feat(ggg): exam solutions for chapter 3
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fe3dfc2802
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@ -943,27 +943,52 @@ positiv?],
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question: [Was ist ein euklidischer Raum und was unterscheidet ihn
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von einem affinen?],
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answer: [
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Ein euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum mit einem
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Skalarprodukt und ein euklidischer Raum ist ein affiner Raum, dessen
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zugeordneter Vektorraum euklidisch ist.
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$cal(E)^n$ bezeichnet den euklidischen $cal(A)^n$ und er Abstand zweier
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Punkte $sans(p)$ und $sans(q)$ ist die Länge des Vektors $sans(q) - sans(p)$
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als auch die Länge der Strecke $sans(p q)$.
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])
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== Euklidische Bewegungen
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#card(
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question: [Was gilt für ihre Matrizen?],
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answer: [
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Ein affines Koordinatessystem $sans(a a_1 ... a_n)$ ist ein euklidisches
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Koordinatensystem, wenn die Vektoren $sans(a)_1,...,sans(a)_n$ eine
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orthonormale Basis bilden.
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Stellen $sans(u), sans(v)$ zwei Vektoren zezüglich einer orthonormalen Basis
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dar, ist $sans(u)^t sans(v)$ ihr Skalarprodukt und allgemeiner lässt sich
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jedes Skalarprodukt mit Hilfe einer symmetrischen, positiv definiten Matrix
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A als $sans(u)^t A sans(v)$ schreiben. Hier setzen wir für den $cal(E)^n$
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immer ein euklidisches Koordinatensystem voraus.
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])
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#card(
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question: [Wie kann man die Drehachse einer Rotation im
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dreidimensionalen Raum bestimmen?],
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answer: [
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Eigenvektor der Matrix $[sans(b)_1, sans(b)_2, sans(b)_3]$
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Eine affine Abbildung $Phi(x) = sans(b) + B sans(x)$ ist eine Bewegung, wenn
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B orthonormal ist.
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])
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== Euler-Winkel
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#card(
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question: [Was sind die Euler-Winkel und wie verwendet man sie?],
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answer: [
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Jede Rotation im $cal(E)^3$ kann aus einer Rotation um die z-Achse mit dem
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Winkel $alpha$, eine Rotation um die gedrehte x-Achse (= $x'$-Achse) mit dem
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Winkel $beta$ und eine Rotation um die zweimal gedrehte z-Achse mit dem
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Winkel $gamma$ zusammengesetzt werden. Diese Rotation sind die
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Euler-Drehungen um die Euler-Winkel $alpha, beta, gamma$.
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#text(stroke: red)[TODO: verwendung]
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])
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@ -971,61 +996,140 @@ dreidimensionalen Raum bestimmen?],
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#card(
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question: [Was sind Quaternionen, konjugierte und normierte?],
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answer: [
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Quaternionen oder hyperkomplexe Zahlen sind Elemente
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$
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bb(q) = (q_0, ..., q_3) = q_0 dot 1 + q_1 dot i + q_2 dot j + q_3 dot k
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$
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des $bb(R)^4$ mit den Multiplikationsregeln
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#table(columns: 5,
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$dot$, $1$, $i$, $j$, $k$,
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$1$, $1$, $i$, $j$, $k$,
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$i$, $i$, $-1$, $k$, $-j$,
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$j$, $j$, $-k$, $-1$, $i$,
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$k$, $k$, $j$, $-i$, $-1$
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)
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d.h. für ein Quaternionenprodukt
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$
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bb(a) dot bb(b) &= (a_0, ..., a_3) dot (b_0, ..., b_3) \
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&= (a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3) \
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||||
& + (a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3 - a_3 b_2) dot i \
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||||
& + (a_0 b_2 - a_1 b_3 + a_2 b_0 + a_3 b_1) dot j \
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||||
& + (a_0 b_3 + a_1 b_2 - a_2 b_1 + a_3 b_0) dot k \
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$
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und insbesondere $bb(1) := (1, 0, 0, 0)$ und alle $bb(q)$ ist
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$
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bb(1) dot bb(q) = bb(q) dot bb(1)
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$
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Das konjugierte Quaternion zu $bb(q)$ ist
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$
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bb(q)^* = (q_0, -q_1, -q_2, -q_3)
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$
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Es heißt Einheitsquaternion oder normiertes Quaternion, falls
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$
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norm(bb(q))^2 = norm(bb(q)^*)^2 := sum q_i^2 = 1
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$
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])
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#card(
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question: [Wie hangen sie mit Rotationen zusammen?],
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answer: [
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Sei $bb(r) = (cos phi / 2, a^t, sin phi / 2) $ ein normiertes Quaternion,
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d.h. $a^2 = 1$.
