diff --git a/ggg/Makefile b/ggg/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..732c791
--- /dev/null
+++ b/ggg/Makefile
@@ -0,0 +1,15 @@
+ggg-cards.pdf: ggg-cards.typ
+ typst compile ggg-cards.typ
+
+.PHONY: dev
+dev:
+ typst watch ggg-cards.typ
+
+.PHONY: cards
+cards: ggg-cards.pdf
+ typst compile ggg-cards.typ output/{0p}-ggg-cards.svg
+ ls output | while read -r a && read -r b; do echo "
, 
"; done > geometrische-grundlagen-der-geometrieverarbeitung.csv
+
+.PHONY: install
+install: cards
+ cp output/* ~/.local/share/Anki2/Benutzer\ 1/collection.media/
diff --git a/ggg/ggg-cards.typ b/ggg/ggg-cards.typ
index b7c3da5..79496e4 100644
--- a/ggg/ggg-cards.typ
+++ b/ggg/ggg-cards.typ
@@ -12,11 +12,10 @@
* put all images from ./output in your ankis collection.media directory
*
*/
+#let EXPORT_FLASHCARD = false
-// #set page(margin: 1cm, columns: 2)
-#show heading: it => none
#set heading(numbering: "1.1")
-#set par(justify: true)
+#set text(lang: "de")
#show math.equation.where(block: false): box
@@ -34,11 +33,10 @@
return numbering(c.numbering,..counter(heading).at(c.location()))
}
-#let card(
+#let flash-card(
question: "",
answer: ""
) = [
- // #rect(width: 100%)[
#set page("a7", flipped: true, width: auto, header: [
#context {
let h = query(selector(heading.where(level: 1)).before(here())).last()
@@ -52,9 +50,26 @@
#page()[
#answer
]
- // ]
]
+#let cheatsheet-card(
+ question: "",
+ answer: ""
+) = rect(width: 100%)[
+ #strong(question)
+
+ #answer
+]
+
+#let card = if EXPORT_FLASHCARD {flash-card} else {cheatsheet-card}
+#show: doc => if not EXPORT_FLASHCARD [
+ #set page(margin: 1cm, columns: 2)
+ #doc
+] else [
+ #show heading: it => none
+ #set par(justify: true)
+ #doc
+]
/*
* Grundseite XY
@@ -1196,29 +1211,36 @@ Ebene und die zweier Geraden berechnen?],
answer: [
Gesucht: Fußpunkt $f$ und Abstand $d$
- *Punkt $p$ zu Ebene $U: d(x) = u^t x - u = 0$, sodass $f = p - d u$*:
+ Punkt $mono(p)$ zu Ebene $cal(U): d(x) = mono(u)^t mono(x) - u = 0$, sodass
+ $mono(f) = mono(p) - d mono(u)$:
$
- u^t f &= u^t p - d = u \
- => d &= u^t p - d \
- &= d(p)
+ mono(u)^t mono(f) &= mono(u)^t mono(p) - d = u \
+ => d &= mono(u)^t mono(p) - u \
+ &= d(mono(p))
$
- *Punkt $p$ zu Ebene $U: x = a + [a_2 ... a_n]y =: a + A y$, sodass $f = p - d u$*:
+ Punkt $mono(p)$ zu Ebene $cal(U): mono(x) = mono(a) + [mono(a)_2 ...
+ mono(a)_n]mono(y) =: mono(a) + A mono(y)$, sodass $mono(f) = mono(p) - d
+ mono(u)$:
$
- d = (det mat((p-a), A))/("vol"_(n-1) A)
- = (det mat((p-a), A)) / norm(a_2 and ... and a_n) \
+ d = (det mat((mono(p)-mono(a)), A))/("vol"_(n-1) A)
+ = (det mat((mono(p)-mono(a)), A)) / norm(mono(a)_2 and ... and mono(a)_n) \
- f = p - (a_2 and ... and a_n)/(norm(a_2 and ... and a_n)) d
+ mono(f) = mono(p) - (mono(a)_2 and ... and mono(a)_n)/(norm(mono(a)_2 and
+ ... and mono(a)_n)) d
$
- *Gerade $cal(A): x = a + a_1 lambda$ zu Gerade $cal(B): x = b + b_1 lambda$:*
+ Gerade $cal(A): mono(x) = mono(a) + mono(a)_1 lambda$ zu Gerade $cal(B):
+ mono(x) = mono(b) + mono(b)_1 lambda$:
$
- d = ("vol"_3 mat((b-a), a_1, b_1))/("vol"_2 mat(a_1, b_1))
+ d = ("vol"_3 mat((mono(b)-mono(a)), mono(a)_1, mono(b)_1))/("vol"_2
+ mat(mono(a)_1, mono(b)_1))
$
- Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : u^t (x - a) = 0$
+ Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : mono(u)^t (mono(x) - mono(a)) = 0$
$
- ... => f = b + b_1 (u^t (a-b)) / (u^t b_1)
+ ... => mono(f) = mono(b) + mono(b)_1 (mono(u)^t (mono(a)-mono(b))) /
+ (mono(u)^t mono(b)_1)
$
])
= Perspektivische Darstellungen
@@ -1553,14 +1575,14 @@ Ebene immer?],
#card(
question: [Wann heißt eine Punktfolge projektiv unabhängig?],
answer: [
- Die Folge $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ heißt projektiv unabhängig genau dann,
+ Die Folge $mono(p)_0 ... mono(p)_r$ heißt projektiv unabhängig genau dann,
wenn die Folge $bb(p)_0...bb(p)_r subset bb(R)^(n+15$ linear unabhängig ist.
