feat(ggg): variable to switch between exporting to cheatsheet or flashcard
This commit is contained in:
parent
07b5af5a17
commit
9014a44ec0
15
ggg/Makefile
Normal file
15
ggg/Makefile
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,15 @@
|
|||
ggg-cards.pdf: ggg-cards.typ
|
||||
typst compile ggg-cards.typ
|
||||
|
||||
.PHONY: dev
|
||||
dev:
|
||||
typst watch ggg-cards.typ
|
||||
|
||||
.PHONY: cards
|
||||
cards: ggg-cards.pdf
|
||||
typst compile ggg-cards.typ output/{0p}-ggg-cards.svg
|
||||
ls output | while read -r a && read -r b; do echo "<img src='$a'/>, <img src='$b'/>"; done > geometrische-grundlagen-der-geometrieverarbeitung.csv
|
||||
|
||||
.PHONY: install
|
||||
install: cards
|
||||
cp output/* ~/.local/share/Anki2/Benutzer\ 1/collection.media/
|
||||
|
|
@ -12,11 +12,10 @@
|
|||
* put all images from ./output in your ankis collection.media directory
|
||||
*
|
||||
*/
|
||||
#let EXPORT_FLASHCARD = false
|
||||
|
||||
// #set page(margin: 1cm, columns: 2)
|
||||
#show heading: it => none
|
||||
#set heading(numbering: "1.1")
|
||||
#set par(justify: true)
|
||||
#set text(lang: "de")
|
||||
|
||||
#show math.equation.where(block: false): box
|
||||
|
||||
|
|
@ -34,11 +33,10 @@
|
|||
return numbering(c.numbering,..counter(heading).at(c.location()))
|
||||
}
|
||||
|
||||
#let card(
|
||||
#let flash-card(
|
||||
question: "",
|
||||
answer: ""
|
||||
) = [
|
||||
// #rect(width: 100%)[
|
||||
#set page("a7", flipped: true, width: auto, header: [
|
||||
#context {
|
||||
let h = query(selector(heading.where(level: 1)).before(here())).last()
|
||||
|
|
@ -52,9 +50,26 @@
|
|||
#page()[
|
||||
#answer
|
||||
]
|
||||
// ]
|
||||
]
|
||||
|
||||
#let cheatsheet-card(
|
||||
question: "",
|
||||
answer: ""
|
||||
) = rect(width: 100%)[
|
||||
#strong(question)
|
||||
|
||||
#answer
|
||||
]
|
||||
|
||||
#let card = if EXPORT_FLASHCARD {flash-card} else {cheatsheet-card}
|
||||
#show: doc => if not EXPORT_FLASHCARD [
|
||||
#set page(margin: 1cm, columns: 2)
|
||||
#doc
|
||||
] else [
|
||||
#show heading: it => none
|
||||
#set par(justify: true)
|
||||
#doc
|
||||
]
|
||||
|
||||
/*
|
||||
* Grundseite XY
|
||||
|
|
@ -1196,29 +1211,36 @@ Ebene und die zweier Geraden berechnen?],
|
|||
answer: [
|
||||
Gesucht: Fußpunkt $f$ und Abstand $d$
|
||||
|
||||
*Punkt $p$ zu Ebene $U: d(x) = u^t x - u = 0$, sodass $f = p - d u$*:
|
||||
Punkt $mono(p)$ zu Ebene $cal(U): d(x) = mono(u)^t mono(x) - u = 0$, sodass
|
||||
$mono(f) = mono(p) - d mono(u)$:
|
||||
$
|
||||
u^t f &= u^t p - d = u \
|
||||
=> d &= u^t p - d \
|
||||
&= d(p)
|
||||
mono(u)^t mono(f) &= mono(u)^t mono(p) - d = u \
|
||||
=> d &= mono(u)^t mono(p) - u \
|
||||
&= d(mono(p))
|
||||
$
|
||||
|
||||
*Punkt $p$ zu Ebene $U: x = a + [a_2 ... a_n]y =: a + A y$, sodass $f = p - d u$*:
|
||||
Punkt $mono(p)$ zu Ebene $cal(U): mono(x) = mono(a) + [mono(a)_2 ...
|
||||
mono(a)_n]mono(y) =: mono(a) + A mono(y)$, sodass $mono(f) = mono(p) - d
|
||||
mono(u)$:
|
||||
$
|
||||
d = (det mat((p-a), A))/("vol"_(n-1) A)
|
||||
= (det mat((p-a), A)) / norm(a_2 and ... and a_n) \
|
||||
d = (det mat((mono(p)-mono(a)), A))/("vol"_(n-1) A)
|
||||
= (det mat((mono(p)-mono(a)), A)) / norm(mono(a)_2 and ... and mono(a)_n) \
|
||||
|
||||
f = p - (a_2 and ... and a_n)/(norm(a_2 and ... and a_n)) d
|
||||
mono(f) = mono(p) - (mono(a)_2 and ... and mono(a)_n)/(norm(mono(a)_2 and
|
||||
... and mono(a)_n)) d
|
||||
$
|
||||
|
||||
*Gerade $cal(A): x = a + a_1 lambda$ zu Gerade $cal(B): x = b + b_1 lambda$:*
|
||||
Gerade $cal(A): mono(x) = mono(a) + mono(a)_1 lambda$ zu Gerade $cal(B):
|
||||
mono(x) = mono(b) + mono(b)_1 lambda$:
|
||||
$
|
||||
d = ("vol"_3 mat((b-a), a_1, b_1))/("vol"_2 mat(a_1, b_1))
|
||||
d = ("vol"_3 mat((mono(b)-mono(a)), mono(a)_1, mono(b)_1))/("vol"_2
|
||||
mat(mono(a)_1, mono(b)_1))
|
||||
$
|
||||
|
||||
Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : u^t (x - a) = 0$
|
||||
Der Fußpunkt liegt in der Ebene $cal(E) : mono(u)^t (mono(x) - mono(a)) = 0$
|
||||
$
|
||||
... => f = b + b_1 (u^t (a-b)) / (u^t b_1)
|
||||
... => mono(f) = mono(b) + mono(b)_1 (mono(u)^t (mono(a)-mono(b))) /
|
||||
(mono(u)^t mono(b)_1)
|
||||
$
|
||||
])
|
||||
