feat(ggg): variable to switch between exporting to cheatsheet or flashcard
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parent
07b5af5a17
commit
9014a44ec0
15
ggg/Makefile
Normal file
15
ggg/Makefile
Normal file
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@ -0,0 +1,15 @@
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ggg-cards.pdf: ggg-cards.typ
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typst compile ggg-cards.typ
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.PHONY: dev
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dev:
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typst watch ggg-cards.typ
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.PHONY: cards
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cards: ggg-cards.pdf
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typst compile ggg-cards.typ output/{0p}-ggg-cards.svg
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ls output | while read -r a && read -r b; do echo "<img src='$a'/>, <img src='$b'/>"; done > geometrische-grundlagen-der-geometrieverarbeitung.csv
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.PHONY: install
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install: cards
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cp output/* ~/.local/share/Anki2/Benutzer\ 1/collection.media/
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@ -12,11 +12,10 @@
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* put all images from ./output in your ankis collection.media directory
|
* put all images from ./output in your ankis collection.media directory
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*
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*
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*/
|
*/
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#let EXPORT_FLASHCARD = false
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// #set page(margin: 1cm, columns: 2)
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#show heading: it => none
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#set heading(numbering: "1.1")
|
#set heading(numbering: "1.1")
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#set par(justify: true)
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#set text(lang: "de")
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#show math.equation.where(block: false): box
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#show math.equation.where(block: false): box
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@ -34,11 +33,10 @@
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||||||
return numbering(c.numbering,..counter(heading).at(c.location()))
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return numbering(c.numbering,..counter(heading).at(c.location()))
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}
|
}
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#let card(
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#let flash-card(
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question: "",
|
question: "",
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||||||
answer: ""
|
answer: ""
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) = [
|
) = [
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||||||
// #rect(width: 100%)[
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||||||
#set page("a7", flipped: true, width: auto, header: [
|
#set page("a7", flipped: true, width: auto, header: [
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||||||
#context {
|
#context {
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||||||
let h = query(selector(heading.where(level: 1)).before(here())).last()
|
let h = query(selector(heading.where(level: 1)).before(here())).last()
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||||||
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@ -52,9 +50,26 @@
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#page()[
|
#page()[
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#answer
|
#answer
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||||||
]
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]
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// ]
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||||||
]
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]
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#let cheatsheet-card(
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question: "",
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answer: ""
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) = rect(width: 100%)[
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#strong(question)
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#answer
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]
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#let card = if EXPORT_FLASHCARD {flash-card} else {cheatsheet-card}
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#show: doc => if not EXPORT_FLASHCARD [
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#set page(margin: 1cm, columns: 2)
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#doc
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] else [
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#show heading: it => none
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#set par(justify: true)
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#doc
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]
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/*
|
/*
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* Grundseite XY
|
* Grundseite XY
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@ -1196,29 +1211,36 @@ Ebene und die zweier Geraden berechnen?],
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answer: [
|
answer: [
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||||||
Gesucht: Fußpunkt $f$ und Abstand $d$
|
Gesucht: Fußpunkt $f$ und Abstand $d$
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||||||
|
|
||||||
*Punkt $p$ zu Ebene $U: d(x) = u^t x - u = 0$, sodass $f = p - d u$*:
|
Punkt $mono(p)$ zu Ebene $cal(U): d(x) = mono(u)^t mono(x) - u = 0$, sodass
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||||||
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$mono(f) = mono(p) - d mono(u)$:
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$
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$
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u^t f &= u^t p - d = u \
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mono(u)^t mono(f) &= mono(u)^t mono(p) - d = u \
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||||||
=> d &= u^t p - d \
|
=> d &= mono(u)^t mono(p) - u \
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||||||
&= d(p)
|
&= d(mono(p))
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||||||
$
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$
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||||||
|
|
||||||
*Punkt $p$ zu Ebene $U: x = a + [a_2 ... a_n]y =: a + A y$, sodass $f = p - d u$*:
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Punkt $mono(p)$ zu Ebene $cal(U): mono(x) = mono(a) + [mono(a)_2 ...
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||||||
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mono(a)_n]mono(y) =: mono(a) + A mono(y)$, sodass $mono(f) = mono(p) - d
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||||||
|
mono(u)$:
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$
|
$
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||||||
d = (det mat((p-a), A))/("vol"_(n-1) A)
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d = (det mat((mono(p)-mono(a)), A))/("vol"_(n-1) A)
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||||||
= (det mat((p-a), A)) / norm(a_2 and ... and a_n) \
|
= (det mat((mono(p)-mono(a)), A)) / norm(mono(a)_2 and ... and mono(a)_n) \
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||||||
|
|
||||||
f = p - (a_2 and ... and a_n)/(norm(a_2 and ... and a_n)) d
|
mono(f) = mono(p) - (mono(a)_2 and ... and mono(a)_n)/(norm(mono(a)_2 and
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||||||
|
... and mono(a)_n)) d
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$
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$
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||||||
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||||||
*Gerade $cal(A): x = a + a_1 lambda$ zu Gerade $cal(B): x = b + b_1 lambda$:*
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Gerade $cal(A): mono(x) = mono(a) + mono(a)_1 lambda$ zu Gerade $cal(B):
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||||||
|
mono(x) = mono(b) + mono(b)_1 lambda$:
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||||||
$
|
$
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||||||
d = ("vol"_3 mat((b-a), a_1, b_1))/("vol"_2 mat(a_1, b_1))
|
d = ("vol"_3 mat((mono(b)-mono(a)), mono(a)_1, mono(b)_1))/("vol"_2
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||||||
|
mat(mono(a)_1, mono(b)_1))
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$
|
$
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||||||
|
|
||||||
Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : u^t (x - a) = 0$
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Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : mono(u)^t (mono(x) - mono(a)) = 0$
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||||||
$
|
$
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||||||
... => f = b + b_1 (u^t (a-b)) / (u^t b_1)
|
... => mono(f) = mono(b) + mono(b)_1 (mono(u)^t (mono(a)-mono(b))) /
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||||||
|
(mono(u)^t mono(b)_1)
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$
|
$
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||||||
])
|
])
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||||||
= Perspektivische Darstellungen
|
= Perspektivische Darstellungen
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||||||
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@ -1553,14 +1575,14 @@ Ebene immer?],
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||||||
#card(
|
#card(
|
||||||
question: [Wann heißt eine Punktfolge projektiv unabhängig?],
|
question: [Wann heißt eine Punktfolge projektiv unabhängig?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Die Folge $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ heißt projektiv unabhängig genau dann,
|
Die Folge $mono(p)_0 ... mono(p)_r$ heißt projektiv unabhängig genau dann,
|
||||||
wenn die Folge $bb(p)_0...bb(p)_r subset bb(R)^(n+15$ linear unabhängig ist.
|
wenn die Folge $bb(p)_0...bb(p)_r subset bb(R)^(n+15$ linear unabhängig ist.
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||||||
])
|
])
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||||||
#card(
|
#card(
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||||||
question: [Wie ist die projektive Hülle von Punkten definiert?],
|
question: [Wie ist die projektive Hülle von Punkten definiert?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Die projektive Hülle oder der Aufspann von $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ ist der
|
Die projektive Hülle oder der Aufspann von $mono(p)_0 ... mono(p)_r$ ist der
|
||||||
projektive Unterraum $<bold(p)_0 ... bold(p)_r> := { bold(x) | bb(x) in
|
projektive Unterraum $<mono(p)_0 ... mono(p)_r> := { mono(x) | bb(x) in
|
||||||
[bb(p)_0 .. bb(p)_r] bb(R)^(r+1) \\ { bb(o) } }$.
|
[bb(p)_0 .. bb(p)_r] bb(R)^(r+1) \\ { bb(o) } }$.