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Dann gilt
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$
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bb(r) dot (0 x^t) dot bb(r)^* = (mat(0, ""; "", R) vec(0, x))^t
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$
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$bb(r) = (1, 0, 0, )$ stellt die Identität dar\
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$bb(r)^*$ die inverse Rotation \
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$bb(p r)$ die Komposition der durch $bb(p)$ und $bb(r)$ gegebene Rotation
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])
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#card(
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question: [Was lasst sich mit Quaternionen, EulerWinkeln und
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Drehmatrizen jeweils besser gut darstellen oder
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durchführen?],
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answer: [
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*Euler-Winkel*: interpolation, anwendung auf pkt\
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*Matirx*: anwendung auf pkt\
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*Quaternion*: Konkatenation, Normierung, Interpolation
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])
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== Zweibögen
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#card(
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question: [Was sind Zweibogen und Kontaktelemente?],
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answer: [
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Ein Zweibogen (Biarc) ist eine glatte Kurve bestehend aus zwei orientierten
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Kreisbögen. Dabei dürfen Radien unendlich sein, d.h. Kreisbögen können
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Strecken sein.
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Ein Punkt $p$ einer Kurve bildet zusammen mit dem zugehörigen
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Tangentenvektor $t, norm(t) = 1$, ein Kontaktelement der Kurve.
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])
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#card(
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question: [Wodurch ist ein Zweibogen eindeutig festgelegt?],
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answer: [
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Zu zwei gegebenen Punkten $a$ und $b$ und einem Kontaktelement $c t$ gibt es
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genau einen Zweibogen von $a$ nach $b$ mit der Tangentenrichtung $t$ um
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Übergangspunkt $c$ zwischen den beiden Bögen.
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])
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#card(
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question: [Was erfüllen die drei Endkontaktelemente der beiden
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Bogen eines Zweibogens?],
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answer: [
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])
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#card(
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question: [Wie bekommt man alle Zweibogen zu gegebenen
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Anfangs-und Endkontaktelement?],
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answer: [
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Im $cal(E)^2$ seien $a u$ und $c w$ zwei beliebige Kontaktelemente mit den
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Tangenten $cal(A) := a + u bb(R)$ und $cal(C) := c w bb(R)$. Dann existiert
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ein eindeutiger Kreis $K$ durch $a$ und $b$ sodass
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$
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phi := angle cal(A K) = angle cal(C K)
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$
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Dieser Kreis $cal(K)$ ist der Ort $cal(B)$ (d.h. die Menge) Übergangs- oder
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Bindepunkte aller Zweibögen mit den Endkontaktelementen $a u$ und $c w$.
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])
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#card(
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question: [Wie übertragen sich planare Zweibogenkonstruktionen
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auf sphärische?],
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answer: [
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Die Sätze gelten genauso auch auf der Sphäre $S^2$ anstelle des $cal(E)^2$.
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Echte Zweibögen auf $S^2$ sind räumlich: Ihre Bögen liegen in verschiedenen
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Ebenen. Außerdem liegt jeder räumliche Zweibogen auf einer (eideutigen)
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Sphäre.
