem + Winkel $beta$ und eine Rotation um die zweimal gedrehte z-Achse mit dem + Winkel $gamma$ zusammengesetzt werden. Diese Rotation sind die + Euler-Drehungen um die Euler-Winkel $alpha, beta, gamma$. + #text(stroke: red)[TODO: verwendung] ]) @@ -971,61 +996,140 @@ dreidimensionalen Raum bestimmen?], #card( question: [Was sind Quaternionen, konjugierte und normierte?], answer: [ + Quaternionen oder hyperkomplexe Zahlen sind Elemente + $ + bb(q) = (q_0, ..., q_3) = q_0 dot 1 + q_1 dot i + q_2 dot j + q_3 dot k + $ + des $bb(R)^4$ mit den Multiplikationsregeln + #table(columns: 5, + $dot$, $1$, $i$, $j$, $k$, + $1$, $1$, $i$, $j$, $k$, + $i$, $i$, $-1$, $k$, $-j$, + $j$, $j$, $-k$, $-1$, $i$, + $k$, $k$, $j$, $-i$, $-1$ + ) + d.h. für ein Quaternionenprodukt + $ + bb(a) dot bb(b) &= (a_0, ..., a_3) dot (b_0, ..., b_3) \ + &= (a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3) \ + & + (a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3 - a_3 b_2) dot i \ + & + (a_0 b_2 - a_1 b_3 + a_2 b_0 + a_3 b_1) dot j \ + & + (a_0 b_3 + a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_0) dot k \ + $ + und insbesondere $bb(1) := (1, 0, 0, 0)$ und alle $bb(q)$ ist + $ + bb(1) dot bb(q) = bb(q) dot bb(1) + $ + + Das konjugierte Quaternion zu $bb(q)$ ist + $ + bb(q)^* = (q_0, -q_1, -q_2, -q_3) + $ + + Es heißt Einheitsquaternion oder normiertes Quaternion, falls + $ + norm(bb(q))^2 = norm(bb(q)^*)^2 := sum q_i^2 = 1 + $ ]) #card( question: [Wie hangen sie mit Rotationen zusammen?], answer: [ - + Sei $bb(r) = (cos phi / 2, a^t, sin phi / 2) $ ein normiertes Quaternion, + d.h. $a^2 = 1$. + Dann gilt + $ + bb(r) dot (0 x^t) dot bb(r)^* = (mat(0, ""; "", R) vec(0, x))^t + $ + + $bb(r) = (1, 0, 0, )$ stellt die Identität dar\ + $bb(r)^*$ die inverse Rotation \ + $bb(p r)$ die Komposition der durch $bb(p)$ und $bb(r)$ gegebene Rotation + ]) #card( question: [Was lasst sich mit Quaternionen, Euler­Winkeln und Drehmatrizen jeweils besser gut darstellen oder durchführen?], answer: [ - + *Euler-Winkel*: interpolation, anwendung auf pkt\ + *Matirx*: anwendung auf pkt\ + *Quaternion*: Konkatenation, Normierung, Interpolation ]) == Zweibögen #card( question: [Was sind Zweibogen und Kontaktelemente?], answer: [ - + Ein Zweibogen (Biarc) ist eine glatte Kurve bestehend aus zwei orientierten + Kreisbögen. Dabei dürfen Radien unendlich sein, d.h. Kreisbögen können + Strecken sein. + + Ein Punkt $p$ einer Kurve bildet zusammen mit dem zugehörigen + Tangentenvektor $t, norm(t) = 1$, ein Kontaktelement der Kurve. ]) #card( question: [Wodurch ist ein Zweibogen eindeutig festgelegt?], answer: [ - + Zu zwei gegebenen Punkten $a$ und $b$ und einem Kontaktelement $c t$ gibt es + genau einen Zweibogen von $a$ nach $b$ mit der Tangentenrichtung $t$ um + Übergangspunkt $c$ zwischen den beiden Bögen. + ]) #card( question: [Was erfüllen die drei Endkontaktelemente der beiden Bogen eines Zweibogens?], answer: [ - ]) #card( question: [Wie bekommt man alle Zweibogen zu gegebenen Anfangs-und Endkontaktelement?], answer: [ + Im $cal(E)^2$ seien $a u$ und $c w$ zwei beliebige Kontaktelemente mit den + Tangenten $cal(A) := a + u bb(R)$ und $cal(C) := c w bb(R)$. Dann existiert + ein eindeutiger Kreis $K$ durch $a$ und $b$ sodass + $ + phi := angle cal(A K) = angle cal(C K) + $ + Dieser Kreis $cal(K)$ ist der Ort $cal(B)$ (d.h. die Menge) Übergangs- oder + Bindepunkte aller Zweibögen mit den Endkontaktelementen $a u$ und $c w$. ]) #card( question: [Wie übertragen sich planare Zweibogenkonstruktionen auf sphärische?], answer: [ - + Die Sätze gelten genauso auch auf der Sphäre $S^2$ anstelle des $cal(E)^2$. + Echte Zweibögen auf $S^2$ sind räumlich: Ihre Bögen liegen in verschiedenen + Ebenen. Außerdem liegt jeder räumliche Zweibogen auf einer (eideutigen) + Sphäre. ]) == Volumen #card( question: [Wie ist das Volumen eines Parallelepipeds definiert?], answer: [ - + Jedes k-dimensionale Parallelepiped + $ + P_k := sans(p) + A_k [0,1]^k + $ + hat die Höhe $gamma_(k k)$ über $P_(k-1)$ und das Volumen + $ + "vol"_k P_k &:= gamma_11 ... gamma_(k k) \ + &= sqrt(det(Gamma_k^t B_k^t B_k Gamma_k)) \ + &= sqrt(det(A_k^t A_k)) + $ ]) #card( - question: [Warum lassen euklidische Bewegungen + question: [Warum lassen euklidische Bewegungen Volumina invariant? ], answer: [ - + Euklidische Bewegungen lassen Volumina invariant. Affinitäten + $ + Phi(x) = c + C x: cal(E)^n -> cal(E)^n + $ + ändern das n-dimensionale Volumina um den Faktor $abs(det C)$ und lassen + Verhältnisse n-dimensionaler Volumina invariant. (Weil C orthonormal/eine + Drehung und keine Skalierung ist?) ]) == Alternierendes Produkt @@ -1033,14 +1137,54 @@ answer: [ question: [Wie ist das alternierende Produkt definiert und welche Eigenschaften hat es?], answer: [ - + Die Determinate einer $n times n$-Matrix $A = [a_1 ... a_n]$ kann mit Hilfe + ihrer Kofaktoren $v_i = (-1)^(i+1) det A_(i 1)$ berechnet werden, wobei + $A_(i 1)$ die Matrix A ohne ihre $i$-te Zeile und erste Spalte ist; denn mit + dem Vektor $bb(b) = [v_1 ... v_n]$ der Kofaktoren git $det A = a_1^t v$. + + Das alternierende Produkt der Vektoren $a_2,...,a_n$ ist der Vektor $a_2 and + ... and a_n := v$. + + - $a_i^t v = 0$ für $i = 2, ..., n$ + - $"vol"_n A = "vol"_(n-1) [a_2 ... a_n] dot abs(a_1^t) / norm(v) => norm(v) + = "vol"_(n-1) [a_2 ... a_n]$ + - $det [v a_2 ... a_n] = v^2 >= 0$, d.h. die Folge $v a_2 ... a_n$ ist + positiv orientiert. + + Für $n=2$: $and vec(a,b) = vec(b, -a)$\ + Für $n=3$: Kreuzprodukt $a_2 and a_3 = a_2 times a_3$ ]) == Lot und Abstand #card( question: [Wie lassen sich die Abstände eines Punkts von einer Ebene und die zweier Geraden berechnen?], answer: [ - + Gesucht: Fußpunkt $f$ und Abstand $d$ + + *Punkt $p$ zu Ebene $U: d(x) = u^t x - u = 0$, sodass $f = p - d u$*: + $ + u^t f &= u^t p - d = u \ + => d &= u^t p - d \ + &= d(p) + $ + + *Punkt $p$ zu Ebene $U: x = a + [a_2 ... a_n]y =: a + A y$, sodass $f = p - d u$*: + $ + d = (det mat((p-a), A))/("vol"_(n-1) A) + = (det mat((p-a), A)) / norm(a_2 and ... and a_n) \ + + f = p - (a_2 and ... and a_n)/(norm(a_2 and ... and a_n)) d + $ + + *Gerade $cal(A): x = a + a_1 lambda$ zu Gerade $cal(B): x = b + b_1 lambda$:* + $ + d = ("vol"_3 mat((b-a), a_1, b_1))/("vol"_2 mat(a_1, b_1)) + $ + + Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : u^t (x - a) = 0$ + $ + ... => f = b + b_1 (u^t (a-b)) / (u^t b_1) + $ ]) = Perspektivische Darstellungen == Homogene Koordinaten