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||||||
])
|
])
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||||||
#card(
|
#card(
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||||||
|
|
@ -1572,25 +1594,25 @@ Ebene immer?],
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||||||
sodass wir uns ganz vom $bb(R)^(n+1)$ lösen können. Wir nennen die
|
sodass wir uns ganz vom $bb(R)^(n+1)$ lösen können. Wir nennen die
|
||||||
Koordinaten eines Punktes deshalb auch projektive Koordinaten bezüglich
|
Koordinaten eines Punktes deshalb auch projektive Koordinaten bezüglich
|
||||||
eines Grundecks. Sind $x_i$ die projektiven Koordinaten eines Punkts
|
eines Grundecks. Sind $x_i$ die projektiven Koordinaten eines Punkts
|
||||||
$bold(x)$ bezüglich $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ schreiben wir auch
|
$mono(x)$ bezüglich $mono(p)_0 ... mono(p)_n mono(p)$ schreiben wir auch
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||||||
$bold(x) = bold(p)_0 x_0 + ... + bold(p)_n x_n$.
|
$mono(x) = mono(p)_0 x_0 + ... + mono(p)_n x_n$.
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||||||
])
|
])
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||||||
#card(
|
#card(
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||||||
question: [Was ist eine projektive Skala?],
|
question: [Was ist eine projektive Skala?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Seien $x_0$ und $x_1$ die projektiven Koordinaten eines Punkts $bold(x)$
|
Seien $x_0$ und $x_1$ die projektiven Koordinaten eines Punkts $mono(x)$
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||||||
bezüglich eines Grundecks $bold(p)_0 bold(p)_1 bold(p)$. Dann bilden die
|
bezüglich eines Grundecks $mono(p)_0 mono(p)_1 mono(p)$. Dann bilden die
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||||||
Quotienten $x = x_1 / x_0$ für alle $bold(x) in bold(p)_0 union.sq
|
Quotienten $x = x_1 / x_0$ für alle $mono(x) in mono(p)_0 union.sq
|
||||||
bold(p)_1$ die projektive Skala bezüglich $bold(p)_0 bold(p_1) bold(p)$.
|
mono(p)_1$ die projektive Skala bezüglich $mono(p)_0 mono(p_1) mono(p)$.
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||||||
])
|
])
|
||||||
#card(
|
#card(
|
||||||
question: [Wann ist eine projektive Skala eine affine?],
|
question: [Wann ist eine projektive Skala eine affine?],
|
||||||
answer: [
|
answer: [
|
||||||
Ist $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ ein projektives Grundeck in einer
|
Ist $mono(p) mono(p)_0 mono(p)_1$ ein projektives Grundeck in einer
|
||||||
projektiv erweiterten affinen Gerade mit Fernpunkt $bold(p)_1$, ist die
|
projektiv erweiterten affinen Gerade mit Fernpunkt $mono(p)_1$, ist die
|
||||||
porjektive Skala $x$ bezüglich $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ auch eine
|
porjektive Skala $x$ bezüglich $mono(p) mono(p)_0 mono(p)_1$ auch eine
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||||||
affinie Skala, die den affinen Koordinaten der Punkte $bold(x)$ bezüglich
|
affinie Skala, die den affinen Koordinaten der Punkte $mono(x)$ bezüglich
|
||||||
des affinen Koordinatensystems $bold(p)_0 (bold(p) - bold(p)_0)$ entspricht.
|
des affinen Koordinatensystems $mono(p)_0 (mono(p) - mono(p)_0)$ entspricht.
|
||||||
])
|
])
|
||||||
== Koordintentransformation
|
== Koordintentransformation
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||||||
#card(
|
#card(
|
||||||
|
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@ -1598,8 +1620,8 @@ Ebene immer?],
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||||||
Koordinaten bezüglich eines anderen Grundecks
|
Koordinaten bezüglich eines anderen Grundecks
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||||||
transformiert werden?],
|
transformiert werden?],
|
||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Seien $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ und $bold(q)_0 ... bold(q)_n
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Seien $mono(p)_0 ... mono(p)_n mono(p)$ und $mono(q)_0 ... mono(q)_n
|
||||||
bold(q)$ Grundecke des $cal(P)^n$ und sei
|
mono(q)$ Grundecke des $cal(P)^n$ und sei
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||||||
$
|
$
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||||||
bb(p) = & [ bb(p)_0 ... bb(p)_n] bb(e) = bb(P e) \
|
bb(p) = & [ bb(p)_0 ... bb(p)_n] bb(e) = bb(P e) \
|
||||||
bb(q) = & [ bb(q)_0 ... bb(q)_n] bb(e) = bb(Q e) \
|
bb(q) = & [ bb(q)_0 ... bb(q)_n] bb(e) = bb(Q e) \
|
||||||
|
|
@ -1607,26 +1629,26 @@ transformiert werden?],
|
||||||
$
|
$
|
||||||
Dann ist $bb(x)_q = bb(Q)^(-1) bb(P) bb(x)_p$ eine
|
Dann ist $bb(x)_q = bb(Q)^(-1) bb(P) bb(x)_p$ eine
|
||||||
Koordinatentransformation. Dabei repräsentiert $bb(Q)^(-1) bb(P)$ die
|
Koordinatentransformation. Dabei repräsentiert $bb(Q)^(-1) bb(P)$ die
|
||||||
Grundpunkte $bold(p)_i$ bezüglich des Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n
|
Grundpunkte $mono(p)_i$ bezüglich des Grundecks $mono(q)_0 ... mono(q)_n
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||||||
bold(q)$.
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mono(q)$.
|
||||||
])
|
])
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||||||
#card(
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#card(
|
||||||
question: [Wie ändern sich bei einer Koordinatentransformation die
|
question: [Wie ändern sich bei einer Koordinatentransformation die
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||||||
Koordinaten von Hyperebenen?],
|
Koordinaten von Hyperebenen?],
|
||||||
answer: [
|
answer: [
|
||||||
Eine Hyperebene $cal(U): bb(u)^t bb(x) = 0$ hat bezüglich des Gundecks
|
Eine Hyperebene $cal(U): bb(u)^t bb(x) = 0$ hat bezüglich des Gundecks
|
||||||
$bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$ die Darstellung $bb(u)^t bb(Q) bb(x)_q =:
|
$mono(q)_0... mono(q)_n mono(q)$ die Darstellung $bb(u)^t bb(Q) bb(x)_q =:
|
||||||
bb(u)^t_q bb(x)_q = 0$. Also ist $bb(u)_q = bb(Q)^t bb(u)$ die
|
bb(u)^t_q bb(x)_q = 0$. Also ist $bb(u)_q = bb(Q)^t bb(u)$ die
|
||||||
Transformation des homogenen Hyperebenen-Koordinatenvektors $bb(u)$ in den
|
Transformation des homogenen Hyperebenen-Koordinatenvektors $bb(u)$ in den
|
||||||
bezüglich des Grundecks $bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$.
|
bezüglich des Grundecks $mono(q)_0... mono(q)_n mono(q)$.
|
||||||
])
|
])
|
||||||
#card(
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#card(
|
||||||
question: [Warum kann jede Hyperebene eines projektiven Raums
|
question: [Warum kann jede Hyperebene eines projektiven Raums
|
||||||
als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
|
als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
|
||||||
answer: [
|
answer: [
|
||||||
Die Grundpunkte $bold(q)_1, ..., bold(q)_n$ liegen in der Hyperebene
|
Die Grundpunkte $mono(q)_1, ..., mono(q)_n$ liegen in der Hyperebene
|
||||||
$cal(U)$ genau dann, wenn $bb(u)^t_q ~ [1 0 ... 0]$. D.h. bezüglich des
|
$cal(U)$ genau dann, wenn $bb(u)^t_q ~ [1 0 ... 0]$. D.h. bezüglich des
|
||||||
Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n bold(q)$ kann $cal(U)$ als die
|
Grundecks $mono(q)_0 ... mono(q)_n mono(q)$ kann $cal(U)$ als die
|
||||||
Fernhyperebene einer projektiven Erweiterung des $cal(A)^n$ aufgefasst
|
Fernhyperebene einer projektiven Erweiterung des $cal(A)^n$ aufgefasst
|
||||||
werden. Da $cal(U)$ eine beliebige Hyperebene ist, kann auch jede andere
|
werden. Da $cal(U)$ eine beliebige Hyperebene ist, kann auch jede andere
|
||||||
Hyperebene als Fernhyperebene aufgefasst werden.