= Perspektivische Darstellungen
|
||||
|
|
@ -1553,14 +1575,14 @@ Ebene immer?],
|
|||
#card(
|
||||
question: [Wann heißt eine Punktfolge projektiv unabhängig?],
|
||||
answer: [
|
||||
Die Folge $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ heißt projektiv unabhängig genau dann,
|
||||
Die Folge $mono(p)_0 ... mono(p)_r$ heißt projektiv unabhängig genau dann,
|
||||
wenn die Folge $bb(p)_0...bb(p)_r subset bb(R)^(n+15$ linear unabhängig ist.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Wie ist die projektive Hülle von Punkten definiert?],
|
||||
answer: [
|
||||
Die projektive Hülle oder der Aufspann von $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ ist der
|
||||
projektive Unterraum $<bold(p)_0 ... bold(p)_r> := { bold(x) | bb(x) in
|
||||
Die projektive Hülle oder der Aufspann von $mono(p)_0 ... mono(p)_r$ ist der
|
||||
projektive Unterraum $<mono(p)_0 ... mono(p)_r> := { mono(x) | bb(x) in
|
||||
[bb(p)_0 .. bb(p)_r] bb(R)^(r+1) \\ { bb(o) } }$.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
|
|
@ -1572,25 +1594,25 @@ Ebene immer?],
|
|||
sodass wir uns ganz vom $bb(R)^(n+1)$ lösen können. Wir nennen die
|
||||
Koordinaten eines Punktes deshalb auch projektive Koordinaten bezüglich
|
||||
eines Grundecks. Sind $x_i$ die projektiven Koordinaten eines Punkts
|
||||
$bold(x)$ bezüglich $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ schreiben wir auch
|
||||
$bold(x) = bold(p)_0 x_0 + ... + bold(p)_n x_n$.
|
||||
$mono(x)$ bezüglich $mono(p)_0 ... mono(p)_n mono(p)$ schreiben wir auch
|
||||
$mono(x) = mono(p)_0 x_0 + ... + mono(p)_n x_n$.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was ist eine projektive Skala?],
|
||||
answer: [
|
||||
Seien $x_0$ und $x_1$ die projektiven Koordinaten eines Punkts $bold(x)$
|
||||
bezüglich eines Grundecks $bold(p)_0 bold(p)_1 bold(p)$. Dann bilden die
|
||||
Quotienten $x = x_1 / x_0$ für alle $bold(x) in bold(p)_0 union.sq
|
||||
bold(p)_1$ die projektive Skala bezüglich $bold(p)_0 bold(p_1) bold(p)$.
|
||||
Seien $x_0$ und $x_1$ die projektiven Koordinaten eines Punkts $mono(x)$
|
||||
bezüglich eines Grundecks $mono(p)_0 mono(p)_1 mono(p)$. Dann bilden die
|
||||
Quotienten $x = x_1 / x_0$ für alle $mono(x) in mono(p)_0 union.sq
|
||||
mono(p)_1$ die projektive Skala bezüglich $mono(p)_0 mono(p_1) mono(p)$.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Wann ist eine projektive Skala eine affine?],
|
||||
answer: [
|
||||
Ist $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ ein projektives Grundeck in einer
|
||||
projektiv erweiterten affinen Gerade mit Fernpunkt $bold(p)_1$, ist die
|
||||
porjektive Skala $x$ bezüglich $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ auch eine
|
||||
affinie Skala, die den affinen Koordinaten der Punkte $bold(x)$ bezüglich
|
||||
des affinen Koordinatensystems $bold(p)_0 (bold(p) - bold(p)_0)$ entspricht.
|
||||
Ist $mono(p) mono(p)_0 mono(p)_1$ ein projektives Grundeck in einer
|
||||
projektiv erweiterten affinen Gerade mit Fernpunkt $mono(p)_1$, ist die
|
||||
porjektive Skala $x$ bezüglich $mono(p) mono(p)_0 mono(p)_1$ auch eine
|
||||
affinie Skala, die den affinen Koordinaten der Punkte $mono(x)$ bezüglich
|
||||
des affinen Koordinatensystems $mono(p)_0 (mono(p) - mono(p)_0)$ entspricht.
|
||||
])
|
||||
== Koordintentransformation
|
||||
#card(
|
||||
|
|
@ -1598,8 +1620,8 @@ Ebene immer?],
|
|||
Koordinaten bezüglich eines anderen Grundecks
|
||||
transformiert werden?],
|
||||
answer: [
|
||||
Seien $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ und $bold(q)_0 ... bold(q)_n
|
||||
bold(q)$ Grundecke des $cal(P)^n$ und sei
|
||||
Seien $mono(p)_0 ... mono(p)_n mono(p)$ und $mono(q)_0 ... mono(q)_n
|
||||
mono(q)$ Grundecke des $cal(P)^n$ und sei
|
||||
$
|
||||
bb(p) = & [ bb(p)_0 ... bb(p)_n] bb(e) = bb(P e) \
|
||||
bb(q) = & [ bb(q)_0 ... bb(q)_n] bb(e) = bb(Q e) \
|
||||
|
|
@ -1607,26 +1629,26 @@ transformiert werden?],
|
|||
$
|
||||
Dann ist $bb(x)_q = bb(Q)^(-1) bb(P) bb(x)_p$ eine
|
||||
Koordinatentransformation. Dabei repräsentiert $bb(Q)^(-1) bb(P)$ die
|
||||
Grundpunkte $bold(p)_i$ bezüglich des Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n
|
||||
bold(q)$.
