From 67495874b8bc7c0c36d3bfb7b43b26a6d8eb76e6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Orangerot Date: Thu, 26 Jun 2025 07:43:12 +0200 Subject: [PATCH] feat(ggg): exam solutions for chapter 5 --- ggg/ggg-cards.typ | 312 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 266 insertions(+), 46 deletions(-) diff --git a/ggg/ggg-cards.typ b/ggg/ggg-cards.typ index 0898f32..e850580 100644 --- a/ggg/ggg-cards.typ +++ b/ggg/ggg-cards.typ @@ -1489,44 +1489,75 @@ was sind ihre Dimensionen?], #card( question: [Was ist ein projektiver Raum?], answer: [ - + Die eigentlichen und uneigentlichen Punkte des $cal(A)^n$ bilden den + projektiven Raum $cal(P)^n$ bzw die projektive Erweiterung des $cal(A)^n$. ]) #card( question: [Was sind die projektiven Unterräume?], answer: [ - + Der $cal(P)^n$ wird durch die Menge der eindimensionalen Unterräume des + $bb(R)^(n+1)$ repräsentiert und die projektiven Unterräume von $cal(P)^n$ + durch die linearen Unterräume des $bb(R)^(n+1)$. Die eindimensionalen + Unterräume des $bb(R)^(n+1)$ stellen die Punkte des $cal(P)^n$ dar. + + Stellt ein Unterraum $U subset bb(R)^(n+1)$ den Unterraum $U subset + cal(P)^n$ dar, gilt $dim cal(U) := dim U -1$. Ein Unterraum $cal(U)$ der + Dimension $-1,0,1,2,n-1$ ist leer oder wird Punkt, eine Gerade, eine Ebene + bzw. eine Hyperebene genannt. + + Der Schnitt zweier projektiven Unterräume $cal(U)$ und $cal(V)$ ist der + projektive Unterraum $cal(U) inter.sq cal(V) := cal(U) inter cal(V)$ und + ihre Verbindung $cal(U) union.sq cal(V)$ der kleinste projektive Unterraum, + der $cal(U)$ und $cal(V)$ enthält. ]) #card( question: [Warum schneiden sich zwei Geraden einer projektiven Ebene immer?], answer: [ - + (Alle Hyperebenen gehen durch den Ursprung des $cal(A)^n$) ]) == Projektive Koordinaten #card( question: [Wann heißt eine Punktfolge projektiv unabhängig?], answer: [ - + Die Folge $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ heißt projektiv unabhängig genau dann, + wenn die Folge $bb(p)_0...bb(p)_r subset bb(R)^(n+15$ linear unabhängig ist. ]) #card( question: [Wie ist die projektive Hülle von Punkten definiert?], answer: [ - + Die projektive Hülle oder der Aufspann von $bold(p)_0 ... bold(p)_r$ ist der + projektive Unterraum $ := { bold(x) | bb(x) in + [bb(p)_0 .. bb(p)_r] bb(R)^(r+1) \\ { bb(o) } }$. ]) #card( question: [Wie sind projektive Koordinaten definiert?], answer: [ - + Wir bemereken, dass jedes projektive Grundeck im $cal(P)^n$ eindeutig ein + Koordinatensystem im $bb(R)^(n+1)$ bestimmt. Für die Angabe von Koordinaten + im $cal(P)^(n+1)$ reicht es, nur ein Grundeck im $cal(P)^n$ anzugeben, + sodass wir uns ganz vom $bb(R)^(n+1)$ lösen können. Wir nennen die + Koordinaten eines Punktes deshalb auch projektive Koordinaten bezüglich + eines Grundecks. Sind $x_i$ die projektiven Koordinaten eines Punkts + $bold(x)$ bezüglich $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ schreiben wir auch + $bold(x) = bold(p)_0 x_0 + ... + bold(p)_n x_n$. ]) #card( question: [Was ist eine projektive Skala?], answer: [ - + Seien $x_0$ und $x_1$ die projektiven Koordinaten eines Punkts $bold(x)$ + bezüglich eines Grundecks $bold(p)_0 bold(p)_1 bold(p)$. Dann bilden die + Quotienten $x = x_1 / x_0$ für alle $bold(x) in bold(p)_0 union.sq + bold(p)_1$ die projektive Skala bezüglich $bold(p)_0 bold(p_1) bold(p)$. ]) #card( question: [Wann ist eine projektive Skala eine affine?], answer: [ - + Ist $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ ein projektives Grundeck in einer + projektiv erweiterten affinen Gerade mit Fernpunkt $bold(p)_1$, ist die + porjektive Skala $x$ bezüglich $bold(p) bold(p)_0 bold(p)_1$ auch eine + affinie Skala, die den affinen Koordinaten der Punkte $bold(x)$ bezüglich + des affinen Koordinatensystems $bold(p)_0 (bold(p) - bold(p)_0)$ entspricht. ]) == Koordintentransformation #card( @@ -1534,132 +1565,278 @@ Ebene immer?], Koordinaten bezüglich eines anderen Grundecks transformiert werden?], answer: [ - + Seien $bold(p)_0 ... bold(p)_n bold(p)$ und $bold(q)_0 ... bold(q)_n + bold(q)$ Grundecke des $cal(P)^n$ und sei + $ + bb(p) = & [ bb(p)_0 ... bb(p)_n] bb(e) = bb(P e) \ + bb(q) = & [ bb(q)_0 ... bb(q)_n] bb(e) = bb(Q e) \ + bb(x) = & bb(P x)_p = bb(Q x)_q + $ + Dann ist $bb(x)_q = bb(Q)^(-1) bb(P) bb(x)_p$ eine + Koordinatentransformation. Dabei repräsentiert $bb(Q)^(-1) bb(P)$ die + Grundpunkte $bold(p)_i$ bezüglich des Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n + bold(q)$. ]) #card( question: [Wie ändern sich bei einer Koordinatentransformation die Koordinaten von Hyperebenen?], answer: [ - + Eine Hyperebene $cal(U): bb(u)^t bb(x) = 0$ hat bezüglich des Gundecks + $bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$ die Darstellung $bb(u)^t bb(Q) bb(x)_q =: + bb(u)^t_q bb(x)_q = 0$. Also ist $bb(u)_q = bb(Q)^t bb(u)$ die + Transformation des homogenen Hyperebenen-Koordinatenvektors $bb(u)$ in den + bezüglich des Grundecks $bold(q)_0... bold(q)_n bold(q)$. ]) #card( question: [Warum kann jede Hyperebene eines projektiven Raums als Fernhyperebene aufgefasst werden?], answer: [ - + Die Grundpunkte $bold(q)_1, ..., bold(q)_n$ liegen in der Hyperebene + $cal(U)$ genau dann, wenn $bb(u)^t_q ~ [1 0 ... 0]$. D.h. bezüglich des + Grundecks $bold(q)_0 ... bold(q)_n bold(q)$ kann $cal(U)$ als die + Fernhyperebene einer projektiven Erweiterung des $cal(A)^n$ aufgefasst + werden. Da $cal(U)$ eine beliebige Hyperebene ist, kann auch jede andere + Hyperebene als Fernhyperebene aufgefasst werden. ]) == Der Dualraum #card( question: [Was ist der Dualraum eines projektiven Raums?], answer: [ - + Die Hyperebenen des $cal(P) := cal(P)^n$ bilden einen projektiven Raume, der + Dualraum von $cal(P)^n$ genannd und mit $cal(P)^*$ bezeichnet wird. ]) #card( question: [Was heißt alles dual zueinander?], answer: [ - + Ein Punkt $bold(u)$ und eine Hyperebene $cal(U)$ med dem glichen homogenen + Koordinatenvektoren $bb(u)$ heißen dual zueinander. ]) #card( - question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des 𝒫𝒫 ⁿ -berechnen?], + question: [Wie kann man den Schnitt von n Hyperebenen des $cal(P)^n$ berechnen?], answer: [ - + Ein Unterraum $cal(A) := bold(a)_0 union.sq ... union.sq bold(a)_k subset + cal(P)$ geht beim Dualisieren in den Unterraum $cal(A)^* := cal(A)_0 + union.sq ... union.sq cal(A)_k subset cal(P)^*$ über, aber meist stellt man + den Unterraum $cal(A)^*$ durch den polaren Unterraum $cal(A)̧̃° := cal(A)_0 inter + ... inter cal(A)_k subset cal(P)$ dar und bezeichnet auch $cal(A)°$ als den + zu $cal(A)$ dualen Unterraum. + + Die Hyperebene $cal(U) = bold(a)_1 union.sq ... union.sq bold(a)_n : bb(u)^t + = [bb(a)_1 and ... and bb(a)_n]^t$ ist dual zum Punkt $cal(U)^* = cal(A)_1 + inter.sq ... inter.sq cal(A)_n = { bold(u)}: bb(u) = bb(a)_1 and ... and + bb(a)_n$. ]) == Projektive Abbildungen #card( question: [Was ist eine projektive Abbildung?], answer: [ - + Jede lineare Abbildung $phi : bb(R)^(m+1) -> bb(R)^(n+1), bb(x) |-> bb(A + x)$, induziert eine projektive Abbildung $Phi: cal(P)^m -> cal(P)^n$, die + durch die gleiche Matrix $bb(A)$ wie $phi$ dargestellt wird: $bold(y) = + Phi(bold(x)) : bb(A x) = [bb(a)_0 .. bb(a)_m] bb(x)$. + + Dabei repräsentieren die Koordinatenvektoren $bb(a)_0...bb(a)_m (bb(a)_0 + + ... bb(a)_m)$ die Bilder des Koordinaten-Grundecks. ]) #card( question: [Wann hat eine projektive Abbildung einen ausnahmeraum und wie ist er definiert?], answer: [ - + Die projektive Abbildung $Phi$ heißt regulär oder Projektivität, wenn + $bb(A)$ eine reguläre Matrix ist. Der Kern der Matrix repräsentiert den + Ausnahmeraum $cal(A)_Phi := "kern" bb(A) = {bb(x) | bb(A x) = bb(o)}$ von + $Phi$. Es ist der Raum, der durch $Phi$ auf den Unpunkt abgebildet wird. ]) #card( - question: [Auf was bilden projektive Abbildungen projektive -Unterräume ab?], + question: [Auf was bilden projektive Abbildungen projektive Unterräume ab?], answer: [ - + Projektivitäten bilden projektive Unterräume auf projektive Unterräume ab + und allgemein bildet eine projektive Abbildung $Phi$ jeden projektiven + Unterraum $cal(U)$ ohne den Ausnahmeraum auf einen projektiven Unterraum ab: + $Phi: cal(U) \\ cal(A)_Phi |-> Phi(cal(U) \\ cal(A)_Phi)$. + + Zu zwei Grundecken $bold(p)_0...bold(p)_n bold(p)$ und + $bold(q)_0...bold(q)_n bold(q)$ zweier projektiver Räume gibt es genau eine + Projektivität $Phi$, die das erste auf das zweite abbildet, d.h. die + $Phi(bold(p)_i) = bold(q)_i$ und $Phi(bold(p)) = bold(q)$ erfüllt. ]) == Kollineationen und Korrelationen #card( question: [Was sind Kollineationen und Korrelationen?], answer: [ - + Projektivitäten $Phi: cal(P) -> cal(P)$ heißen Kollineationen, weil sie + kollineare Punkte auf kollineare Punkte abbliden, und Projektivitäten $Phi: + cal(P) -> cal(P)^*$ heißen Korrelationen. ]) #card( question: [Wie ist Dualität allgemein definiert?], answer: [ - + Die Dualitätsdefinition besagt, dass eine Figur, d.h. ein aus Unterräumen + eines projektiven Raums besthendes Gebilde, dual zu einer zweiten ist, wenn + sie durch eine Korrelation in diese überführt werden kann. ]) #card( question: [Wie lautet der Satz von Desargues und wie der dazu duale Satz?], answer: [ - + Sind die Ecken zweier Dreiecke in perspektivischer Lage, dann sind es auch + ihre Kanten. + + (Sind die Kanten zweier Dreiecke in perspektivischer Lage, dann sind es auch + ihre Ecken. ) ]) == Linear rationale Transformationen #card( question: [Wie lassen sich Projektivitäten zwischen zwei Geraden darstellen?], answer: [ - + Eine Projektivität zwischen zwei Geraden hat die Darstellung $vec(y_0, y_1) + = mat(a, b; c, d) vec(x_0, x_1)$ oder nach