|
Hyperebene als Fernhyperebene aufgefasst werden.
|
||||||
|
|
@ -1641,22 +1663,22 @@ als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
|
||||||
#card(
|
#card(
|
||||||
question: [Was heißt alles dual zueinander?],
|
question: [Was heißt alles dual zueinander?],
|
||||||
answer: [
|
answer: [
|
||||||
Ein Punkt $bold(u)$ und eine Hyperebene $cal(U)$ med dem glichen homogenen
|
Ein Punkt $mono(u)$ und eine Hyperebene $cal(U)$ med dem glichen homogenen
|
||||||
Koordinatenvektoren $bb(u)$ heißen dual zueinander.
|
Koordinatenvektoren $bb(u)$ heißen dual zueinander.
|
||||||
])
|
])
|
||||||
#card(
|
#card(
|
||||||
question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des $cal(P)^n$ berechnen?],
|
question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des $cal(P)^n$ berechnen?],
|
||||||
answer: [
|
answer: [
|
||||||
Ein Unterraum $cal(A) := bold(a)_0 union.sq ... union.sq bold(a)_k subset
|
Ein Unterraum $cal(A) := mono(a)_0 union.sq ... union.sq mono(a)_k subset
|
||||||
cal(P)$ geht beim Dualisieren in den Unterraum $cal(A)^* := cal(A)_0
|
cal(P)$ geht beim Dualisieren in den Unterraum $cal(A)^* := cal(A)_0
|
||||||
union.sq ... union.sq cal(A)_k subset cal(P)^*$ über, aber meist stellt man
|
union.sq ... union.sq cal(A)_k subset cal(P)^*$ über, aber meist stellt man
|
||||||
den Unterraum $cal(A)^*$ durch den polaren Unterraum $cal(A)̧̃° := cal(A)_0 inter
|
den Unterraum $cal(A)^*$ durch den polaren Unterraum $cal(A)̧̃° := cal(A)_0 inter
|
||||||
... inter cal(A)_k subset cal(P)$ dar und bezeichnet auch $cal(A)°$ als den
|
... inter cal(A)_k subset cal(P)$ dar und bezeichnet auch $cal(A)°$ als den
|
||||||
zu $cal(A)$ dualen Unterraum.
|
zu $cal(A)$ dualen Unterraum.
|
||||||
|
|
||||||
Die Hyperebene $cal(U) = bold(a)_1 union.sq ... union.sq bold(a)_n : bb(u)^t
|
Die Hyperebene $cal(U) = mono(a)_1 union.sq ... union.sq mono(a)_n : bb(u)^t
|
||||||
= [bb(a)_1 and ... and bb(a)_n]^t$ ist dual zum Punkt $cal(U)^* = cal(A)_1
|
= [bb(a)_1 and ... and bb(a)_n]^t$ ist dual zum Punkt $cal(U)^* = cal(A)_1
|
||||||
inter.sq ... inter.sq cal(A)_n = { bold(u)}: bb(u) = bb(a)_1 and ... and
|
inter.sq ... inter.sq cal(A)_n = { mono(u)}: bb(u) = bb(a)_1 and ... and
|
||||||
bb(a)_n$.
|
bb(a)_n$.
|
||||||
])
|
])
|
||||||
== Projektive Abbildungen
|
== Projektive Abbildungen
|
||||||
|
|
@ -1665,8 +1687,8 @@ als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
|
||||||
answer: [
|
answer: [
|
||||||
Jede lineare Abbildung $phi : bb(R)^(m+1) -> bb(R)^(n+1), bb(x) |-> bb(A
|
Jede lineare Abbildung $phi : bb(R)^(m+1) -> bb(R)^(n+1), bb(x) |-> bb(A
|
||||||
x)$, induziert eine projektive Abbildung $Phi: cal(P)^m -> cal(P)^n$, die
|
x)$, induziert eine projektive Abbildung $Phi: cal(P)^m -> cal(P)^n$, die
|
||||||
durch die gleiche Matrix $bb(A)$ wie $phi$ dargestellt wird: $bold(y) =
|
durch die gleiche Matrix $bb(A)$ wie $phi$ dargestellt wird: $mono(y) =
|
||||||
Phi(bold(x)) : bb(A x) = [bb(a)_0 .. bb(a)_m] bb(x)$.
|
Phi(mono(x)) : bb(A x) = [bb(a)_0 .. bb(a)_m] bb(x)$.
|
||||||
|
|
||||||
Dabei repräsentieren die Koordinatenvektoren $bb(a)_0...bb(a)_m (bb(a)_0 +
|
Dabei repräsentieren die Koordinatenvektoren $bb(a)_0...bb(a)_m (bb(a)_0 +
|
||||||
... bb(a)_m)$ die Bilder des Koordinaten-Grundecks.
|
... bb(a)_m)$ die Bilder des Koordinaten-Grundecks.
|
||||||
|
|
@ -1688,10 +1710,10 @@ und wie ist er definiert?],
|
||||||
Unterraum $cal(U)$ ohne den Ausnahmeraum auf einen projektiven Unterraum ab:
|
Unterraum $cal(U)$ ohne den Ausnahmeraum auf einen projektiven Unterraum ab:
|
||||||
$Phi: cal(U) \\ cal(A)_Phi |-> Phi(cal(U) \\ cal(A)_Phi)$.
|
$Phi: cal(U) \\ cal(A)_Phi |-> Phi(cal(U) \\ cal(A)_Phi)$.
|
||||||
|
|
||||||
Zu zwei Grundecken $bold(p)_0...bold(p)_n bold(p)$ und
|
Zu zwei Grundecken $mono(p)_0...mono(p)_n mono(p)$ und
|
||||||
$bold(q)_0...bold(q)_n bold(q)$ zweier projektiver Räume gibt es genau eine
|
$mono(q)_0...mono(q)_n mono(q)$ zweier projektiver Räume gibt es genau eine
|
||||||
Projektivität $Phi$, die das erste auf das zweite abbildet, d.h. die
|
Projektivität $Phi$, die das erste auf das zweite abbildet, d.h. die
|
||||||
$Phi(bold(p)_i) = bold(q)_i$ und $Phi(bold(p)) = bold(q)$ erfüllt.
|
$Phi(mono(p)_i) = mono(q)_i$ und $Phi(mono(p)) = mono(q)$ erfüllt.
|
||||||
])
|
])
|
||||||
== Kollineationen und Korrelationen
|
== Kollineationen und Korrelationen
|
||||||
#card(
|
#card(
|
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@ -1735,7 +1757,7 @@ darstellen?],
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#card(
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#card(
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question: [Was ist das Doppelverhältnis?],
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question: [Was ist das Doppelverhältnis?],
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answer: [
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answer: [
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Hier betrachen wir vier Punkte $bold(a), bold(b), bold(x)$ und $bold(y)$
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Hier betrachen wir vier Punkte $mono(a), mono(b), mono(x)$ und $mono(y)$
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einer Geraden mit den projektiven Skalenwerten $alpha, beta, xi$ und $eta$
|
einer Geraden mit den projektiven Skalenwerten $alpha, beta, xi$ und $eta$
|
||||||
bzgl. irgendeines Grundecks.