|
||||
Grundpunkte $mono(p)_i$ bezüglich des Grundecks $mono(q)_0 ... mono(q)_n
|
||||
mono(q)$.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Wie ändern sich bei einer Koordinatentransformation die
|
||||
Koordinaten von Hyperebenen?],
|
||||
answer: [
|
||||
Eine Hyperebene $cal(U): bb(u)^t bb(x) = 0$ hat bezüglich des Gundecks
|
||||
$bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$ die Darstellung $bb(u)^t bb(Q) bb(x)_q =:
|
||||
$mono(q)_0... mono(q)_n mono(q)$ die Darstellung $bb(u)^t bb(Q) bb(x)_q =:
|
||||
bb(u)^t_q bb(x)_q = 0$. Also ist $bb(u)_q = bb(Q)^t bb(u)$ die
|
||||
Transformation des homogenen Hyperebenen-Koordinatenvektors $bb(u)$ in den
|
||||
bezüglich des Grundecks $bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$.
|
||||
bezüglich des Grundecks $mono(q)_0... mono(q)_n mono(q)$.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Warum kann jede Hyperebene eines projektiven Raums
|
||||
als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
|
||||
answer: [
|
||||
Die Grundpunkte $bold(q)_1, ..., bold(q)_n$ liegen in der Hyperebene
|
||||
Die Grundpunkte $mono(q)_1, ..., mono(q)_n$ liegen in der Hyperebene
|
||||
$cal(U)$ genau dann, wenn $bb(u)^t_q ~ [1 0 ... 0]$. D.h. bezüglich des
|
||||
Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n bold(q)$ kann $cal(U)$ als die
|
||||
Grundecks $mono(q)_0 ... mono(q)_n mono(q)$ kann $cal(U)$ als die
|
||||
Fernhyperebene einer projektiven Erweiterung des $cal(A)^n$ aufgefasst
|
||||
werden. Da $cal(U)$ eine beliebige Hyperebene ist, kann auch jede andere
|
||||
Hyperebene als Fernhyperebene aufgefasst werden.
|
||||
|
|
@ -1641,22 +1663,22 @@ als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
|
|||
#card(
|
||||
question: [Was heißt alles dual zueinander?],
|
||||
answer: [
|
||||
Ein Punkt $bold(u)$ und eine Hyperebene $cal(U)$ med dem glichen homogenen
|
||||
Ein Punkt $mono(u)$ und eine Hyperebene $cal(U)$ med dem glichen homogenen
|
||||
Koordinatenvektoren $bb(u)$ heißen dual zueinander.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des $cal(P)^n$ berechnen?],
|
||||
answer: [
|
||||
Ein Unterraum $cal(A) := bold(a)_0 union.sq ... union.sq bold(a)_k subset
|
||||
Ein Unterraum $cal(A) := mono(a)_0 union.sq ... union.sq mono(a)_k subset
|
||||
cal(P)$ geht beim Dualisieren in den Unterraum $cal(A)^* := cal(A)_0
|
||||
union.sq ... union.sq cal(A)_k subset cal(P)^*$ über, aber meist stellt man
|
||||
den Unterraum $cal(A)^*$ durch den polaren Unterraum $cal(A)̧̃° := cal(A)_0 inter
|
||||
... inter cal(A)_k subset cal(P)$ dar und bezeichnet auch $cal(A)°$ als den
|
||||
zu $cal(A)$ dualen Unterraum.
|
||||
|
||||
Die Hyperebene $cal(U) = bold(a)_1 union.sq ... union.sq bold(a)_n : bb(u)^t
|
||||
Die Hyperebene $cal(U) = mono(a)_1 union.sq ... union.sq mono(a)_n : bb(u)^t
|
||||
= [bb(a)_1 and ... and bb(a)_n]^t$ ist dual zum Punkt $cal(U)^* = cal(A)_1
|
||||
inter.sq ... inter.sq cal(A)_n = { bold(u)}: bb(u) = bb(a)_1 and ... and
|
||||
inter.sq ... inter.sq cal(A)_n = { mono(u)}: bb(u) = bb(a)_1 and ... and
|
||||
bb(a)_n$.
|
||||
])
|
||||
== Projektive Abbildungen
|
||||
|
|
@ -1665,8 +1687,8 @@ als Fernhyperebene aufgefasst werden?],
|
|||
answer: [
|
||||
Jede lineare Abbildung $phi : bb(R)^(m+1) -> bb(R)^(n+1), bb(x) |-> bb(A
|
||||
x)$, induziert eine projektive Abbildung $Phi: cal(P)^m -> cal(P)^n$, die
|
||||
durch die gleiche Matrix $bb(A)$ wie $phi$ dargestellt wird: $bold(y) =
|
||||
Phi(bold(x)) : bb(A x) = [bb(a)_0 .. bb(a)_m] bb(x)$.
|
||||
durch die gleiche Matrix $bb(A)$ wie $phi$ dargestellt wird: $mono(y) =
|
||||
Phi(mono(x)) : bb(A x) = [bb(a)_0 .. bb(a)_m] bb(x)$.
|
||||
|
||||
Dabei repräsentieren die Koordinatenvektoren $bb(a)_0...bb(a)_m (bb(a)_0 +
|
||||
... bb(a)_m)$ die Bilder des Koordinaten-Grundecks.
|
||||
|
|
@ -1688,10 +1710,10 @@ und wie ist er definiert?],
|
|||
Unterraum $cal(U)$ ohne den Ausnahmeraum auf einen projektiven Unterraum ab:
|
||||
$Phi: cal(U) \\ cal(A)_Phi |-> Phi(cal(U) \\ cal(A)_Phi)$.
|
||||
|
||||
Zu zwei Grundecken $bold(p)_0...bold(p)_n bold(p)$ und
|
||||
$bold(q)_0...bold(q)_n bold(q)$ zweier projektiver Räume gibt es genau eine
|
||||
Zu zwei Grundecken $mono(p)_0...mono(p)_n mono(p)$ und
|
||||
$mono(q)_0...mono(q)_n mono(q)$ zweier projektiver Räume gibt es genau eine
|
||||
Projektivität $Phi$, die das erste auf das zweite abbildet, d.h. die
|
||||
$Phi(bold(p)_i) = bold(q)_i$ und $Phi(bold(p)) = bold(q)$ erfüllt.