])
#card(
question: [Wie ist die projektive Hülle von Punkten definiert?],
answer: [
- Die projektive Hülle oder der Aufspann von $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ ist der
- projektive Unterraum $ := { bold(x) | bb(x) in
+ Die projektive Hülle oder der Aufspann von $mono(p)_0 ... mono(p)_r$ ist der
+ projektive Unterraum $ := { mono(x) | bb(x) in
[bb(p)_0 .. bb(p)_r] bb(R)^(r+1) \\ { bb(o) } }$.
])
#card(
@@ -1572,25 +1594,25 @@ Ebene immer?],
sodass wir uns ganz vom $bb(R)^(n+1)$ lösen können. Wir nennen die
Koordinaten eines Punktes deshalb auch projektive Koordinaten bezüglich
eines Grundecks. Sind $x_i$ die projektiven Koordinaten eines Punkts
- $bold(x)$ bezüglich $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ schreiben wir auch
- $bold(x) = bold(p)_0 x_0 + ... + bold(p)_n x_n$.
+ $mono(x)$ bezüglich $mono(p)_0 ... mono(p)_n mono(p)$ schreiben wir auch
+ $mono(x) = mono(p)_0 x_0 + ... + mono(p)_n x_n$.
])
#card(
question: [Was ist eine projektive Skala?],
answer: [
- Seien $x_0$ und $x_1$ die projektiven Koordinaten eines Punkts $bold(x)$
- bezüglich eines Grundecks $bold(p)_0 bold(p)_1 bold(p)$. Dann bilden die
- Quotienten $x = x_1 / x_0$ für alle $bold(x) in bold(p)_0 union.sq
- bold(p)_1$ die projektive Skala bezüglich $bold(p)_0 bold(p_1) bold(p)$.
+ Seien $x_0$ und $x_1$ die projektiven Koordinaten eines Punkts $mono(x)$
+ bezüglich eines Grundecks $mono(p)_0 mono(p)_1 mono(p)$. Dann bilden die
+ Quotienten $x = x_1 / x_0$ für alle $mono(x) in mono(p)_0 union.sq
+ mono(p)_1$ die projektive Skala bezüglich $mono(p)_0 mono(p_1) mono(p)$.
])
#card(
question: [Wann ist eine projektive Skala eine affine?],
answer: [
- Ist $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ ein projektives Grundeck in einer
- projektiv erweiterten affinen Gerade mit Fernpunkt $bold(p)_1$, ist die
- porjektive Skala $x$ bezüglich $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ auch eine
- affinie Skala, die den affinen Koordinaten der Punkte $bold(x)$ bezüglich
- des affinen Koordinatensystems $bold(p)_0 (bold(p) - bold(p)_0)$ entspricht.
+ Ist $mono(p) mono(p)_0 mono(p)_1$ ein projektives Grundeck in einer
+ projektiv erweiterten affinen Gerade mit Fernpunkt $mono(p)_1$, ist die
+ porjektive Skala $x$ bezüglich $mono(p) mono(p)_0 mono(p)_1$ auch eine
+ affinie Skala, die den affinen Koordinaten der Punkte $mono(x)$ bezüglich
+ des affinen Koordinatensystems $mono(p)_0 (mono(p) - mono(p)_0)$ entspricht.
])
== Koordintentransformation
#card(
@@ -1598,8 +1620,8 @@ Ebene immer?],
Koordinaten bezüglich eines anderen Grundecks
transformiert werden?],
answer: [
- Seien $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ und $bold(q)_0 ... bold(q)_n
- bold(q)$ Grundecke des $cal(P)^n$ und sei
+ Seien $mono(p)_0 ... mono(p)_n mono(p)$ und $mono(q)_0 ... mono(q)_n
+ mono(q)$ Grundecke des $cal(P)^n$ und sei
$
bb(p) = & [ bb(p)_0 ... bb(p)_n] bb(e) = bb(P e) \
bb(q) = & [ bb(q)_0 ... bb(q)_n] bb(e) = bb(Q e) \
@@ -1607,26 +1629,26 @@ transformiert werden?],
$
Dann ist $bb(x)_q = bb(Q)^(-1) bb(P) bb(x)_p$ eine
Koordinatentransformation. Dabei repräsentiert $bb(Q)^(-1) bb(P)$ die
- Grundpunkte $bold(p)_i$ bezüglich des Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n
- bold(q)$.
+ Grundpunkte $mono(p)_i$ bezüglich des Grundecks $mono(q)_0 ... mono(q)_n
+ mono(q)$.
])
#card(
question: [Wie ändern sich bei einer Koordinatentransformation die
Koordinaten von Hyperebenen?],
answer: [
Eine Hyperebene $cal(U): bb(u)^t bb(x) = 0$ hat bezüglich des Gundecks
- $bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$ die Darstellung $bb(u)^t bb(Q) bb(x)_q =:
+ $mono(q)_0... mono(q)_n mono(q)$ die Darstellung $bb(u)^t bb(Q) bb(x)_q =:
bb(u)^t_q bb(x)_q = 0$. Also ist $bb(u)_q = bb(Q)^t bb(u)$ die
Transformation des homogenen Hyperebenen-Koordinatenvektors $bb(u)$ in den
- bezüglich des Grundecks $bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$.