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bzgl. irgendeines Grundecks.
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||||||
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@ -1747,23 +1769,23 @@ darstellen?],
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circle((1,0), radius: .08, fill: white)
|
circle((1,0), radius: .08, fill: white)
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||||||
content((), $alpha$, padding: .2, anchor: "south")
|
content((), $alpha$, padding: .2, anchor: "south")
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content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
|
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circle((2,0), radius: .08, fill: white)
|
circle((2,0), radius: .08, fill: white)
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||||||
content((), $eta$, padding: .2, anchor: "south")
|
content((), $eta$, padding: .2, anchor: "south")
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content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
|
content((), $mono(y)$, padding: .2, anchor: "north")
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||||||
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||||||
circle((3.5,0), radius: .08, fill: white)
|
circle((3.5,0), radius: .08, fill: white)
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||||||
content((), $beta$, padding: .2, anchor: "south")
|
content((), $beta$, padding: .2, anchor: "south")
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||||||
content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
|
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||||||
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circle((4.5,0), radius: .08, fill: white)
|
circle((4.5,0), radius: .08, fill: white)
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||||||
content((), $xi$, padding: .2, anchor: "south")
|
content((), $xi$, padding: .2, anchor: "south")
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||||||
content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
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})
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})
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||||||
Das Doppelverhaltnis der Punktpaare $bold(x y)$ und $bold(a b)$ ist der Wert
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Das Doppelverhaltnis der Punktpaare $mono(x y)$ und $mono(a b)$ ist der Wert
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$delta = D V [bold(x y) | bold(a b)] := (xi - alpha) / (xi - beta) : (eta -
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$delta = D V [mono(x y) | mono(a b)] := (xi - alpha) / (xi - beta) : (eta -
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alpha) / (eta - beta)$.
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alpha) / (eta - beta)$.
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])
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])
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@ -1772,7 +1794,7 @@ darstellen?],
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answer: [
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answer: [
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Weil die Matrix einer projektiven Abbildung $Phi$ die Einheitsmatrix ist,
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Weil die Matrix einer projektiven Abbildung $Phi$ die Einheitsmatrix ist,
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||||||
wenn wir sie für die Urbild- und Bildkoordinaten bezüglich des Grundecks
|
wenn wir sie für die Urbild- und Bildkoordinaten bezüglich des Grundecks
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||||||
$bold(a b y)$ bzw $Phi(bold(a)) Phi(bold(b)) Phi(bold(y))$ beschreiben,
|
$mono(a b y)$ bzw $Phi(mono(a)) Phi(mono(b)) Phi(mono(y))$ beschreiben,
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||||||
ändern projektive Abbildungen Doppelverhältnisse nicht. Doppelverhälnisse
|
ändern projektive Abbildungen Doppelverhältnisse nicht. Doppelverhälnisse
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||||||
treten daher im projektiven Raum an die Stelle der Teilverhaltnisse, da
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treten daher im projektiven Raum an die Stelle der Teilverhaltnisse, da
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||||||
letztere nur affine Invarientan sind.
|
letztere nur affine Invarientan sind.
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||||||
|
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@ -1780,17 +1802,17 @@ darstellen?],
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||||||
#card(
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#card(
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||||||
question: [Was ist das harmonische Doppelverhältnis?],
|
question: [Was ist das harmonische Doppelverhältnis?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Für das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ liegen $bold(x y)$ und
|
Für das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ liegen $mono(x y)$ und
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||||||
$bold(a b)$ in harmonischer Lage.
|
$mono(a b)$ in harmonischer Lage.
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||||||
])
|
])
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||||||
#card(
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#card(
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||||||
question: [Was bedeutet harmonische Lage von vier kollinearen
|
question: [Was bedeutet harmonische Lage von vier kollinearen
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Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
|
Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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Für $delta = - 1$ liegen $bold(x y)$ und $bold(a b)$ in harmonischer Lage.
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Für $delta = - 1$ liegen $mono(x y)$ und $mono(a b)$ in harmonischer Lage.
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||||||
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||||||
Ist $bold(b)$ ein Fernpunkt, ist $delta$ eine affine Skala und für $delta =
|
Ist $mono(b)$ ein Fernpunkt, ist $delta$ eine affine Skala und für $delta =
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||||||
-1$ ist $bold(a) = (bold(x) + bold(y)) /2$.
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-1$ ist $mono(a) = (mono(x) + mono(y)) /2$.
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||||||
#cetz.canvas({
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#cetz.canvas({
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@ -1801,27 +1823,27 @@ Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
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circle((0.5,0), radius: .08, fill: white)
|
circle((0.5,0), radius: .08, fill: white)
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||||||
content((), $-1$, padding: .2, anchor: "south")
|
content((), $-1$, padding: .2, anchor: "south")
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||||||
content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
|
content((), $mono(x)$, padding: .2, anchor: "north")
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||||||
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||||||
circle((1.5,0), radius: .08, fill: white)
|
circle((1.5,0), radius: .08, fill: white)
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||||||
content((), $0$, padding: .2, anchor: "south")
|
content((), $0$, padding: .2, anchor: "south")
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||||||
content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
|
content((), $mono(a)$, padding: .2, anchor: "north")
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||||||
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||||||
circle((2.5,0), radius: .08, fill: white)
|
circle((2.5,0), radius: .08, fill: white)
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||||||
content((), $1$, padding: .2, anchor: "south")
|
content((), $1$, padding: .2, anchor: "south")
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||||||
content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
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content((), $mono(y)$, padding: .2, anchor: "north")
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||||||
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||||||
line((5,0), (6, 0), mark: (end: ">"))
|
line((5,0), (6, 0), mark: (end: ">"))
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||||||
content((), $oo$, padding: .2, anchor: "south")
|
content((), $oo$, padding: .2, anchor: "south")
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||||||
content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
|
content((), $mono(b)$, padding: .2, anchor: "north")
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})
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})
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||||||
])
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])
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||||||
#card(
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#card(
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||||||
question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmonische Verhältnis invariant?],
|
question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmonische Verhältnis invariant?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ ist invariant gegenüber den
|
Das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ ist invariant gegenüber den
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||||||
Vertauschungen $bold(x) <-> bold(y), bold(x y) <-> bold(a b), bold(a) <->
|
Vertauschungen $mono(x) <-> mono(y), mono(x y) <-> mono(a b), mono(a) <->
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||||||
bold(b)$.
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mono(b)$.
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])
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])
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||||||
== Die duale Abbildung
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== Die duale Abbildung
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#card(
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#card(
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@ -1829,7 +1851,7 @@ Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Sei $Phi: cal(X) -> cal(Y), bb(x) |-> bb(A x)$ eine projektive Abbildung.
|
Sei $Phi: cal(X) -> cal(Y), bb(x) |-> bb(A x)$ eine projektive Abbildung.