|
||||
$Phi(mono(p)_i) = mono(q)_i$ und $Phi(mono(p)) = mono(q)$ erfüllt.
|
||||
])
|
||||
== Kollineationen und Korrelationen
|
||||
#card(
|
||||
|
|
@ -1735,7 +1757,7 @@ darstellen?],
|
|||
#card(
|
||||
question: [Was ist das Doppelverhältnis?],
|
||||
answer: [
|
||||
Hier betrachen wir vier Punkte $bold(a), bold(b), bold(x)$ und $bold(y)$
|
||||
Hier betrachen wir vier Punkte $mono(a), mono(b), mono(x)$ und $mono(y)$
|
||||
einer Geraden mit den projektiven Skalenwerten $alpha, beta, xi$ und $eta$
|
||||
bzgl. irgendeines Grundecks.
|
||||
|
||||
|
|
@ -1747,23 +1769,23 @@ darstellen?],
|
|||
|
||||
circle((1,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $alpha$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
content((), $mono(a)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((2,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $eta$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
content((), $mono(y)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((3.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $beta$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
content((), $mono(b)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((4.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $xi$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
content((), $mono(x)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
})
|
||||
|
||||
Das Doppelverhaltnis der Punktpaare $bold(x y)$ und $bold(a b)$ ist der Wert
|
||||
$delta = D V [bold(x y) | bold(a b)] := (xi - alpha) / (xi - beta) : (eta -
|
||||
Das Doppelverhaltnis der Punktpaare $mono(x y)$ und $mono(a b)$ ist der Wert
|
||||
$delta = D V [mono(x y) | mono(a b)] := (xi - alpha) / (xi - beta) : (eta -
|
||||
alpha) / (eta - beta)$.
|
||||
])
|
||||
|
||||
|
|
@ -1772,7 +1794,7 @@ darstellen?],
|
|||
answer: [
|
||||
Weil die Matrix einer projektiven Abbildung $Phi$ die Einheitsmatrix ist,
|
||||
wenn wir sie für die Urbild- und Bildkoordinaten bezüglich des Grundecks
|
||||
$bold(a b y)$ bzw $Phi(bold(a)) Phi(bold(b)) Phi(bold(y))$ beschreiben,
|
||||
$mono(a b y)$ bzw $Phi(mono(a)) Phi(mono(b)) Phi(mono(y))$ beschreiben,
|
||||
ändern projektive Abbildungen Doppelverhältnisse nicht. Doppelverhälnisse
|
||||
treten daher im projektiven Raum an die Stelle der Teilverhaltnisse, da
|
||||
letztere nur affine Invarientan sind.
|
||||
|
|
@ -1780,17 +1802,17 @@ darstellen?],
|
|||
#card(
|
||||
question: [Was ist das harmonische Doppelverhältnis?],
|
||||
answer: [
|
||||
Für das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ liegen $bold(x y)$ und
|
||||
$bold(a b)$ in harmonischer Lage.
|
||||
Für das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ liegen $mono(x y)$ und
|
||||
$mono(a b)$ in harmonischer Lage.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was bedeutet harmonische Lage von vier kollinearen
|
||||
Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
|
||||
answer: [
|
||||
Für $delta = - 1$ liegen $bold(x y)$ und $bold(a b)$ in harmonischer Lage.
|
||||
Für $delta = - 1$ liegen $mono(x y)$ und $mono(a b)$ in harmonischer Lage.
|
||||
|
||||
Ist $bold(b)$ ein Fernpunkt, ist $delta$ eine affine Skala und für $delta =
|
||||
-1$ ist $bold(a) = (bold(x) + bold(y)) /2$.
|
||||
Ist $mono(b)$ ein Fernpunkt, ist $delta$ eine affine Skala und für $delta =
|
||||
-1$ ist $mono(a) = (mono(x) + mono(y)) /2$.
|
||||
|
||||
|
||||
#cetz.canvas({
|
||||
|
|
@ -1801,27 +1823,27 @@ Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
|
|||
|
||||
circle((0.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $-1$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
content((), $mono(x)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((1.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $0$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
content((), $mono(a)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
circle((2.5,0), radius: .08, fill: white)
|
||||
content((), $1$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
content((), $mono(y)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
|
||||
line((5,0), (6, 0), mark: (end: ">"))
|
||||
content((), $oo$, padding: .2, anchor: "south")
|
||||
content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
content((), $mono(b)$, padding: .2, anchor: "north")
|
||||
})
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmonische Verhältnis invariant?],
|
||||
answer: [
|
||||
Das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ ist invariant gegenüber den
|
||||
Vertauschungen $bold(x) <-> bold(y), bold(x y) <-> bold(a b), bold(a) <->
|
||||
bold(b)$.
|
||||
Vertauschungen $mono(x) <-> mono(y), mono(x y) <-> mono(a b), mono(a) <->
|
||||
mono(b)$.
|
||||
])
|
||||
== Die duale Abbildung
|
||||
#card(
|
||||
|
|
@ -1829,7 +1851,7 @@ Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
|
|||
answer: [
|
||||
Sei $Phi: cal(X) -> cal(Y), bb(x) |-> bb(A x)$ eine projektive Abbildung.