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])
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== Volumen
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#card(
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question: [Wie ist das Volumen eines Parallelepipeds definiert?],
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answer: [
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Jedes k-dimensionale Parallelepiped
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$
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P_k := sans(p) + A_k [0,1]^k
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$
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hat die Höhe $gamma_(k k)$ über $P_(k-1)$ und das Volumen
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$
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"vol"_k P_k &:= gamma_11 ... gamma_(k k) \
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&= sqrt(det(Gamma_k^t B_k^t B_k Gamma_k)) \
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&= sqrt(det(A_k^t A_k))
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$
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])
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#card(
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question: [Warum lassen euklidische Bewegungen
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question: [Warum lassen euklidische Bewegungen Volumina invariant?
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],
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answer: [
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Euklidische Bewegungen lassen Volumina invariant. Affinitäten
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$
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Phi(x) = c + C x: cal(E)^n -> cal(E)^n
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$
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ändern das n-dimensionale Volumina um den Faktor $abs(det C)$ und lassen
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Verhältnisse n-dimensionaler Volumina invariant. (Weil C orthonormal/eine
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Drehung und keine Skalierung ist?)
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])
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== Alternierendes Produkt
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@ -1033,14 +1137,54 @@ answer: [
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question: [Wie ist das alternierende Produkt definiert und welche
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Eigenschaften hat es?],
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answer: [
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Die Determinate einer $n times n$-Matrix $A = [a_1 ... a_n]$ kann mit Hilfe
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ihrer Kofaktoren $v_i = (-1)^(i+1) det A_(i 1)$ berechnet werden, wobei
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$A_(i 1)$ die Matrix A ohne ihre $i$-te Zeile und erste Spalte ist; denn mit
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dem Vektor $bb(b) = [v_1 ... v_n]$ der Kofaktoren git $det A = a_1^t v$.
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Das alternierende Produkt der Vektoren $a_2,...,a_n$ ist der Vektor $a_2 and
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... and a_n := v$.
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- $a_i^t v = 0$ für $i = 2, ..., n$
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- $"vol"_n A = "vol"_(n-1) [a_2 ... a_n] dot abs(a_1^t) / norm(v) => norm(v)
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= "vol"_(n-1) [a_2 ... a_n]$
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- $det [v a_2 ... a_n] = v^2 >= 0$, d.h. die Folge $v a_2 ... a_n$ ist
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positiv orientiert.
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Für $n=2$: $and vec(a,b) = vec(b, -a)$\
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Für $n=3$: Kreuzprodukt $a_2 and a_3 = a_2 times a_3$
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])
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== Lot und Abstand
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#card(
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question: [Wie lassen sich die Abstände eines Punkts von einer
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Ebene und die zweier Geraden berechnen?],
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answer: [
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Gesucht: Fußpunkt $f$ und Abstand $d$
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*Punkt $p$ zu Ebene $U: d(x) = u^t x - u = 0$, sodass $f = p - d u$*:
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$
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u^t f &= u^t p - d = u \
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=> d &= u^t p - d \
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&= d(p)
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$
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*Punkt $p$ zu Ebene $U: x = a + [a_2 ... a_n]y =: a + A y$, sodass $f = p - d u$*:
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$
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d = (det mat((p-a), A))/("vol"_(n-1) A)
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= (det mat((p-a), A)) / norm(a_2 and ... and a_n) \
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f = p - (a_2 and ... and a_n)/(norm(a_2 and ... and a_n)) d
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$
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*Gerade $cal(A): x = a + a_1 lambda$ zu Gerade $cal(B): x = b + b_1 lambda$:*
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$
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d = ("vol"_3 mat((b-a), a_1, b_1))/("vol"_2 mat(a_1, b_1))
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$
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Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : u^t (x - a) = 0$
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$
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... => f = b + b_1 (u^t (a-b)) / (u^t b_1)
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$
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])
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= Perspektivische Darstellungen
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== Homogene Koordinaten
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