Inhomogenisierung die Darstellung + $y_1 / y_0 = (c x_0 + d x_1) / (a x_0 + b x_1) = (c + d x_1 / x_0) / (a + b + x_1 / x_0)$ bzw., wenn wir die projektiven Skalen $x = x_1 / x_0$ und $y = y_1 + / y_0$ verwenden, die Darstellung $y = (c x_0 + d x_1) / (a x_0 + b x_1) = (c + + d x) / (a + b x)$. Letztere ist eine linear-rationale Transformation der + projektiven Skala $x$. ]) == Das Doppelverhältnis #card( question: [Was ist das Doppelverhältnis?], answer: [ - + Hier betrachen wir vier Punkte $bold(a), bold(b), bold(x)$ und $bold(y)$ + einer Geraden mit den projektiven Skalenwerten $alpha, beta, xi$ und $eta$ + bzgl. irgendeines Grundecks. + + #cetz.canvas({ + import cetz.draw: * + + line((0,0), (7.5, 0)) + content((), [projektive Skala], anchor: "south-east") + + circle((1,0), radius: .08, fill: white) + content((), $alpha$, padding: .2, anchor: "south") + content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north") + + circle((2,0), radius: .08, fill: white) + content((), $eta$, padding: .2, anchor: "south") + content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north") + + circle((3.5,0), radius: .08, fill: white) + content((), $beta$, padding: .2, anchor: "south") + content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north") + + circle((4.5,0), radius: .08, fill: white) + content((), $xi$, padding: .2, anchor: "south") + content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north") + }) + + Das Doppelverhaltnis der Punktpaare $bold(x y)$ und $bold(a b)$ ist der Wert + $delta = D V [bold(x y) | bold(a b)] := (xi - alpha) / (xi - beta) : (eta - + alpha) / (eta - beta)$. ]) #card( - question: [Warum sind Doppelverhältnisse invariant unter -projektiven Abbildungen?], + question: [Warum sind Doppelverhältnisse invariant unter projektiven Abbildungen?], answer: [ - + Weil die Matrix einer projektiven Abbildung $Phi$ die Einheitsmatrix ist, + wenn wir sie für die Urbild- und Bildkoordinaten bezüglich des Grundecks + $bold(a b y)$ bzw $Phi(bold(a)) Phi(bold(b)) Phi(bold(y))$ beschreiben, + ändern projektive Abbildungen Doppelverhältnisse nicht. Doppelverhälnisse + treten daher im projektiven Raum an die Stelle der Teilverhaltnisse, da + letztere nur affine Invarientan sind. ]) #card( question: [Was ist das harmonische Doppelverhältnis?], answer: [ - -]) + Für das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ liegen $bold(x y)$ und + $bold(a b)$ in harmonischer Lage. + ]) #card( question: [Was bedeutet harmonische Lage von vier kollinearen Punkten, wenn einer von ihnen ein Fernpunkt ist?], answer: [ - + Für $delta = - 1$ liegen $bold(x y)$ und $bold(a b)$ in harmonischer Lage. + + Ist $bold(b)$ ein Fernpunkt, ist $delta$ eine affine Skala und für $delta = + -1$ ist $bold(a) = (bold(x) + bold(y)) /2$. + + + #cetz.canvas({ + import cetz.draw: * + + line((0,0), (4, 0)) + content((), [affine Skala], padding: .2, anchor: "south") + + circle((0.5,0), radius: .08, fill: white) + content((), $-1$, padding: .2, anchor: "south") + content((), $bold(x)$, padding: .2, anchor: "north") + + circle((1.5,0), radius: .08, fill: white) + content((), $0$, padding: .2, anchor: "south") + content((), $bold(a)$, padding: .2, anchor: "north") + + circle((2.5,0), radius: .08, fill: white) + content((), $1$, padding: .2, anchor: "south") + content((), $bold(y)$, padding: .2, anchor: "north") + + line((5,0), (6, 0), mark: (end: ">")) + content((), $oo$, padding: .2, anchor: "south") + content((), $bold(b)$, padding: .2, anchor: "north") + }) ]) #card( - question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmon,ische -Verhältnis invariant?], + question: [Unter welchen Vertauschungen ist das harmonische Verhältnis invariant?], answer: [ - + Das harmonische Doppelverhaltnis $delta = -1$ ist invariant gegenüber den + Vertauschungen $bold(x) <-> bold(y), bold(x y) <-> bold(a b), bold(a) <-> + bold(b)$. ]) == Die duale Abbildung #card( question: [Was ist die duale Abbildung?], answer: [ - + Sei $Phi: cal(X) -> cal(Y), bb(x) |-> bb(A x)$ eine projektive Abbildung. + NUter ihr hat eine Hyperebene $cal(V): bb(v)^t bb(y) = 0$ von $cal(Y)$ das + Urbild $Phi^- cal(V) = { bold(x) in cal(X) | bb(v)^t bb(A x) = 0} : bb(u)^t + = bb(v)^t bb(A)$. Die Abbildung $Phi^* : cal(Y)^* -> cal(X)^*, bb(v)^t |-> + bb(A)^t bb(v)$ ist die duale Abbildung zu $Phi$. Ist sie bijektiv, bildet + ihre Inverse jede Hyperebene $cal(U)$ auf die Hyperebene $cal(V)$ ab, in die + $Phi$ alle Punkte von $cal(U)$ abbildet. + + Da $A^(t t) = A$, ist die duale Abbildung $Phi^(* *)$ der dualen Abbildung + $Phi^*$ wieder die Ausgangsabbildung $Phi$. ]) == Quadriken #card( question: [Was ist eine Quadrik?], answer: [ - + Eine Quadrik im $cal(P)^n$ besteht aus den Punkten $bold(x)$, deren homogene + Koordinatenvektioren $bb(x)^t = [epsilon, bold(x)^t] x_0$ eine quadratische + Gleichung erfüllen: + $ + cal(Q)(bb(x)) &= bb(x)^t bb(Q x) \ + &= [epsilon x_0, bold(x)^t x_0] mat(q, bold(q)^t; bold(q), Q) + vec(epsilon x_0, bold(x) x_0) \ + &~ bold(x)^t Q bold(x) + 2 epsilon bold(q)^t bold(x) + q epsilon^2 \ + &= 0 + $ + ]) #card( question: [Warum können wir annehmen, dass die Matrix einer Quadrik symmetrisch ist?], answer: [ - + Da $bb(Q) + bb(Q)^t$ ebenfalls $cal(Q)$ repräsentiert, nehmen wir ohne + Einschränkung der Allgemeinheit an, dass $bb(Q) = bb(Q)^t$ symmetrisch ist. ]) #card( question: [Was ist die Fernquadrik und der affine Teil einer projektiven Quadrik?], answer: [ - + Für $epsilon = 1$, erhäld man den affinen Teil $cal(Q)_"aff"$ von $cal(Q)$ + und für $epsilon = 0$ die Fernquadrik $cal(Q)_oo$. Die Fernpunkte von + $cal(Q)$ heißen asymptotic directions und $cal(Q) = cal(Q)_"aff" union + cal(Q)_oo$ auch projektive Erweiterung von $cal(Q)_"aff"$. Die Quadrik + $cal(Q)$ heißt regulär, wenn ihre Matrix $bb(Q)$ regulär ist. ]) #card( question: [Was ist eine Quadrik in einer projektiven Gerade?], @@ -1670,32 +1847,71 @@ projektiven Quadrik?], #card( question: [Wie berechnet man die Tangentenquadrik einer Quadrik?], answer: [ - + Um die Tangentialebenen (genauer Tangentialhyperebenen) einer Quadrik + $cal(Q)$ zu bestimmen, betrachten wir zunächst einen Punkt $bold(p)$ der + Quadrik $cal(Q)$ und einer Geraden $cal(T): bb(x) = bb(p) + bb(q) lambda$ + des $cal(P)^n$. (Dabei stellt $lambda = lambda_1 / lambda_0$ eine projektive + Skala auf $cal(T) : bb(x) = bb(p) lambda_0 + bb(q) lambda_1$ dar.) Nur wenn + die Gerade $cal(T)$ die Quadrik