|
||||
NUter ihr hat eine Hyperebene $cal(V): bb(v)^t bb(y) = 0$ von $cal(Y)$ das
|
||||
Urbild $Phi^- cal(V) = { bold(x) in cal(X) | bb(v)^t bb(A x) = 0} : bb(u)^t
|
||||
Urbild $Phi^- cal(V) = { mono(x) in cal(X) | bb(v)^t bb(A x) = 0} : bb(u)^t
|
||||
= bb(v)^t bb(A)$. Die Abbildung $Phi^* : cal(Y)^* -> cal(X)^*, bb(v)^t |->
|
||||
bb(A)^t bb(v)$ ist die duale Abbildung zu $Phi$. Ist sie bijektiv, bildet
|
||||
ihre Inverse jede Hyperebene $cal(U)$ auf die Hyperebene $cal(V)$ ab, in die
|
||||
|
|
@ -1842,14 +1864,14 @@ Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?],
|
|||
#card(
|
||||
question: [Was ist eine Quadrik?],
|
||||
answer: [
|
||||
Eine Quadrik im $cal(P)^n$ besteht aus den Punkten $bold(x)$, deren homogene
|
||||
Koordinatenvektioren $bb(x)^t = [epsilon, bold(x)^t] x_0$ eine quadratische
|
||||
Eine Quadrik im $cal(P)^n$ besteht aus den Punkten $mono(x)$, deren homogene
|
||||
Koordinatenvektioren $bb(x)^t = [epsilon, mono(x)^t] x_0$ eine quadratische
|
||||
Gleichung erfüllen:
|
||||
$
|
||||
cal(Q)(bb(x)) &= bb(x)^t bb(Q x) \
|
||||
&= [epsilon x_0, bold(x)^t x_0] mat(q, bold(q)^t; bold(q), Q)
|
||||
vec(epsilon x_0, bold(x) x_0) \
|
||||
&~ bold(x)^t Q bold(x) + 2 epsilon bold(q)^t bold(x) + q epsilon^2 \
|
||||
&= [epsilon x_0, mono(x)^t x_0] mat(q, mono(q)^t; mono(q), Q)
|
||||
vec(epsilon x_0, mono(x) x_0) \
|
||||
&~ mono(x)^t Q mono(x) + 2 epsilon mono(q)^t mono(x) + q epsilon^2 \
|
||||
&= 0
|
||||
$
|
||||
|
||||
|
|
@ -1881,11 +1903,11 @@ projektiven Quadrik?],
|
|||
question: [Wie berechnet man die Tangentenquadrik einer Quadrik?],
|
||||
answer: [
|
||||
Um die Tangentialebenen (genauer Tangentialhyperebenen) einer Quadrik
|
||||
$cal(Q)$ zu bestimmen, betrachten wir zunächst einen Punkt $bold(p)$ der
|
||||
$cal(Q)$ zu bestimmen, betrachten wir zunächst einen Punkt $mono(p)$ der
|
||||
Quadrik $cal(Q)$ und einer Geraden $cal(T): bb(x) = bb(p) + bb(q) lambda$
|
||||
des $cal(P)^n$. (Dabei stellt $lambda = lambda_1 / lambda_0$ eine projektive
|
||||
Skala auf $cal(T) : bb(x) = bb(p) lambda_0 + bb(q) lambda_1$ dar.) Nur wenn
|
||||
die Gerade $cal(T)$ die Quadrik allein im Punkt $bold(p)$ berührt oder ganz
|
||||
die Gerade $cal(T)$ die Quadrik allein im Punkt $mono(p)$ berührt oder ganz
|
||||
auf der Quadrik liegt ist sie eine Tangente. Folglich ist $cal(T)$ Tangente
|
||||
genau dann, wenn die quadratische Gleichung
|
||||
$
|
||||
|
|
@ -1896,26 +1918,26 @@ projektiven Quadrik?],
|
|||
$
|
||||
eine doppelte Nullstelle $lambda = 0$ hat. Somit ist $cal(T)$ Tangente von
|
||||
$cal(Q)$ genau dann, wenn $bb(p)^t bb(Q q) = 0$. Weiter folgt, dass die
|
||||
Tangentialebene von $cal(Q)$ in $bold(p)$ die Qleichung $bb(u)^t bb(x) =
|
||||
Tangentialebene von $cal(Q)$ in $mono(p)$ die Qleichung $bb(u)^t bb(x) =
|
||||
bb(q)^t bb(Q x) = 0$ hat.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was sind Polarebenen?],
|
||||
answer: [
|
||||
Für einen beliebigen Punkt $bold(p) in cal(P)^n$, definiert die Gleicuhng
|
||||
Für einen beliebigen Punkt $mono(p) in cal(P)^n$, definiert die Gleicuhng
|
||||
$bb(p)^t bb(Q x) = 0$ die Polarebene (oder eigentlich Polarhyperebene)
|
||||
$cal(P)(bold(p), cal(Q))$ von $bold(p)$ bezüglich $cal(Q)$, sofern $bold(p)$
|
||||
kein singulärer Punkt ist. Sie schneidet $cal(Q)$ in den Punkten $bold(x)$,
|
||||
deren Tangentialebenen $cal(T) lt.tri bb(Q x)$ auch durch $bold(p)$ gehen.
|
||||
Liegt $bold(p)$ auf $cal(Q)$, ist die Polarebene die Tangentialebene von
|
||||
$cal(Q)$ in $bold(p)$.
|
||||
$cal(P)(mono(p), cal(Q))$ von $mono(p)$ bezüglich $cal(Q)$, sofern $mono(p)$
|
||||
kein singulärer Punkt ist. Sie schneidet $cal(Q)$ in den Punkten $mono(x)$,
|
||||
deren Tangentialebenen $cal(T) lt.tri bb(Q x)$ auch durch $mono(p)$ gehen.
|
||||
Liegt $mono(p)$ auf $cal(Q)$, ist die Polarebene die Tangentialebene von
|
||||
$cal(Q)$ in $mono(p)$.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was bilden die Tangentialebenen einer Quadrik?],
|
||||
answer: [
|
||||
Auch die Tangentialebenen einer Quadrik $cal(Q)$ bilden eine Quadrik im
|
||||
Dualraum. Dazu macht man sich klar, dass ein $bb(u)$ eine Tangentialebene
|
||||
von $cal(Q)$ in einem Punkt $bold(p)$ von $cal(Q)$ darstellt, falls das
|
||||
von $cal(Q)$ in einem Punkt $mono(p)$ von $cal(Q)$ darstellt, falls das
|
||||
homogene lineare Gleichungssystem
|
||||
$
|
||||
bb(Q p) - bb(u) rho &= bb(o) \
|
||||
|
|
@ -1931,7 +1953,7 @@ projektiven Quadrik?],
|
|||
Ist die Matirx $bb(Q)$ regulär, heißt die Korrelation $bb(x) |-> bb(x)^t
|
||||
bb(Q)$ die Polarität bezüglich $cal(Q)$. Sie bildet die Punkte von $cal(Q)$
|
||||
auf die zugehörigen Tangentialebenen ab und $cal(Q)$ auf die duale Quadrik
|
||||
$cal(Q)^*$, deren Punkte $bold(u) lt.tri bb(u) := bb(Q x)$ die Gleichung
|
||||
$cal(Q)^*$, deren Punkte $mono(u) lt.tri bb(u) := bb(Q x)$ die Gleichung
|
||||
$bb(u)^t bb(Q)^(-1) bb(u) = 0$ erfüllen. Polaritäten sind also Korrelationen
|
||||
oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix.