|
||||||
NUter ihr hat eine Hyperebene $cal(V): bb(v)^t bb(y) = 0$ von $cal(Y)$ das
|
NUter ihr hat eine Hyperebene $cal(V): bb(v)^t bb(y) = 0$ von $cal(Y)$ das
|
||||||
Urbild $Phi^- cal(V) = { bold(x) in cal(X) | bb(v)^t bb(A x) = 0} : bb(u)^t
|
Urbild $Phi^- cal(V) = { mono(x) in cal(X) | bb(v)^t bb(A x) = 0} : bb(u)^t
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||||||
= bb(v)^t bb(A)$. Die Abbildung $Phi^* : cal(Y)^* -> cal(X)^*, bb(v)^t |->
|
= bb(v)^t bb(A)$. Die Abbildung $Phi^* : cal(Y)^* -> cal(X)^*, bb(v)^t |->
|
||||||
bb(A)^t bb(v)$ ist die duale Abbildung zu $Phi$. Ist sie bijektiv, bildet
|
bb(A)^t bb(v)$ ist die duale Abbildung zu $Phi$. Ist sie bijektiv, bildet
|
||||||
ihre Inverse jede Hyperebene $cal(U)$ auf die Hyperebene $cal(V)$ ab, in die
|
ihre Inverse jede Hyperebene $cal(U)$ auf die Hyperebene $cal(V)$ ab, in die
|
||||||
|
|
@ -1842,14 +1864,14 @@ Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
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||||||
#card(
|
#card(
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||||||
question: [Was ist eine Quadrik?],
|
question: [Was ist eine Quadrik?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Eine Quadrik im $cal(P)^n$ besteht aus den Punkten $bold(x)$, deren homogene
|
Eine Quadrik im $cal(P)^n$ besteht aus den Punkten $mono(x)$, deren homogene
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||||||
Koordinatenvektioren $bb(x)^t = [epsilon, bold(x)^t] x_0$ eine quadratische
|
Koordinatenvektioren $bb(x)^t = [epsilon, mono(x)^t] x_0$ eine quadratische
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||||||
Gleichung erfüllen:
|
Gleichung erfüllen:
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||||||
$
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$
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||||||
cal(Q)(bb(x)) &= bb(x)^t bb(Q x) \
|
cal(Q)(bb(x)) &= bb(x)^t bb(Q x) \
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||||||
&= [epsilon x_0, bold(x)^t x_0] mat(q, bold(q)^t; bold(q), Q)
|
&= [epsilon x_0, mono(x)^t x_0] mat(q, mono(q)^t; mono(q), Q)
|
||||||
vec(epsilon x_0, bold(x) x_0) \
|
vec(epsilon x_0, mono(x) x_0) \
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||||||
&~ bold(x)^t Q bold(x) + 2 epsilon bold(q)^t bold(x) + q epsilon^2 \
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&~ mono(x)^t Q mono(x) + 2 epsilon mono(q)^t mono(x) + q epsilon^2 \
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||||||
&= 0
|
&= 0
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||||||
$
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$
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||||||
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||||||
|
|
@ -1881,11 +1903,11 @@ projektiven Quadrik?],
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||||||
question: [Wie berechnet man die Tangentenquadrik einer Quadrik?],
|
question: [Wie berechnet man die Tangentenquadrik einer Quadrik?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Um die Tangentialebenen (genauer Tangentialhyperebenen) einer Quadrik
|
Um die Tangentialebenen (genauer Tangentialhyperebenen) einer Quadrik
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||||||
$cal(Q)$ zu bestimmen, betrachten wir zunächst einen Punkt $bold(p)$ der
|
$cal(Q)$ zu bestimmen, betrachten wir zunächst einen Punkt $mono(p)$ der
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||||||
Quadrik $cal(Q)$ und einer Geraden $cal(T): bb(x) = bb(p) + bb(q) lambda$
|
Quadrik $cal(Q)$ und einer Geraden $cal(T): bb(x) = bb(p) + bb(q) lambda$
|
||||||
des $cal(P)^n$. (Dabei stellt $lambda = lambda_1 / lambda_0$ eine projektive
|
des $cal(P)^n$. (Dabei stellt $lambda = lambda_1 / lambda_0$ eine projektive
|
||||||
Skala auf $cal(T) : bb(x) = bb(p) lambda_0 + bb(q) lambda_1$ dar.) Nur wenn
|
Skala auf $cal(T) : bb(x) = bb(p) lambda_0 + bb(q) lambda_1$ dar.) Nur wenn
|
||||||
die Gerade $cal(T)$ die Quadrik allein im Punkt $bold(p)$ berührt oder ganz
|
die Gerade $cal(T)$ die Quadrik allein im Punkt $mono(p)$ berührt oder ganz
|
||||||
auf der Quadrik liegt ist sie eine Tangente. Folglich ist $cal(T)$ Tangente
|
auf der Quadrik liegt ist sie eine Tangente. Folglich ist $cal(T)$ Tangente
|
||||||
genau dann, wenn die quadratische Gleichung
|
genau dann, wenn die quadratische Gleichung
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||||||
$
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$
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@ -1896,26 +1918,26 @@ projektiven Quadrik?],
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||||||
$
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$
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||||||
eine doppelte Nullstelle $lambda = 0$ hat. Somit ist $cal(T)$ Tangente von
|
eine doppelte Nullstelle $lambda = 0$ hat. Somit ist $cal(T)$ Tangente von
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||||||
$cal(Q)$ genau dann, wenn $bb(p)^t bb(Q q) = 0$. Weiter folgt, dass die
|
$cal(Q)$ genau dann, wenn $bb(p)^t bb(Q q) = 0$. Weiter folgt, dass die
|
||||||
Tangentialebene von $cal(Q)$ in $bold(p)$ die Qleichung $bb(u)^t bb(x) =
|
Tangentialebene von $cal(Q)$ in $mono(p)$ die Qleichung $bb(u)^t bb(x) =
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||||||
bb(q)^t bb(Q x) = 0$ hat.
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bb(q)^t bb(Q x) = 0$ hat.
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||||||
])
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])
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||||||
#card(
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#card(
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||||||
question: [Was sind Polarebenen?],
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question: [Was sind Polarebenen?],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Für einen beliebigen Punkt $bold(p) in cal(P)^n$, definiert die Gleicuhng
|
Für einen beliebigen Punkt $mono(p) in cal(P)^n$, definiert die Gleicuhng
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||||||
$bb(p)^t bb(Q x) = 0$ die Polarebene (oder eigentlich Polarhyperebene)
|
$bb(p)^t bb(Q x) = 0$ die Polarebene (oder eigentlich Polarhyperebene)
|
||||||
$cal(P)(bold(p), cal(Q))$ von $bold(p)$ bezüglich $cal(Q)$, sofern $bold(p)$
|
$cal(P)(mono(p), cal(Q))$ von $mono(p)$ bezüglich $cal(Q)$, sofern $mono(p)$
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||||||
kein singulärer Punkt ist. Sie schneidet $cal(Q)$ in den Punkten $bold(x)$,
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kein singulärer Punkt ist. Sie schneidet $cal(Q)$ in den Punkten $mono(x)$,
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||||||
deren Tangentialebenen $cal(T) lt.tri bb(Q x)$ auch durch $bold(p)$ gehen.
|
deren Tangentialebenen $cal(T) lt.tri bb(Q x)$ auch durch $mono(p)$ gehen.
|
||||||
Liegt $bold(p)$ auf $cal(Q)$, ist die Polarebene die Tangentialebene von
|
Liegt $mono(p)$ auf $cal(Q)$, ist die Polarebene die Tangentialebene von
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||||||
$cal(Q)$ in $bold(p)$.
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$cal(Q)$ in $mono(p)$.