allein im Punkt $bold(p)$ berührt oder ganz + auf der Quadrik liegt ist sie eine Tangente. Folglich ist $cal(T)$ Tangente + genau dann, wenn die quadratische Gleichung + $ + cal(Q)(bb(x)(lambda)) &= bb(x)^t bb(Q x) \ + &= bb(p)^t bb(Q p) + 2 bb(p)^t bb(Q q) lambda + bb(q)^t bb(Q q) lambda^2 \ + &= 2 bb(p)^t bb(Q p) lambda + bb(q)^t bb(Q q) lambda^2 \ + &= 0 + $ + eine doppelte Nullstelle $lambda = 0$ hat. Somit ist $cal(T)$ Tangente von + $cal(Q)$ genau dann, wenn $bb(p)^t bb(Q q) = 0$. Weiter folgt, dass die + Tangentialebene von $cal(Q)$ in $bold(p)$ die Qleichung $bb(u)^t bb(x) = + bb(q)^t bb(Q x) = 0$ hat. ]) #card( question: [Was sind Polarebenen?], answer: [ - + Für einen beliebigen Punkt $bold(p) in cal(P)^n$, definiert die Gleicuhng + $bb(p)^t bb(Q x) = 0$ die Polarebene (oder eigentlich Polarhyperebene) + $cal(P)(bold(p), cal(Q))$ von $bold(p)$ bezüglich $cal(Q)$, sofern $bold(p)$ + kein singulärer Punkt ist. Sie schneidet $cal(Q)$ in den Punkten $bold(x)$, + deren Tangentialebenen $cal(T) lt.tri bb(Q x)$ auch durch $bold(p)$ gehen. + Liegt $bold(p)$ auf $cal(Q)$, ist die Polarebene die Tangentialebene von + $cal(Q)$ in $bold(p)$. ]) #card( question: [Was bilden die Tangentialebenen einer Quadrik?], answer: [ - + Auch die Tangentialebenen einer Quadrik $cal(Q)$ bilden eine Quadrik im + Dualraum. Dazu macht man sich klar, dass ein $bb(u)$ eine Tangentialebene + von $cal(Q)$ in einem Punkt $bold(p)$ von $cal(Q)$ darstellt, falls das + homogene lineare Gleichungssystem + $ + bb(Q p) - bb(u) rho &= bb(o) \ + bb(u)^t bb(p) &= 0 + $ + für $bb(p)$ und $rho$ lösbar ist, d.h. falls $det mat(bb(Q), bb(u); bb(u)^t, + 0) = 0$. Letzteres ist eine quadratische Gleichung und stellt die duale + Quadrik $cal(Q)^*$ zu $cal(Q)$ dar. ]) #card( question: [Was ist eine Polaritat?], answer: [ - + Ist die Matirx $bb(Q)$ regulär, heißt die Korrelation $bb(x) |-> bb(x)^t + bb(Q)$ die Polarität bezüglich $cal(Q)$. Sie bildet die Punkte von $cal(Q)$ + auf die zugehörigen Tangentialebenen ab und $cal(Q)$ auf die duale Quadrik + $cal(Q)^*$, deren Punkte $bold(u) lt.tri bb(u) := bb(Q x)$ die Gleichung + $bb(u)^t bb(Q)^(-1) bb(u) = 0$ erfüllen. Polaritäten sind also Korrelationen + oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix. ]) #card( question: [Ist jede Korrelation eine Polaritat?], answer: [ - + Polaritäten sind Korrelationen oder Dualitäten mit symmetrischer Matrix. ]) #card( question: [Was bedeutet dies für den Begriff der Dualitat?], answer: [ - + Bsp. Die Dualität $bold(x) |-> cal(X)$ ist die Polarität zur leeren + regulären Quadrik $cal(Q) lt.tri bb(E)$. ]) == Harmonische Punkte und Polaritat #card( @@ -1709,7 +1925,11 @@ und y die Schnittpunkte der Geraden pq mit Q sind?], #card( question: [Was ist die Normalform einer Quadrik?], answer: [ - + Mit einer reellen Koordinatentransformation kann die Gleichung einer Quadrik + $cal(Q)$ in die Normalform $y_0^2 + ... + y_r^2 - y_(r+1)^2 - ... - + y_(r+s)^2 = 0$ und anschließend mid der komplexen Koordinatentransformation + $bb(y) = "diag"(1 ... bold(1) i ... i) bb(z)$ in die Normalform $z_0^2 + ... + + z_(r+s)^2 = 0$ überführt werden. ]) #card( question: [Wie viele projektiv verschiedene Quadriken gibt es im