+ bezüglich des Grundecks $mono(q)_0... mono(q)_n mono(q)$.
])
#card(
question: [Warum kann jede Hyperebene eines projektiven Raums
als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
answer: [
- Die Grundpunkte $bold(q)_1, ..., bold(q)_n$ liegen in der Hyperebene
+ Die Grundpunkte $mono(q)_1, ..., mono(q)_n$ liegen in der Hyperebene
$cal(U)$ genau dann, wenn $bb(u)^t_q ~ [1 0 ... 0]$. D.h. bezüglich des
- Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n bold(q)$ kann $cal(U)$ als die
+ Grundecks $mono(q)_0 ... mono(q)_n mono(q)$ kann $cal(U)$ als die
Fernhyperebene einer projektiven Erweiterung des $cal(A)^n$ aufgefasst
werden. Da $cal(U)$ eine beliebige Hyperebene ist, kann auch jede andere
Hyperebene als Fernhyperebene aufgefasst werden.
@@ -1641,22 +1663,22 @@ als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
#card(
question: [Was heißt alles dual zueinander?],
answer: [
- Ein Punkt $bold(u)$ und eine Hyperebene $cal(U)$ med dem glichen homogenen
+ Ein Punkt $mono(u)$ und eine Hyperebene $cal(U)$ med dem glichen homogenen
Koordinatenvektoren $bb(u)$ heißen dual zueinander.
])
#card(
question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des $cal(P)^n$ berechnen?],
answer: [
- Ein Unterraum $cal(A) := bold(a)_0 union.sq ... union.sq bold(a)_k subset
+ Ein Unterraum $cal(A) := mono(a)_0 union.sq ... union.sq mono(a)_k subset
cal(P)$ geht beim Dualisieren in den Unterraum $cal(A)^* := cal(A)_0
union.sq ... union.sq cal(A)_k subset cal(P)^*$ über, aber meist stellt man
den Unterraum $cal(A)^*$ durch den polaren Unterraum $cal(A)̧̃° := cal(A)_0 inter
... inter cal(A)_k subset cal(P)$ dar und bezeichnet auch $cal(A)°$ als den
zu $cal(A)$ dualen Unterraum.
- Die Hyperebene $cal(U) = bold(a)_1 union.sq ... union.sq bold(a)_n : bb(u)^t
+ Die Hyperebene $cal(U) = mono(a)_1 union.sq ... union.sq mono(a)_n : bb(u)^t
= [bb(a)_1 and ... and bb(a)_n]^t$ ist dual zum Punkt $cal(U)^* = cal(A)_1
- inter.sq ... inter.sq cal(A)_n = { bold(u)}: bb(u) = bb(a)_1 and ... and
+ inter.sq ... inter.sq cal(A)_n = { mono(u)}: bb(u) = bb(a)_1 and ... and
bb(a)_n$.
])
== Projektive Abbildungen
@@ -1665,8 +1687,8 @@ als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
answer: [
Jede lineare Abbildung $phi : bb(R)^(m+1) -> bb(R)^(n+1), bb(x) |-> bb(A
x)$, induziert eine projektive Abbildung $Phi: cal(P)^m -> cal(P)^n$, die
- durch die gleiche Matrix $bb(A)$ wie $phi$ dargestellt wird: $bold(y) =
- Phi(bold(x)) : bb(A x) = [bb(a)_0 .. bb(a)_m] bb(x)$.
+ durch die gleiche Matrix $bb(A)$ wie $phi$ dargestellt wird: $mono(y) =
+ Phi(mono(x)) : bb(A x) = [bb(a)_0 .. bb(a)_m] bb(x)$.
Dabei repräsentieren die Koordinatenvektoren $bb(a)_0...bb(a)_m (bb(a)_0 +
... bb(a)_m)$ die Bilder des Koordinaten-Grundecks.
@@ -1688,10 +1710,10 @@ und wie ist er definiert?],
Unterraum $cal(U)$ ohne den Ausnahmeraum auf einen projektiven Unterraum ab:
$Phi: cal(U) \\ cal(A)_Phi |-> Phi(cal(U) \\ cal(A)_Phi)$.
- Zu zwei Grundecken $bold(p)_0...bold(p)_n bold(p)$ und
- $bold(q)_0...bold(q)_n bold(q)$ zweier projektiver Räume gibt es genau eine
+ Zu zwei Grundecken $mono(p)_0...mono(p)_n mono(p)$ und
+ $mono(q)_0...mono(q)_n mono(q)$ zweier projektiver Räume gibt es genau eine
Projektivität $Phi$, die das erste auf das zweite abbildet, d.h. die
- $Phi(bold(p)_i) = bold(q)_i$ und $Phi(bold(p)) = bold(q)$ erfüllt.
+ $Phi(mono(p)_i) = mono(q)_i$ und $Phi(mono(p)) = mono(q)$ erfüllt.
])
== Kollineationen und Korrelationen
#card(
@@ -1735,7 +1757,7 @@ darstellen?],
#card(
question: [Was ist das Doppelverhältnis?],
answer: [
- Hier betrachen wir vier Punkte $bold(a), bold(b), bold(x)$ und $bold(y)$
+ Hier betrachen wir vier Punkte $mono(a), mono(b), mono(x)$ und $mono(y)$
einer Geraden mit den projektiven Skalenwerten $alpha, beta, xi$ und $eta$
bzgl. irgendeines Grundecks.