|
||||
])
|
||||
|
|
@ -1943,7 +1965,7 @@ projektiven Quadrik?],
|
|||
#card(
|
||||
question: [Was bedeutet dies für den Begriff der Dualitat?],
|
||||
answer: [
|
||||
Bsp. Die Dualität $bold(x) |-> cal(X)$ ist die Polarität zur leeren
|
||||
Bsp. Die Dualität $mono(x) |-> cal(X)$ ist die Polarität zur leeren
|
||||
regulären Quadrik $cal(Q) lt.tri bb(E)$.
|
||||
])
|
||||
== Harmonische Punkte und Polaritat
|
||||
|
|
@ -1961,7 +1983,7 @@ und y die Schnittpunkte der Geraden pq mit Q sind?],
|
|||
Mit einer reellen Koordinatentransformation kann die Gleichung einer Quadrik
|
||||
$cal(Q)$ in die Normalform $y_0^2 + ... + y_r^2 - y_(r+1)^2 - ... -
|
||||
y_(r+s)^2 = 0$ und anschließend mid der komplexen Koordinatentransformation
|
||||
$bb(y) = "diag"(1 ... bold(1) i ... i) bb(z)$ in die Normalform $z_0^2 + ... +
|
||||
$bb(y) = "diag"(1 ... mono(1) i ... i) bb(z)$ in die Normalform $z_0^2 + ... +
|
||||
z_(r+s)^2 = 0$ überführt werden.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
|
|
@ -1977,10 +1999,10 @@ komplexen Erweiterung?],
|
|||
question: [Erklaren Sie das hyperbolische Modell der hyperbolischen Ebene !],
|
||||
answer: [
|
||||
Im hyperbolischen Modell wird ie hyperbolische Ebene $cal(H)^2$ durch die
|
||||
obere Schale des zweischaligen Hyperboloids $cal(O) : bold(x)^t H bold(x) =
|
||||
obere Schale des zweischaligen Hyperboloids $cal(O) : mono(x)^t H mono(x) =
|
||||
[x, y, z] mat(1,,;,1,;,,-1) vec(x,y,z) = -1, z > 0$ im $bb(R)^3$
|
||||
dargestellt. Der asymptotische Kegel $cal(K)$ von $cal(O)$ hat die Gleichung
|
||||
$cal(K) : bold(x)^t H bold(x) = 0$ und ist in der Abbildung rot gezeichnet.
|
||||
$cal(K) : mono(x)^t H mono(x) = 0$ und ist in der Abbildung rot gezeichnet.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was sind in diesem Modell die hyperbolischen Geraden?],
|
||||
|
|
@ -1994,7 +2016,7 @@ komplexen Erweiterung?],
|
|||
answer: [
|
||||
Die regulären linearen Abbildungen des $bb(R)^3$, die $cal(O)$ auf sich
|
||||
abbilden, und ihre Vielfachen repräsentieren die hyperbolischen Abbildungen,
|
||||
wen wir sie auf $cal(O)$ beschränken und die Vielfachen der $bold(x) in
|
||||
wen wir sie auf $cal(O)$ beschränken und die Vielfachen der $mono(x) in
|
||||
cal(O)$ als homogene Koordinatenvektoren für die Punkte des $cal(H)^2$
|
||||
auffassen. Zu diesen linearen Abbildungen gehören under anderem Rotationen
|
||||
um die z-Achse und Spiegelungen an Ebenen durch die z-Achste.
|
||||
|
|
@ -2002,7 +2024,7 @@ komplexen Erweiterung?],
|
|||
Die hyperbolischen Abbildungen werden durch die Matrizen $A$ repräsentiert,
|
||||
für die $A^t H A = rho H$ mit $rho > 0$.
|
||||
|
||||
Da der Kegel $cal(K)$ durch die Gleichung $bold(x)^t rho H bold(x) = 0$
|
||||
Da der Kegel $cal(K)$ durch die Gleichung $mono(x)^t rho H mono(x) = 0$
|
||||
gegeben ist, stellen die linearen Abbildungen, die den Kegel auf sich
|
||||
abbilden, die hyperbolischen Abbildungen dar.
|
||||
])
|
||||
|
|
@ -2017,8 +2039,8 @@ Abbildungen in diesem Modell !],
|
|||
question: [Wie ist das Klein-Modell der hyperbolischen Ebene definiert?],
|
||||
answer: [
|
||||
Aus dem hyperbolischen Modell der hyperbolischen Ebene erhalten wir durch
|
||||
die Zentralprojektion $pi: bb(R)^3 \\ {bold(o)} -> {vec(bold(x), 1) |
|
||||
bold(x) in bb(R)^2}, vec(bold(x),z) |-> vec(bold(x)/z, 1)$, das Klein-Modell
|
||||
die Zentralprojektion $pi: bb(R)^3 \\ {mono(o)} -> {vec(mono(x), 1) |
|
||||
mono(x) in bb(R)^2}, vec(mono(x),z) |-> vec(mono(x)/z, 1)$, das Klein-Modell
|
||||
der hyperbolischen Ebene. Die Zentralprojektion $pi$ bildet $cal(O)$ auf die
|
||||
offene Einheitskreisscheibe $cal(D) : x^2 + y^2 < 1, z = 1$ ab.