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||||||
])
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])
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||||||
#card(
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#card(
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||||||
question: [Was bilden die Tangentialebenen einer Quadrik?],
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question: [Was bilden die Tangentialebenen einer Quadrik?],
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||||||
answer: [
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answer: [
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||||||
Auch die Tangentialebenen einer Quadrik $cal(Q)$ bilden eine Quadrik im
|
Auch die Tangentialebenen einer Quadrik $cal(Q)$ bilden eine Quadrik im
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||||||
Dualraum. Dazu macht man sich klar, dass ein $bb(u)$ eine Tangentialebene
|
Dualraum. Dazu macht man sich klar, dass ein $bb(u)$ eine Tangentialebene
|
||||||
von $cal(Q)$ in einem Punkt $bold(p)$ von $cal(Q)$ darstellt, falls das
|
von $cal(Q)$ in einem Punkt $mono(p)$ von $cal(Q)$ darstellt, falls das
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||||||
homogene lineare Gleichungssystem
|
homogene lineare Gleichungssystem
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||||||
$
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$
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||||||
bb(Q p) - bb(u) rho &= bb(o) \
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bb(Q p) - bb(u) rho &= bb(o) \
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@ -1931,7 +1953,7 @@ projektiven Quadrik?],
|
||||||
Ist die Matirx $bb(Q)$ regulär, heißt die Korrelation $bb(x) |-> bb(x)^t
|
Ist die Matirx $bb(Q)$ regulär, heißt die Korrelation $bb(x) |-> bb(x)^t
|
||||||
bb(Q)$ die Polarität bezüglich $cal(Q)$. Sie bildet die Punkte von $cal(Q)$
|
bb(Q)$ die Polarität bezüglich $cal(Q)$. Sie bildet die Punkte von $cal(Q)$
|
||||||
auf die zugehörigen Tangentialebenen ab und $cal(Q)$ auf die duale Quadrik
|
auf die zugehörigen Tangentialebenen ab und $cal(Q)$ auf die duale Quadrik
|
||||||
$cal(Q)^*$, deren Punkte $bold(u) lt.tri bb(u) := bb(Q x)$ die Gleichung
|
$cal(Q)^*$, deren Punkte $mono(u) lt.tri bb(u) := bb(Q x)$ die Gleichung
|
||||||
$bb(u)^t bb(Q)^(-1) bb(u) = 0$ erfüllen. Polaritäten sind also Korrelationen
|
$bb(u)^t bb(Q)^(-1) bb(u) = 0$ erfüllen. Polaritäten sind also Korrelationen
|
||||||
oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix.
|
oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix.
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||||||
])
|
])
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||||||
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@ -1943,7 +1965,7 @@ projektiven Quadrik?],
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||||||
#card(
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#card(
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||||||
question: [Was bedeutet dies für den Begriff der Dualitat?],
|
question: [Was bedeutet dies für den Begriff der Dualitat?],
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||||||
answer: [
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answer: [
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||||||
Bsp. Die Dualität $bold(x) |-> cal(X)$ ist die Polarität zur leeren
|
Bsp. Die Dualität $mono(x) |-> cal(X)$ ist die Polarität zur leeren
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||||||
regulären Quadrik $cal(Q) lt.tri bb(E)$.
|
regulären Quadrik $cal(Q) lt.tri bb(E)$.
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||||||
])
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])
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||||||
== Harmonische Punkte und Polaritat
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== Harmonische Punkte und Polaritat
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||||||
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@ -1961,7 +1983,7 @@ und y die Schnittpunkte der Geraden pq mit Q sind?],
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||||||
Mit einer reellen Koordinatentransformation kann die Gleichung einer Quadrik
|
Mit einer reellen Koordinatentransformation kann die Gleichung einer Quadrik
|
||||||
$cal(Q)$ in die Normalform $y_0^2 + ... + y_r^2 - y_(r+1)^2 - ... -
|
$cal(Q)$ in die Normalform $y_0^2 + ... + y_r^2 - y_(r+1)^2 - ... -
|
||||||
y_(r+s)^2 = 0$ und anschließend mid der komplexen Koordinatentransformation
|
y_(r+s)^2 = 0$ und anschließend mid der komplexen Koordinatentransformation
|
||||||
$bb(y) = "diag"(1 ... bold(1) i ... i) bb(z)$ in die Normalform $z_0^2 + ... +
|
$bb(y) = "diag"(1 ... mono(1) i ... i) bb(z)$ in die Normalform $z_0^2 + ... +
|
||||||
z_(r+s)^2 = 0$ überführt werden.
|
z_(r+s)^2 = 0$ überführt werden.
|
||||||
])
|
])
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||||||
#card(
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#card(
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||||||
|
|
@ -1977,10 +1999,10 @@ komplexen Erweiterung?],
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||||||
question: [Erklaren Sie das hyperbolische Modell der hyperbolischen Ebene !],
|
question: [Erklaren Sie das hyperbolische Modell der hyperbolischen Ebene !],
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||||||
answer: [
|
answer: [
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||||||
Im hyperbolischen Modell wird ie hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ durch die
|
Im hyperbolischen Modell wird ie hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ durch die
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||||||
obere Schale des zweischaligen Hyperboloids $cal(O) : bold(x)^t H bold(x) =
|
obere Schale des zweischaligen Hyperboloids $cal(O) : mono(x)^t H mono(x) =
|
||||||
[x, y, z] mat(1,,;,1,;,,-1) vec(x,y,z) = -1, z > 0$ im $bb(R)^3$
|
[x, y, z] mat(1,,;,1,;,,-1) vec(x,y,z) = -1, z > 0$ im $bb(R)^3$
|
||||||
dargestellt. Der asymptotische Kegel $cal(K)$ von $cal(O)$ hat die Gleichung
|
dargestellt. Der asymptotische Kegel $cal(K)$ von $cal(O)$ hat die Gleichung
|
||||||
$cal(K) : bold(x)^t H bold(x) = 0$ und ist in der Abbildung rot gezeichnet.
|
$cal(K) : mono(x)^t H mono(x) = 0$ und ist in der Abbildung rot gezeichnet.
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||||||
])
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])
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||||||
#card(
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#card(
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||||||
question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
|
question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
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@ -1994,7 +2016,7 @@ komplexen Erweiterung?],
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||||||
answer: [
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answer: [
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||||||
Die regulären linearen Abbildungen des $bb(R)^3$, die $cal(O)$ auf sich
|
Die regulären linearen Abbildungen des $bb(R)^3$, die $cal(O)$ auf sich
|
||||||
abbilden, und ihre Vielfachen repräsentieren die hyperbolischen Abbildungen,
|
abbilden, und ihre Vielfachen repräsentieren die hyperbolischen Abbildungen,
|
||||||
wen wir sie auf $cal(O)$ beschränken und die Vielfachen der $bold(x) in
|
wen wir sie auf $cal(O)$ beschränken und die Vielfachen der $mono(x) in
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||||||
cal(O)$ als homogene Koordinatenvektoren für die Punkte des $cal(H)^2$
|
cal(O)$ als homogene Koordinatenvektoren für die Punkte des $cal(H)^2$
|
||||||
auffassen. Zu diesen linearen Abbildungen gehören under anderem Rotationen
|
auffassen. Zu diesen linearen Abbildungen gehören under anderem Rotationen
|
||||||
um die z-Achse und Spiegelungen an Ebenen durch die z-Achste.
|
um die z-Achse und Spiegelungen an Ebenen durch die z-Achste.
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||||||
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|
@ -2002,7 +2024,7 @@ komplexen Erweiterung?],
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||||||
Die hyperbolischen Abbildungen werden durch die Matrizen $A$ repräsentiert,
|
Die hyperbolischen Abbildungen werden durch die Matrizen $A$ repräsentiert,
|
||||||
für die $A^t H A = rho H$ mit $rho > 0$.
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für die $A^t H A = rho H$ mit $rho > 0$.
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||||||
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||||||
Da der Kegel $cal(K)$ durch die Gleichung $bold(x)^t rho H bold(x) = 0$
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Da der Kegel $cal(K)$ durch die Gleichung $mono(x)^t rho H mono(x) = 0$
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gegeben ist, stellen die linearen Abbildungen, die den Kegel auf sich
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gegeben ist, stellen die linearen Abbildungen, die den Kegel auf sich
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abbilden, die hyperbolischen Abbildungen dar.
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abbilden, die hyperbolischen Abbildungen dar.
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])
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])
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@ -2017,8 +2039,8 @@ Abbildungen in diesem Modell !],
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question: [Wie ist das Klein-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?],
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question: [Wie ist das Klein-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?],
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answer: [
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answer: [
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Aus dem hyperbolischen Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir durch
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Aus dem hyperbolischen Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir durch
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die Zentralprojektion $pi: bb(R)^3 \\ {bold(o)} -> {vec(bold(x), 1) |
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die Zentralprojektion $pi: bb(R)^3 \\ {mono(o)} -> {vec(mono(x), 1) |
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bold(x) in bb(R)^2}, vec(bold(x),z) |-> vec(bold(x)/z, 1)$, das Klein-Modell
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mono(x) in bb(R)^2}, vec(mono(x),z) |-> vec(mono(x)/z, 1)$, das Klein-Modell
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der hyperbolischen Ebene. Die Zentralprojektion $pi$ bildet $cal(O)$ auf die
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der hyperbolischen Ebene. Die Zentralprojektion $pi$ bildet $cal(O)$ auf die
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offene Einheitskreisscheibe $cal(D) : x^2 + y^2 < 1, z = 1$ ab.
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offene Einheitskreisscheibe $cal(D) : x^2 + y^2 < 1, z = 1$ ab.
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@ -2048,10 +2070,10 @@ Modell?],
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#card(
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#card(
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question: [Wie sind Entfernungen definiert?],
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question: [Wie sind Entfernungen definiert?],
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answer: [
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answer: [
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Eine Strecke $bold(x y)$ hat die Länge $"dist"(bold(x), bold(y)) = abs(log D
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Eine Strecke $mono(x y)$ hat die Länge $"dist"(mono(x), mono(y)) = abs(log D
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V [bold(x y) | bold(a b)])$ wobei $bold(a)$ und $bold(b)$ die Fernpunkte der
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V [mono(x y) | mono(a b)])$ wobei $mono(a)$ und $mono(b)$ die Fernpunkte der
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hyperbolischen Geraden $bold(x y)$ sind. Man beachte, dass die Vertauschung
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hyperbolischen Geraden $mono(x y)$ sind. Man beachte, dass die Vertauschung
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der Punkte $bold(a)$ und $bold(b)$ oder der Punkte $bold(x)$ und $bold(y)$ das
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der Punkte $mono(a)$ und $mono(b)$ oder der Punkte $mono(x)$ und $mono(y)$ das
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Doppelverhaltnis invertiert und daher nur das Vorzeichen seines Logarithmus
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Doppelverhaltnis invertiert und daher nur das Vorzeichen seines Logarithmus
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ändert.
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ändert.
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@ -2070,16 +2092,16 @@ Abb.?],
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question: [Wie ist eine hyperbolische Spiegelung definiert?],
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question: [Wie ist eine hyperbolische Spiegelung definiert?],
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answer: [
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answer: [
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Eine hyperbolische Spiegelung oder harmonische Homologie ist eine
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Eine hyperbolische Spiegelung oder harmonische Homologie ist eine
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hyperbolische Abbildung $bold(y) = Phi(bold(x))$ mit einer Fixpunktgeraden
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hyperbolische Abbildung $mono(y) = Phi(mono(x))$ mit einer Fixpunktgeraden
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$cal(P)$, bei der die Geraden $bold(x) union.sq Phi(bold(x))$ alle durch den
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$cal(P)$, bei der die Geraden $mono(x) union.sq Phi(mono(x))$ alle durch den
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Pol $bold(p)$ zur Polare $cal(P)$ bezüglich des Fernkreis gehen. Es sind
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Pol $mono(p)$ zur Polare $cal(P)$ bezüglich des Fernkreis gehen. Es sind
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also Perspektivitäten, die $cal(D)$ auf sich abbilden.
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also Perspektivitäten, die $cal(D)$ auf sich abbilden.
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])
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#card(
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#card(
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question: [Was muss man tun, um eine hyperbolische Spiegelung ais
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question: [Was muss man tun, um eine hyperbolische Spiegelung ais
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euklidische Spiegelung anzusehen?],
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euklidische Spiegelung anzusehen?],
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answer: [
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answer: [
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Betrachtet man den Pol $bold(p)$ als Fernpunkt einer euklidischen Ebene,
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Betrachtet man den Pol $mono(p)$ als Fernpunkt einer euklidischen Ebene,
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entspricht die hyperbolische Spiegelung einer Spiegelung der euklidischen
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entspricht die hyperbolische Spiegelung einer Spiegelung der euklidischen
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Ebene an $cal(P)$. Die Polare geht bei dieser Betrachtung durch den
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Ebene an $cal(P)$. Die Polare geht bei dieser Betrachtung durch den
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Mittelpunkt von $cal(D)$.
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Mittelpunkt von $cal(D)$.
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@ -2088,12 +2110,12 @@ euklidische Spiegelung anzusehen?],
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question: [Wie geht man vor, um zu zeigen, dass jede hyperbolische
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question: [Wie geht man vor, um zu zeigen, dass jede hyperbolische
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Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
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Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
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answer: [
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answer: [
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Bildet $Phi$ eine Gerade $cal(P)$ und einen Punkt $bold(r) in cal(P)$ auf
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Bildet $Phi$ eine Gerade $cal(P)$ und einen Punkt $mono(r) in cal(P)$ auf
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sich ab, bildet sie die Fernpunkte $bold(a)$ und $bold(b)$ von $cal(P)$ mit
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sich ab, bildet sie die Fernpunkte $mono(a)$ und $mono(b)$ von $cal(P)$ mit
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den zugehöringen Tangenten des Fernkreis auf sich ab oder vertauscht sie.
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den zugehöringen Tangenten des Fernkreis auf sich ab oder vertauscht sie.
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Sie bildet dahre auch den Pol $bold(p)$ zu $cal(P)$ und die Gerade $cal(Q)$
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Sie bildet dahre auch den Pol $mono(p)$ zu $cal(P)$ und die Gerade $cal(Q)$
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durch $bold(p)$ und $bold(r)$ auf sich ab. Da $Phi$ durch die Bilder der
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durch $mono(p)$ und $mono(r)$ auf sich ab. Da $Phi$ durch die Bilder der
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Fernpunkte von $cal(P)$ und $cal(Q)$ bestimmt ist, kann $Phi$ nur die
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Fernpunkte von $cal(P)$ und $cal(Q)$ bestimmt ist, kann $Phi$ nur die
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Identität, die Spiegelung an $cal(P)$, die an $cal(Q)$ odie die Verknüpfung
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Identität, die Spiegelung an $cal(P)$, die an $cal(Q)$ odie die Verknüpfung
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dieser beiden Spiegelungen sein.
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dieser beiden Spiegelungen sein.
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@ -2103,16 +2125,16 @@ Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
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question: [Was ist eine stereographische Projektion?],
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question: [Was ist eine stereographische Projektion?],
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answer: [
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answer: [
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Eine stereographische Projektion ist eine Zentralprojektion vom Nordpol
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Eine stereographische Projektion ist eine Zentralprojektion vom Nordpol
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$bold(n)$ einer Kugel aus auf die Tangentialebene am Südpol, die auf die
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$mono(n)$ einer Kugel aus auf die Tangentialebene am Südpol, die auf die
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Kugel beschränkt wird und eindeutig jedem Punkt der Kugel mit Ausnahme des
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Kugel beschränkt wird und eindeutig jedem Punkt der Kugel mit Ausnahme des
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Nordpols einen Punkt der Ebene zuordnet.
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Nordpols einen Punkt der Ebene zuordnet.
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Für den Nordpol erweitert man die Ebene um einen gedachten unechten Punkt
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Für den Nordpol erweitert man die Ebene um einen gedachten unechten Punkt
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$bold(k)$ und erklärt $bold(k)$ als das stereographische Bild von $bold(n)$.
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$mono(k)$ und erklärt $mono(k)$ als das stereographische Bild von $mono(n)$.
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(Durch $bold(k)$ wird die Ebene kompaktifiziert.) Die Kreise durch den
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(Durch $mono(k)$ wird die Ebene kompaktifiziert.) Die Kreise durch den
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Nordpol werden durch die stereographische Projektion auf die Geraden der
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Nordpol werden durch die stereographische Projektion auf die Geraden der
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Ebene abgebildet und ihnen eindeutig zugeordnet. Die Geraden heißen unechte
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Ebene abgebildet und ihnen eindeutig zugeordnet. Die Geraden heißen unechte
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Kreise und sind genau die Kreise, die durch $bold(k)$ gehen.
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Kreise und sind genau die Kreise, die durch $mono(k)$ gehen.
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#cetz.canvas({
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#cetz.canvas({
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import cetz.draw: *
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import cetz.draw: *
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@ -2141,7 +2163,7 @@ Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
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kreistreu?],
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kreistreu?],
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answer: [
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answer: [
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Zum Beweis der Winkeltreue, sehen wir uns zwei Tangenten der Kugel in einem
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Zum Beweis der Winkeltreue, sehen wir uns zwei Tangenten der Kugel in einem
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Punkt $bold(p)$ an und dazu die Beiden Kreise durch $bold(p)$ und $bold(n)$
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Punkt $mono(p)$ an und dazu die Beiden Kreise durch $mono(p)$ und $mono(n)$
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mit diesen Tangenten. Diese Kreise schneiden sich im Nordpol im gleichen
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mit diesen Tangenten. Diese Kreise schneiden sich im Nordpol im gleichen
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Winkel und die Tangenten im Nordpol sind parallel zu den Bildtangenten, da
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Winkel und die Tangenten im Nordpol sind parallel zu den Bildtangenten, da
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||||||
diese beiden Tangentenpaare Schnitte der beiden Kreisebenen mit den
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diese beiden Tangentenpaare Schnitte der beiden Kreisebenen mit den
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@ -2174,29 +2196,29 @@ kreistreu?],
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#card(
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#card(
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question: [Wie kann man Kreisinversionen berechnen?],
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question: [Wie kann man Kreisinversionen berechnen?],
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answer: [
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answer: [
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Invertiert man einen Punkt $bold(x)$ an einem Kreis mit Radius $r$ und
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Invertiert man einen Punkt $mono(x)$ an einem Kreis mit Radius $r$ und
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Mittelpunkt $bold(m)$ gilt für den Bildpunkt $bold(y)$: $norm(bold(x) -
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Mittelpunkt $mono(m)$ gilt für den Bildpunkt $mono(y)$: $norm(mono(x) -
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bold(m)) dot norm(bold(y) - bold(m)) = r^2$.
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mono(m)) dot norm(mono(y) - mono(m)) = r^2$.
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])
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])
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#card(
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#card(
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question: [(Warum) sind Kreisinversionen winkeltreu?],
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question: [(Warum) sind Kreisinversionen winkeltreu?],
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answer: [
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answer: [
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Eine Inversion an einem Kreis $cal(K)$ ist eine winkeltreue
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Eine Inversion an einem Kreis $cal(K)$ ist eine winkeltreue
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Kreisverwandtschaft, die $cal(K)$ punktweise auf sich und den Mittelpunkt
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Kreisverwandtschaft, die $cal(K)$ punktweise auf sich und den Mittelpunkt
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auf $bold(k)$ abbildet.
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auf $mono(k)$ abbildet.
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Daher bildet sie auch zu $cal(K)$ orthogonale Kreise auf sich ab.
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Daher bildet sie auch zu $cal(K)$ orthogonale Kreise auf sich ab.
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])
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#card(
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#card(
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question: [Warum sind Kreisinversionen Kompositionen von Ahnlichkeiten und
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question: [Warum sind Kreisinversionen Kompositionen von Ahnlichkeiten und
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Kreisinversionen?],
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Kreisinversionen?],
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answer: [
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answer: [
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(1) Eine Kreisverwandtschaft $kappa$, die den Punkt $bold(k)$ fest lässt,
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(1) Eine Kreisverwandtschaft $kappa$, die den Punkt $mono(k)$ fest lässt,
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bildet ein Quadratgitter wieder auf ein solches ab, weil sie die
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bildet ein Quadratgitter wieder auf ein solches ab, weil sie die
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einbeschriebenen Kreise auf Kreise abbildet. Somit ist sie eine Ähnlichkeit.
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einbeschriebenen Kreise auf Kreise abbildet. Somit ist sie eine Ähnlichkeit.
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(2) Bildet $kappa$ den Punkt $bold(k)$ auf einen anderen Punkt $bold(m)$ ab,
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(2) Bildet $kappa$ den Punkt $mono(k)$ auf einen anderen Punkt $mono(m)$ ab,
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betrachten wir die Inversion $iota$ an einem Kreis mit Mittelpunkt
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betrachten wir die Inversion $iota$ an einem Kreis mit Mittelpunkt
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$bold(m)$. Weil $iota compose kappa$ nach (1) eine Ähnlichkeit $alpha$ ist,
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$mono(m)$. Weil $iota compose kappa$ nach (1) eine Ähnlichkeit $alpha$ ist,
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hat auch $kappa = iota compose iota compose kappa = iota compose alpha$ die
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hat auch $kappa = iota compose iota compose kappa = iota compose alpha$ die
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behauptete Zerlegung.
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behauptete Zerlegung.
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@ -2230,7 +2252,7 @@ Modell?],
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Die hyperbolischen Abbildungen werden im Poincaré-Modell zu Abbildungen, die
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Die hyperbolischen Abbildungen werden im Poincaré-Modell zu Abbildungen, die
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den Fernkreis auf sich abbilden. insbesondere wird aus einer hyperbolischen
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den Fernkreis auf sich abbilden. insbesondere wird aus einer hyperbolischen
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Spiegelung an einer Polagen eine Inversion an einem zum Fernkreis
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Spiegelung an einer Polagen eine Inversion an einem zum Fernkreis
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orthogonalen Kreis, dessen Mittelpunkt $bold(m)$ der Pol der Spiegelung ist.
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orthogonalen Kreis, dessen Mittelpunkt $mono(m)$ der Pol der Spiegelung ist.
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#card(
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question: [Warum sind die hyperbolischen Abb. genau die
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question: [Warum sind die hyperbolischen Abb. genau die
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@ -2274,11 +2296,11 @@ Dreiecks?],
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question: [Warum ist die Winkelsumme eines hyperbolischen
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question: [Warum ist die Winkelsumme eines hyperbolischen
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Dreiecks kleiner als 180?],
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Dreiecks kleiner als 180?],
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answer: [
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answer: [
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Jedes hyperbolische Dreieck $bold(o' p' q')$ kann durch eine Spiegelung
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Jedes hyperbolische Dreieck $mono(o' p' q')$ kann durch eine Spiegelung
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(winkelerhaltend) in ein Dreieck $bold(o p q)$ überführt werden, bei dem
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(winkelerhaltend) in ein Dreieck $mono(o p q)$ überführt werden, bei dem
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z.B. $bold(o)$ Mittelpunkt der Kreisscheibe $cal(D)$ ist. Die zu dieser Ecke
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z.B. $mono(o)$ Mittelpunkt der Kreisscheibe $cal(D)$ ist. Die zu dieser Ecke
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adjazenten Kanten liegen dann auf Durchmessern der Kreisscheibe. Nur der
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adjazenten Kanten liegen dann auf Durchmessern der Kreisscheibe. Nur der
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Winkel bei $bold(o)$ entspricht dem des euklidischen Dreiecks $bold(o p q)$,
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Winkel bei $mono(o)$ entspricht dem des euklidischen Dreiecks $mono(o p q)$,
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während die beiden anderen kleiner als die entsprechenden des euklidischen
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während die beiden anderen kleiner als die entsprechenden des euklidischen
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Dreiecks sind.
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Dreiecks sind.
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