@@ -1747,23 +1769,23 @@ darstellen?],
circle((1,0), radius: .08, fill: white)
content((), $alpha$, padding: .2, anchor: "south")
- content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
+ content((), $mono(a)$, padding: .2, anchor: "north")
circle((2,0), radius: .08, fill: white)
content((), $eta$, padding: .2, anchor: "south")
- content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
+ content((), $mono(y)$, padding: .2, anchor: "north")
circle((3.5,0), radius: .08, fill: white)
content((), $beta$, padding: .2, anchor: "south")
- content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
+ content((), $mono(b)$, padding: .2, anchor: "north")
circle((4.5,0), radius: .08, fill: white)
content((), $xi$, padding: .2, anchor: "south")
- content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
+ content((), $mono(x)$, padding: .2, anchor: "north")
})
- Das Doppelverhaltnis der Punktpaare $bold(x y)$ und $bold(a b)$ ist der Wert
- $delta = D V [bold(x y) | bold(a b)] := (xi - alpha) / (xi - beta) : (eta -
+ Das Doppelverhaltnis der Punktpaare $mono(x y)$ und $mono(a b)$ ist der Wert
+ $delta = D V [mono(x y) | mono(a b)] := (xi - alpha) / (xi - beta) : (eta -
alpha) / (eta - beta)$.
])
@@ -1772,7 +1794,7 @@ darstellen?],
answer: [
Weil die Matrix einer projektiven Abbildung $Phi$ die Einheitsmatrix ist,
wenn wir sie für die Urbild- und Bildkoordinaten bezüglich des Grundecks
- $bold(a b y)$ bzw $Phi(bold(a)) Phi(bold(b)) Phi(bold(y))$ beschreiben,
+ $mono(a b y)$ bzw $Phi(mono(a)) Phi(mono(b)) Phi(mono(y))$ beschreiben,
ändern projektive Abbildungen Doppelverhältnisse nicht. Doppelverhälnisse
treten daher im projektiven Raum an die Stelle der Teilverhaltnisse, da
letztere nur affine Invarientan sind.
@@ -1780,17 +1802,17 @@ darstellen?],
#card(
question: [Was ist das harmonische Doppelverhältnis?],
answer: [
- Für das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ liegen $bold(x y)$ und
- $bold(a b)$ in harmonischer Lage.
+ Für das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ liegen $mono(x y)$ und
+ $mono(a b)$ in harmonischer Lage.
])
#card(
question: [Was bedeutet harmonische Lage von vier kollinearen
Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
answer: [
- Für $delta = - 1$ liegen $bold(x y)$ und $bold(a b)$ in harmonischer Lage.
+ Für $delta = - 1$ liegen $mono(x y)$ und $mono(a b)$ in harmonischer Lage.
- Ist $bold(b)$ ein Fernpunkt, ist $delta$ eine affine Skala und für $delta =
- -1$ ist $bold(a) = (bold(x) + bold(y)) /2$.
+ Ist $mono(b)$ ein Fernpunkt, ist $delta$ eine affine Skala und für $delta =
+ -1$ ist $mono(a) = (mono(x) + mono(y)) /2$.
#cetz.canvas({
@@ -1801,27 +1823,27 @@ Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
circle((0.5,0), radius: .08, fill: white)
content((), $-1$, padding: .2, anchor: "south")
- content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
+ content((), $mono(x)$, padding: .2, anchor: "north")
circle((1.5,0), radius: .08, fill: white)
content((), $0$, padding: .2, anchor: "south")
- content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
+ content((), $mono(a)$, padding: .2, anchor: "north")
circle((2.5,0), radius: .08, fill: white)
content((), $1$, padding: .2, anchor: "south")
- content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
+ content((), $mono(y)$, padding: .2, anchor: "north")
line((5,0), (6, 0), mark: (end: ">"))
content((), $oo$, padding: .2, anchor: "south")
- content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
+ content((), $mono(b)$, padding: .2, anchor: "north")
})
])
#card(
question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmonische Verhältnis invariant?],
answer: [
Das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ ist invariant gegenüber den
- Vertauschungen $bold(x) <-> bold(y), bold(x y) <-> bold(a b), bold(a) <->
- bold(b)$.
+ Vertauschungen $mono(x) <-> mono(y), mono(x y) <-> mono(a b), mono(a) <->
+ mono(b)$.
])
== Die duale Abbildung
#card(
@@ -1829,7 +1851,7 @@ Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
answer: [
Sei $Phi: cal(X) -> cal(Y), bb(x) |-> bb(A x)$ eine projektive Abbildung.
NUter ihr hat eine Hyperebene $cal(V): bb(v)^t bb(y) = 0$ von $cal(Y)$ das
- Urbild $Phi^- cal(V) = { bold(x) in cal(X) | bb(v)^t bb(A x) = 0} : bb(u)^t
+ Urbild $Phi^- cal(V) = { mono(x) in cal(X) | bb(v)^t bb(A x) = 0} : bb(u)^t
= bb(v)^t bb(A)$. Die Abbildung $Phi^* : cal(Y)^* -> cal(X)^*, bb(v)^t |->
bb(A)^t bb(v)$ ist die duale Abbildung zu $Phi$. Ist sie bijektiv, bildet
ihre Inverse jede Hyperebene $cal(U)$ auf die Hyperebene $cal(V)$ ab, in die
@@ -1842,14 +1864,14 @@ Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
#card(
question: [Was ist eine Quadrik?],
answer: [
- Eine Quadrik im $cal(P)^n$ besteht aus den Punkten $bold(x)$, deren homogene
- Koordinatenvektioren $bb(x)^t = [epsilon, bold(x)^t] x_0$ eine quadratische
+ Eine Quadrik im $cal(P)^n$ besteht aus den Punkten $mono(x)$, deren homogene
+ Koordinatenvektioren $bb(x)^t = [epsilon, mono(x)^t] x_0$ eine quadratische
Gleichung erfüllen:
$
cal(Q)(bb(x)) &= bb(x)^t bb(Q x) \
- &= [epsilon x_0, bold(x)^t x_0] mat(q, bold(q)^t; bold(q), Q)
- vec(epsilon x_0, bold(x) x_0) \
- &~ bold(x)^t Q bold(x) + 2 epsilon bold(q)^t bold(x) + q epsilon^2 \
+ &= [epsilon x_0, mono(x)^t x_0] mat(q, mono(q)^t; mono(q), Q)
+ vec(epsilon x_0, mono(x) x_0) \
+ &~ mono(x)^t Q mono(x) + 2 epsilon mono(q)^t mono(x) + q epsilon^2 \
&= 0
$
@@ -1881,11 +1903,11 @@ projektiven Quadrik?],
question: [Wie berechnet man die Tangentenquadrik einer Quadrik?],
answer: [
Um die Tangentialebenen (genauer Tangentialhyperebenen) einer Quadrik
- $cal(Q)$ zu bestimmen, betrachten wir zunächst einen Punkt $bold(p)$ der
+ $cal(Q)$ zu bestimmen, betrachten wir zunächst einen Punkt $mono(p)$ der
Quadrik $cal(Q)$ und einer Geraden $cal(T): bb(x) = bb(p) + bb(q) lambda$
des $cal(P)^n$. (Dabei stellt $lambda = lambda_1 / lambda_0$ eine projektive
Skala auf $cal(T) : bb(x) = bb(p) lambda_0 + bb(q) lambda_1$ dar.) Nur wenn
- die Gerade $cal(T)$ die Quadrik allein im Punkt $bold(p)$ berührt oder ganz
+ die Gerade $cal(T)$ die Quadrik allein im Punkt $mono(p)$ berührt oder ganz
auf der Quadrik liegt ist sie eine Tangente. Folglich ist $cal(T)$ Tangente
genau dann, wenn die quadratische Gleichung
$
@@ -1896,26 +1918,26 @@ projektiven Quadrik?],
$
eine doppelte Nullstelle $lambda = 0$ hat. Somit ist $cal(T)$ Tangente von
$cal(Q)$ genau dann, wenn $bb(p)^t bb(Q q) = 0$. Weiter folgt, dass die
- Tangentialebene von $cal(Q)$ in $bold(p)$ die Qleichung $bb(u)^t bb(x) =
+ Tangentialebene von $cal(Q)$ in $mono(p)$ die Qleichung $bb(u)^t bb(x) =
bb(q)^t bb(Q x) = 0$ hat.
])
#card(
question: [Was sind Polarebenen?],
answer: [
- Für einen beliebigen Punkt $bold(p) in cal(P)^n$, definiert die Gleicuhng
+ Für einen beliebigen Punkt $mono(p) in cal(P)^n$, definiert die Gleicuhng
$bb(p)^t bb(Q x) = 0$ die Polarebene (oder eigentlich Polarhyperebene)
- $cal(P)(bold(p), cal(Q))$ von $bold(p)$ bezüglich $cal(Q)$, sofern $bold(p)$
- kein singulärer Punkt ist. Sie schneidet $cal(Q)$ in den Punkten $bold(x)$,
- deren Tangentialebenen $cal(T) lt.tri bb(Q x)$ auch durch $bold(p)$ gehen.
- Liegt $bold(p)$ auf $cal(Q)$, ist die Polarebene die Tangentialebene von
- $cal(Q)$ in $bold(p)$.
+ $cal(P)(mono(p), cal(Q))$ von $mono(p)$ bezüglich $cal(Q)$, sofern $mono(p)$
+ kein singulärer Punkt ist. Sie schneidet $cal(Q)$ in den Punkten $mono(x)$,
+ deren Tangentialebenen $cal(T) lt.tri bb(Q x)$ auch durch $mono(p)$ gehen.
+ Liegt $mono(p)$ auf $cal(Q)$, ist die Polarebene die Tangentialebene von
+ $cal(Q)$ in $mono(p)$.
])
#card(
question: [Was bilden die Tangentialebenen einer Quadrik?],
answer: [
Auch die Tangentialebenen einer Quadrik $cal(Q)$ bilden eine Quadrik im
Dualraum. Dazu macht man sich klar, dass ein $bb(u)$ eine Tangentialebene
- von $cal(Q)$ in einem Punkt $bold(p)$ von $cal(Q)$ darstellt, falls das
+ von $cal(Q)$ in einem Punkt $mono(p)$ von $cal(Q)$ darstellt, falls das
homogene lineare Gleichungssystem
$
bb(Q p) - bb(u) rho &= bb(o) \
@@ -1931,7 +1953,7 @@ projektiven Quadrik?],
Ist die Matirx $bb(Q)$ regulär, heißt die Korrelation $bb(x) |-> bb(x)^t
bb(Q)$ die Polarität bezüglich $cal(Q)$. Sie bildet die Punkte von $cal(Q)$
auf die zugehörigen Tangentialebenen ab und $cal(Q)$ auf die duale Quadrik
- $cal(Q)^*$, deren Punkte $bold(u) lt.tri bb(u) := bb(Q x)$ die Gleichung
+ $cal(Q)^*$, deren Punkte $mono(u) lt.tri bb(u) := bb(Q x)$ die Gleichung
$bb(u)^t bb(Q)^(-1) bb(u) = 0$ erfüllen. Polaritäten sind also Korrelationen
oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix.
])
@@ -1943,7 +1965,7 @@ projektiven Quadrik?],
#card(
question: [Was bedeutet dies für den Begriff der Dualitat?],
answer: [
- Bsp. Die Dualität $bold(x) |-> cal(X)$ ist die Polarität zur leeren
+ Bsp. Die Dualität $mono(x) |-> cal(X)$ ist die Polarität zur leeren
regulären Quadrik $cal(Q) lt.tri bb(E)$.
])
== Harmonische Punkte und Polaritat
@@ -1961,7 +1983,7 @@ und y die Schnittpunkte der Geraden pq mit Q sind?],
Mit einer reellen Koordinatentransformation kann die Gleichung einer Quadrik
$cal(Q)$ in die Normalform $y_0^2 + ... + y_r^2 - y_(r+1)^2 - ... -
y_(r+s)^2 = 0$ und anschließend mid der komplexen Koordinatentransformation
- $bb(y) = "diag"(1 ... bold(1) i ... i) bb(z)$ in die Normalform $z_0^2 + ... +
+ $bb(y) = "diag"(1 ... mono(1) i ... i) bb(z)$ in die Normalform $z_0^2 + ... +
z_(r+s)^2 = 0$ überführt werden.
])
#card(
@@ -1977,10 +1999,10 @@ komplexen Erweiterung?],
question: [Erklaren Sie das hyperbolische Modell der hyperbolischen Ebene !],
answer: [
Im hyperbolischen Modell wird ie hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ durch die
- obere Schale des zweischaligen Hyperboloids $cal(O) : bold(x)^t H bold(x) =
+ obere Schale des zweischaligen Hyperboloids $cal(O) : mono(x)^t H mono(x) =
[x, y, z] mat(1,,;,1,;,,-1) vec(x,y,z) = -1, z > 0$ im $bb(R)^3$
dargestellt. Der asymptotische Kegel $cal(K)$ von $cal(O)$ hat die Gleichung
- $cal(K) : bold(x)^t H bold(x) = 0$ und ist in der Abbildung rot gezeichnet.
+ $cal(K) : mono(x)^t H mono(x) = 0$ und ist in der Abbildung rot gezeichnet.
])
#card(
question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
@@ -1994,7 +2016,7 @@ komplexen Erweiterung?],
answer: [
Die regulären linearen Abbildungen des $bb(R)^3$, die $cal(O)$ auf sich
abbilden, und ihre Vielfachen repräsentieren die hyperbolischen Abbildungen,
- wen wir sie auf $cal(O)$ beschränken und die Vielfachen der $bold(x) in
+ wen wir sie auf $cal(O)$ beschränken und die Vielfachen der $mono(x) in
cal(O)$ als homogene Koordinatenvektoren für die Punkte des $cal(H)^2$
auffassen. Zu diesen linearen Abbildungen gehören under anderem Rotationen
um die z-Achse und Spiegelungen an Ebenen durch die z-Achste.
@@ -2002,7 +2024,7 @@ komplexen Erweiterung?],
Die hyperbolischen Abbildungen werden durch die Matrizen $A$ repräsentiert,
für die $A^t H A = rho H$ mit $rho > 0$.
- Da der Kegel $cal(K)$ durch die Gleichung $bold(x)^t rho H bold(x) = 0$
+ Da der Kegel $cal(K)$ durch die Gleichung $mono(x)^t rho H mono(x) = 0$
gegeben ist, stellen die linearen Abbildungen, die den Kegel auf sich
abbilden, die hyperbolischen Abbildungen dar.
])
@@ -2017,8 +2039,8 @@ Abbildungen in diesem Modell !],
question: [Wie ist das Klein-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?],
answer: [
Aus dem hyperbolischen Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir durch
- die Zentralprojektion $pi: bb(R)^3 \\ {bold(o)} -> {vec(bold(x), 1) |
- bold(x) in bb(R)^2}, vec(bold(x),z) |-> vec(bold(x)/z, 1)$, das Klein-Modell
+ die Zentralprojektion $pi: bb(R)^3 \\ {mono(o)} -> {vec(mono(x), 1) |
+ mono(x) in bb(R)^2}, vec(mono(x),z) |-> vec(mono(x)/z, 1)$, das Klein-Modell
der hyperbolischen Ebene. Die Zentralprojektion $pi$ bildet $cal(O)$ auf die
offene Einheitskreisscheibe $cal(D) : x^2 + y^2 < 1, z = 1$ ab.
])
@@ -2048,10 +2070,10 @@ Modell?],
#card(
question: [Wie sind Entfernungen definiert?],
answer: [
- Eine Strecke $bold(x y)$ hat die Länge $"dist"(bold(x), bold(y)) = abs(log D
- V [bold(x y) | bold(a b)])$ wobei $bold(a)$ und $bold(b)$ die Fernpunkte der
- hyperbolischen Geraden $bold(x y)$ sind. Man beachte, dass die Vertauschung
- der Punkte $bold(a)$ und $bold(b)$ oder der Punkte $bold(x)$ und $bold(y)$ das
+ Eine Strecke $mono(x y)$ hat die Länge $"dist"(mono(x), mono(y)) = abs(log D
+ V [mono(x y) | mono(a b)])$ wobei $mono(a)$ und $mono(b)$ die Fernpunkte der
+ hyperbolischen Geraden $mono(x y)$ sind. Man beachte, dass die Vertauschung
+ der Punkte $mono(a)$ und $mono(b)$ oder der Punkte $mono(x)$ und $mono(y)$ das
Doppelverhaltnis invertiert und daher nur das Vorzeichen seines Logarithmus
ändert.
@@ -2070,16 +2092,16 @@ Abb.?],
question: [Wie ist eine hyperbolische Spiegelung definiert?],
answer: [
Eine hyperbolische Spiegelung oder harmonische Homologie ist eine
- hyperbolische Abbildung $bold(y) = Phi(bold(x))$ mit einer Fixpunktgeraden
- $cal(P)$, bei der die Geraden $bold(x) union.sq Phi(bold(x))$ alle durch den
- Pol $bold(p)$ zur Polare $cal(P)$ bezüglich des Fernkreis gehen. Es sind
+ hyperbolische Abbildung $mono(y) = Phi(mono(x))$ mit einer Fixpunktgeraden
+ $cal(P)$, bei der die Geraden $mono(x) union.sq Phi(mono(x))$ alle durch den
+ Pol $mono(p)$ zur Polare $cal(P)$ bezüglich des Fernkreis gehen. Es sind
also Perspektivitäten, die $cal(D)$ auf sich abbilden.
])
#card(
question: [Was muss man tun, um eine hyperbolische Spiegelung ais
euklidische Spiegelung anzusehen?],
answer: [
- Betrachtet man den Pol $bold(p)$ als Fernpunkt einer euklidischen Ebene,
+ Betrachtet man den Pol $mono(p)$ als Fernpunkt einer euklidischen Ebene,
entspricht die hyperbolische Spiegelung einer Spiegelung der euklidischen
Ebene an $cal(P)$. Die Polare geht bei dieser Betrachtung durch den
Mittelpunkt von $cal(D)$.
@@ -2088,12 +2110,12 @@ euklidische Spiegelung anzusehen?],
question: [Wie geht man vor, um zu zeigen, dass jede hyperbolische
Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
answer: [
- Bildet $Phi$ eine Gerade $cal(P)$ und einen Punkt $bold(r) in cal(P)$ auf
- sich ab, bildet sie die Fernpunkte $bold(a)$ und $bold(b)$ von $cal(P)$ mit
+ Bildet $Phi$ eine Gerade $cal(P)$ und einen Punkt $mono(r) in cal(P)$ auf
+ sich ab, bildet sie die Fernpunkte $mono(a)$ und $mono(b)$ von $cal(P)$ mit
den zugehöringen Tangenten des Fernkreis auf sich ab oder vertauscht sie.
- Sie bildet dahre auch den Pol $bold(p)$ zu $cal(P)$ und die Gerade $cal(Q)$
- durch $bold(p)$ und $bold(r)$ auf sich ab. Da $Phi$ durch die Bilder der
+ Sie bildet dahre auch den Pol $mono(p)$ zu $cal(P)$ und die Gerade $cal(Q)$
+ durch $mono(p)$ und $mono(r)$ auf sich ab. Da $Phi$ durch die Bilder der
Fernpunkte von $cal(P)$ und $cal(Q)$ bestimmt ist, kann $Phi$ nur die
Identität, die Spiegelung an $cal(P)$, die an $cal(Q)$ odie die Verknüpfung
dieser beiden Spiegelungen sein.
@@ -2103,16 +2125,16 @@ Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
question: [Was ist eine stereographische Projektion?],
answer: [
Eine stereographische Projektion ist eine Zentralprojektion vom Nordpol
- $bold(n)$ einer Kugel aus auf die Tangentialebene am Südpol, die auf die
+ $mono(n)$ einer Kugel aus auf die Tangentialebene am Südpol, die auf die
Kugel beschränkt wird und eindeutig jedem Punkt der Kugel mit Ausnahme des
Nordpols einen Punkt der Ebene zuordnet.
Für den Nordpol erweitert man die Ebene um einen gedachten unechten Punkt
- $bold(k)$ und erklärt $bold(k)$ als das stereographische Bild von $bold(n)$.
- (Durch $bold(k)$ wird die Ebene kompaktifiziert.) Die Kreise durch den
+ $mono(k)$ und erklärt $mono(k)$ als das stereographische Bild von $mono(n)$.
+ (Durch $mono(k)$ wird die Ebene kompaktifiziert.) Die Kreise durch den
Nordpol werden durch die stereographische Projektion auf die Geraden der
Ebene abgebildet und ihnen eindeutig zugeordnet. Die Geraden heißen unechte
- Kreise und sind genau die Kreise, die durch $bold(k)$ gehen.