|
||||
])
|
||||
|
|
@ -2048,10 +2070,10 @@ Modell?],
|
|||
#card(
|
||||
question: [Wie sind Entfernungen definiert?],
|
||||
answer: [
|
||||
Eine Strecke $bold(x y)$ hat die Länge $"dist"(bold(x), bold(y)) = abs(log D
|
||||
V [bold(x y) | bold(a b)])$ wobei $bold(a)$ und $bold(b)$ die Fernpunkte der
|
||||
hyperbolischen Geraden $bold(x y)$ sind. Man beachte, dass die Vertauschung
|
||||
der Punkte $bold(a)$ und $bold(b)$ oder der Punkte $bold(x)$ und $bold(y)$ das
|
||||
Eine Strecke $mono(x y)$ hat die Länge $"dist"(mono(x), mono(y)) = abs(log D
|
||||
V [mono(x y) | mono(a b)])$ wobei $mono(a)$ und $mono(b)$ die Fernpunkte der
|
||||
hyperbolischen Geraden $mono(x y)$ sind. Man beachte, dass die Vertauschung
|
||||
der Punkte $mono(a)$ und $mono(b)$ oder der Punkte $mono(x)$ und $mono(y)$ das
|
||||
Doppelverhaltnis invertiert und daher nur das Vorzeichen seines Logarithmus
|
||||
ändert.
|
||||
|
||||
|
|
@ -2070,16 +2092,16 @@ Abb.?],
|
|||
question: [Wie ist eine hyperbolische Spiegelung definiert?],
|
||||
answer: [
|
||||
Eine hyperbolische Spiegelung oder harmonische Homologie ist eine
|
||||
hyperbolische Abbildung $bold(y) = Phi(bold(x))$ mit einer Fixpunktgeraden
|
||||
$cal(P)$, bei der die Geraden $bold(x) union.sq Phi(bold(x))$ alle durch den
|
||||
Pol $bold(p)$ zur Polare $cal(P)$ bezüglich des Fernkreis gehen. Es sind
|
||||
hyperbolische Abbildung $mono(y) = Phi(mono(x))$ mit einer Fixpunktgeraden
|
||||
$cal(P)$, bei der die Geraden $mono(x) union.sq Phi(mono(x))$ alle durch den
|
||||
Pol $mono(p)$ zur Polare $cal(P)$ bezüglich des Fernkreis gehen. Es sind
|
||||
also Perspektivitäten, die $cal(D)$ auf sich abbilden.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Was muss man tun, um eine hyperbolische Spiegelung ais
|
||||
euklidische Spiegelung anzusehen?],
|
||||
answer: [
|
||||
Betrachtet man den Pol $bold(p)$ als Fernpunkt einer euklidischen Ebene,
|
||||
Betrachtet man den Pol $mono(p)$ als Fernpunkt einer euklidischen Ebene,
|
||||
entspricht die hyperbolische Spiegelung einer Spiegelung der euklidischen
|
||||
Ebene an $cal(P)$. Die Polare geht bei dieser Betrachtung durch den
|
||||
Mittelpunkt von $cal(D)$.
|
||||
|
|
@ -2088,12 +2110,12 @@ euklidische Spiegelung anzusehen?],
|
|||
question: [Wie geht man vor, um zu zeigen, dass jede hyperbolische
|
||||
Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
|
||||
answer: [
|
||||
Bildet $Phi$ eine Gerade $cal(P)$ und einen Punkt $bold(r) in cal(P)$ auf
|
||||
sich ab, bildet sie die Fernpunkte $bold(a)$ und $bold(b)$ von $cal(P)$ mit
|
||||
Bildet $Phi$ eine Gerade $cal(P)$ und einen Punkt $mono(r) in cal(P)$ auf
|
||||
sich ab, bildet sie die Fernpunkte $mono(a)$ und $mono(b)$ von $cal(P)$ mit
|
||||
den zugehöringen Tangenten des Fernkreis auf sich ab oder vertauscht sie.
|
||||
|
||||
Sie bildet dahre auch den Pol $bold(p)$ zu $cal(P)$ und die Gerade $cal(Q)$
|
||||
durch $bold(p)$ und $bold(r)$ auf sich ab. Da $Phi$ durch die Bilder der
|
||||
Sie bildet dahre auch den Pol $mono(p)$ zu $cal(P)$ und die Gerade $cal(Q)$
|
||||
durch $mono(p)$ und $mono(r)$ auf sich ab. Da $Phi$ durch die Bilder der
|
||||
Fernpunkte von $cal(P)$ und $cal(Q)$ bestimmt ist, kann $Phi$ nur die
|
||||
Identität, die Spiegelung an $cal(P)$, die an $cal(Q)$ odie die Verknüpfung
|
||||
dieser beiden Spiegelungen sein.
|
||||
|
|
@ -2103,16 +2125,16 @@ Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
|
|||
question: [Was ist eine stereographische Projektion?],
|
||||
answer: [
|
||||
Eine stereographische Projektion ist eine Zentralprojektion vom Nordpol
|
||||
$bold(n)$ einer Kugel aus auf die Tangentialebene am Südpol, die auf die
|
||||
$mono(n)$ einer Kugel aus auf die Tangentialebene am Südpol, die auf die
|
||||
Kugel beschränkt wird und eindeutig jedem Punkt der Kugel mit Ausnahme des
|
||||
Nordpols einen Punkt der Ebene zuordnet.
|
||||
|
||||
Für den Nordpol erweitert man die Ebene um einen gedachten unechten Punkt
|
||||
$bold(k)$ und erklärt $bold(k)$ als das stereographische Bild von $bold(n)$.
|
||||
(Durch $bold(k)$ wird die Ebene kompaktifiziert.) Die Kreise durch den
|
||||
$mono(k)$ und erklärt $mono(k)$ als das stereographische Bild von $mono(n)$.
|
||||
(Durch $mono(k)$ wird die Ebene kompaktifiziert.) Die Kreise durch den
|
||||
Nordpol werden durch die stereographische Projektion auf die Geraden der
|
||||
Ebene abgebildet und ihnen eindeutig zugeordnet. Die Geraden heißen unechte
|
||||
Kreise und sind genau die Kreise, die durch $bold(k)$ gehen.