+ Kreise und sind genau die Kreise, die durch $mono(k)$ gehen.
#cetz.canvas({
import cetz.draw: *
@@ -2141,7 +2163,7 @@ Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
kreistreu?],
answer: [
Zum Beweis der Winkeltreue, sehen wir uns zwei Tangenten der Kugel in einem
- Punkt $bold(p)$ an und dazu die Beiden Kreise durch $bold(p)$ und $bold(n)$
+ Punkt $mono(p)$ an und dazu die Beiden Kreise durch $mono(p)$ und $mono(n)$
mit diesen Tangenten. Diese Kreise schneiden sich im Nordpol im gleichen
Winkel und die Tangenten im Nordpol sind parallel zu den Bildtangenten, da
diese beiden Tangentenpaare Schnitte der beiden Kreisebenen mit den
@@ -2174,29 +2196,29 @@ kreistreu?],
#card(
question: [Wie kann man Kreisinversionen berechnen?],
answer: [
- Invertiert man einen Punkt $bold(x)$ an einem Kreis mit Radius $r$ und
- Mittelpunkt $bold(m)$ gilt für den Bildpunkt $bold(y)$: $norm(bold(x) -
- bold(m)) dot norm(bold(y) - bold(m)) = r^2$.
+ Invertiert man einen Punkt $mono(x)$ an einem Kreis mit Radius $r$ und
+ Mittelpunkt $mono(m)$ gilt für den Bildpunkt $mono(y)$: $norm(mono(x) -
+ mono(m)) dot norm(mono(y) - mono(m)) = r^2$.
])
#card(
question: [(Warum) sind Kreisinversionen winkeltreu?],
answer: [
Eine Inversion an einem Kreis $cal(K)$ ist eine winkeltreue
Kreisverwandtschaft, die $cal(K)$ punktweise auf sich und den Mittelpunkt
- auf $bold(k)$ abbildet.
+ auf $mono(k)$ abbildet.
Daher bildet sie auch zu $cal(K)$ orthogonale Kreise auf sich ab.
])
#card(
question: [Warum sind Kreisinversionen Kompositionen von Ahnlichkeiten und
Kreisinversionen?],
answer: [
- (1) Eine Kreisverwandtschaft $kappa$, die den Punkt $bold(k)$ fest lässt,
+ (1) Eine Kreisverwandtschaft $kappa$, die den Punkt $mono(k)$ fest lässt,
bildet ein Quadratgitter wieder auf ein solches ab, weil sie die
einbeschriebenen Kreise auf Kreise abbildet. Somit ist sie eine Ähnlichkeit.
- (2) Bildet $kappa$ den Punkt $bold(k)$ auf einen anderen Punkt $bold(m)$ ab,
+ (2) Bildet $kappa$ den Punkt $mono(k)$ auf einen anderen Punkt $mono(m)$ ab,
betrachten wir die Inversion $iota$ an einem Kreis mit Mittelpunkt
- $bold(m)$. Weil $iota compose kappa$ nach (1) eine Ähnlichkeit $alpha$ ist,
+ $mono(m)$. Weil $iota compose kappa$ nach (1) eine Ähnlichkeit $alpha$ ist,
hat auch $kappa = iota compose iota compose kappa = iota compose alpha$ die
behauptete Zerlegung.
])
@@ -2230,7 +2252,7 @@ Modell?],
Die hyperbolischen Abbildungen werden im Poincaré-Modell zu Abbildungen, die
den Fernkreis auf sich abbilden. insbesondere wird aus einer hyperbolischen
Spiegelung an einer Polagen eine Inversion an einem zum Fernkreis
- orthogonalen Kreis, dessen Mittelpunkt $bold(m)$ der Pol der Spiegelung ist.
+ orthogonalen Kreis, dessen Mittelpunkt $mono(m)$ der Pol der Spiegelung ist.
])
#card(
question: [Warum sind die hyperbolischen Abb. genau die
@@ -2274,11 +2296,11 @@ Dreiecks?],
question: [Warum ist die Winkelsumme eines hyperbolischen
Dreiecks kleiner als 180?],
answer: [
- Jedes hyperbolische Dreieck $bold(o' p' q')$ kann durch eine Spiegelung
- (winkelerhaltend) in ein Dreieck $bold(o p q)$ überführt werden, bei dem
- z.B. $bold(o)$ Mittelpunkt der Kreisscheibe $cal(D)$ ist. Die zu dieser Ecke
+ Jedes hyperbolische Dreieck $mono(o' p' q')$ kann durch eine Spiegelung
+ (winkelerhaltend) in ein Dreieck $mono(o p q)$ überführt werden, bei dem
+ z.B. $mono(o)$ Mittelpunkt der Kreisscheibe $cal(D)$ ist. Die zu dieser Ecke
adjazenten Kanten liegen dann auf Durchmessern der Kreisscheibe. Nur der
- Winkel bei $bold(o)$ entspricht dem des euklidischen Dreiecks $bold(o p q)$,
+ Winkel bei $mono(o)$ entspricht dem des euklidischen Dreiecks $mono(o p q)$,
während die beiden anderen kleiner als die entsprechenden des euklidischen
Dreiecks sind.
])