|
||||
Kreise und sind genau die Kreise, die durch $mono(k)$ gehen.
|
||||
|
||||
#cetz.canvas({
|
||||
import cetz.draw: *
|
||||
|
|
@ -2141,7 +2163,7 @@ Abb. Produkt von Spiegelungen ist?],
|
|||
kreistreu?],
|
||||
answer: [
|
||||
Zum Beweis der Winkeltreue, sehen wir uns zwei Tangenten der Kugel in einem
|
||||
Punkt $bold(p)$ an und dazu die Beiden Kreise durch $bold(p)$ und $bold(n)$
|
||||
Punkt $mono(p)$ an und dazu die Beiden Kreise durch $mono(p)$ und $mono(n)$
|
||||
mit diesen Tangenten. Diese Kreise schneiden sich im Nordpol im gleichen
|
||||
Winkel und die Tangenten im Nordpol sind parallel zu den Bildtangenten, da
|
||||
diese beiden Tangentenpaare Schnitte der beiden Kreisebenen mit den
|
||||
|
|
@ -2174,29 +2196,29 @@ kreistreu?],
|
|||
#card(
|
||||
question: [Wie kann man Kreisinversionen berechnen?],
|
||||
answer: [
|
||||
Invertiert man einen Punkt $bold(x)$ an einem Kreis mit Radius $r$ und
|
||||
Mittelpunkt $bold(m)$ gilt für den Bildpunkt $bold(y)$: $norm(bold(x) -
|
||||
bold(m)) dot norm(bold(y) - bold(m)) = r^2$.
|
||||
Invertiert man einen Punkt $mono(x)$ an einem Kreis mit Radius $r$ und
|
||||
Mittelpunkt $mono(m)$ gilt für den Bildpunkt $mono(y)$: $norm(mono(x) -
|
||||
mono(m)) dot norm(mono(y) - mono(m)) = r^2$.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [(Warum) sind Kreisinversionen winkeltreu?],
|
||||
answer: [
|
||||
Eine Inversion an einem Kreis $cal(K)$ ist eine winkeltreue
|
||||
Kreisverwandtschaft, die $cal(K)$ punktweise auf sich und den Mittelpunkt
|
||||
auf $bold(k)$ abbildet.
|
||||
auf $mono(k)$ abbildet.
|
||||
Daher bildet sie auch zu $cal(K)$ orthogonale Kreise auf sich ab.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Warum sind Kreisinversionen Kompositionen von Ahnlichkeiten und
|
||||
Kreisinversionen?],
|
||||
answer: [
|
||||
(1) Eine Kreisverwandtschaft $kappa$, die den Punkt $bold(k)$ fest lässt,
|
||||
(1) Eine Kreisverwandtschaft $kappa$, die den Punkt $mono(k)$ fest lässt,
|
||||
bildet ein Quadratgitter wieder auf ein solches ab, weil sie die
|
||||
einbeschriebenen Kreise auf Kreise abbildet. Somit ist sie eine Ähnlichkeit.
|
||||
|
||||
(2) Bildet $kappa$ den Punkt $bold(k)$ auf einen anderen Punkt $bold(m)$ ab,
|
||||
(2) Bildet $kappa$ den Punkt $mono(k)$ auf einen anderen Punkt $mono(m)$ ab,
|
||||
betrachten wir die Inversion $iota$ an einem Kreis mit Mittelpunkt
|
||||
$bold(m)$. Weil $iota compose kappa$ nach (1) eine Ähnlichkeit $alpha$ ist,
|
||||
$mono(m)$. Weil $iota compose kappa$ nach (1) eine Ähnlichkeit $alpha$ ist,
|
||||
hat auch $kappa = iota compose iota compose kappa = iota compose alpha$ die
|
||||
behauptete Zerlegung.
|
||||
])
|
||||
|
|
@ -2230,7 +2252,7 @@ Modell?],
|
|||
Die hyperbolischen Abbildungen werden im Poincaré-Modell zu Abbildungen, die
|
||||
den Fernkreis auf sich abbilden. insbesondere wird aus einer hyperbolischen
|
||||
Spiegelung an einer Polagen eine Inversion an einem zum Fernkreis
|
||||
orthogonalen Kreis, dessen Mittelpunkt $bold(m)$ der Pol der Spiegelung ist.
|
||||
orthogonalen Kreis, dessen Mittelpunkt $mono(m)$ der Pol der Spiegelung ist.
|
||||
])
|
||||
#card(
|
||||
question: [Warum sind die hyperbolischen Abb. genau die
|
||||
|
|
@ -2274,11 +2296,11 @@ Dreiecks?],
|
|||
question: [Warum ist die Winkelsumme eines hyperbolischen
|
||||
Dreiecks kleiner als 180?],
|
||||
answer: [
|
||||
Jedes hyperbolische Dreieck $bold(o' p' q')$ kann durch eine Spiegelung
|
||||
(winkelerhaltend) in ein Dreieck $bold(o p q)$ überführt werden, bei dem
|
||||
z.B. $bold(o)$ Mittelpunkt der Kreisscheibe $cal(D)$ ist. Die zu dieser Ecke
|
||||
Jedes hyperbolische Dreieck $mono(o' p' q')$ kann durch eine Spiegelung
|
||||
(winkelerhaltend) in ein Dreieck $mono(o p q)$ überführt werden, bei dem
|
||||
z.B. $mono(o)$ Mittelpunkt der Kreisscheibe $cal(D)$ ist. Die zu dieser Ecke
|
||||
adjazenten Kanten liegen dann auf Durchmessern der Kreisscheibe. Nur der
|
||||
Winkel bei $bold(o)$ entspricht dem des euklidischen Dreiecks $bold(o p q)$,
|
||||
Winkel bei $mono(o)$ entspricht dem des euklidischen Dreiecks $mono(o p q)$,
|
||||
während die beiden anderen kleiner als die entsprechenden des euklidischen
|
||||
Dreiecks sind.
|
||||
])
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue