feat(ggg): exam solutions for chapter 4

ggg/ggg-cards.typ

@@ -6,6 +6,8 @@
 #set math.mat(delim: "[")
 #set math.vec(delim: "[")
 
+#let TODO(args) = text(stroke: red, [TODO: #args])
+
 #let transpose(t)={
   let output=t.at(0).zip(..t.slice(1))
   output
@@ -1192,54 +1194,175 @@ Ebene und die zweier Geraden berechnen?],
   question: [Was sind homogene Koordinten, Fernpunkte und der
 Unpunkt?],
   answer: [
+    Ein Punkt $x = vec(x_1, dots.v, x_n) in cal(A)^n$ hat die homogenen
+    Koordinatnvektoren $bb(x) = vec(1, x) xi, xi != 0$, die die Vielfachen des
+    erweiterten Koordinatenvektors von $x$ sind. 
 
+    Die Mengen der Vielfachen eines Vektors $v$ ohne den Nullvektor $o$ werden
+    als ein (einziger) Fern- oder uneigentlicher Punkt mit den homogenen
+    Koordinatenvektoren $bb(v) = vec(0, v) phi, phi != 0$ betrachtet. Jedoch
+    zählt der Unpunkt $bb(o) = vec(0, o) phi, phi != 0$ nicht zu den
+    Fernpunkten.
+
+    Vielfache eines homogenen Koordinatenvektors $bb(x)$ stellen denselben Punkt
+    $x$ dar. Wir bezeichnen dies mit $bb(x) ~ bb(y) :<=> bb(x) = bb(y)phi, phi
+    != 0$, und $bb(x) lt.tri x$
 ])
 #card(
   question: [Geben Sie die Gleichungsdarstellung einer Hyperebene in
 erweiterten Koordinaten an und leiten Sie daraus die
 homogene Darstellung ab!],
 answer: [
-
+  Eine Hyperebene $cal(H): u^t x + u_0 = mat(u_0, u^t) vec(1,x) = 0$ hat die
+  homogene Darstellung $bb(u)^t bb(x) = 0$. 
 ])
 #card(
   question: [Was ist die Fernhyperebene?],
   answer: [
-    
+    Die projektive Hyperebene $cal(F): [1 0 ... 0] bb(x) = 0$ besteht aus den
+    Fernpunkten des $cal(A)^n$. Sie heißt Fern(hyper)ebene oder im $cal(A)^2$
+    auch Ferngerade. 
 ] )
 == Zentralprojektion
 #card(
   question: [Was ist eine Zentralprojektion?],
   answer: [
+    Bei einer Zentralprojektion sind nicht parallel, sondern gehen alle durch ei
+    nZentrum $a$, das auch Auge genannt wird. 
 
+    #cetz.canvas({
+      import cetz.draw: *
+      import cetz.matrix: *
+
+      let transformation = ((1,0.5 * cos(30deg),0),(0,-0.5 * sin(30),1))
+      let d = 1.3
+      let x = (2,2,1)
+
+      circle((0,0), radius: .08)
+      content((), [Auge], padding: .1, anchor: "north")
+
+      line(
+        mul-vec(transformation, (0,0,0)), 
+        mul-vec(transformation, (0,0,1)), mark: (end: "stealth"))
+      content((), $z$, anchor: "south")
+
+      line(
+        mul-vec(transformation, (0,0,0)), 
+        mul-vec(transformation, (3,0,0)), mark: (end: "stealth"))
+      content((), $x$, anchor: "west")
+
+      line(
+        mul-vec(transformation, (2,0,0)), 
+        mul-vec(transformation, (2,3,0)), mark: (end: "stealth"))
+      content((), $y$, anchor: "west")
+
+      line(
+        mul-vec(transformation, (2,2,0)), 
+        mul-vec(transformation, x))
+      content((), $bb(x)$, padding: .1, anchor: "west")
+      circle(mul-vec(transformation, x), radius: .08)
+
+      line(
+        mul-vec(transformation, (0,0,0)), 
+        mul-vec(transformation, (0,d,0)))
+      content((), $delta$, anchor: "west")
+
+      line(
+        mul-vec(transformation, (0,d,0)), 
+        mul-vec(transformation, (1.5,d,0)),
+        mul-vec(transformation, (1.5,d,1)),
+        mul-vec(transformation, (0,d,1)),
+        close: true
+      )
+
+      line(
+        mul-vec(transformation, (0,0,0)), 
+        mul-vec(transformation, x))
+
+      let y = mul-vec(((0,0,1,0),(0,d,0,0),(0,0,0,d)),(1,) + x)
+
+      circle(mul-vec(transformation, (y.at(1)/y.at(0),d,y.at(2)/y.at(0))), radius: .08)
+      content((), $bb(y)$, padding: .1, anchor: "north")
+      
+    })
+     Wir wählen das Koordinatessystem so, dass der Ursprung im
+     Projektionszentrum, dem Auge $a$ liegt und die Bildebene parallel zur $x
+     z$-Ebene ist. Das Koordinatessystem der Bildebene sei 
+     $
+       vec(0, delta, 0), vec(1,0,0), vec(0,0,1)
+     $
+     Dann hat $x = [x y z]^t$ das Bild
+     $
+       y := vec(xi, eta) = vec(x, z) delta / y
+     $
    ])
 #card(
   question: [Wie kann sie mit Matrizen beschrieben werden?],
   answer: [
-    
+    In homogenen Koordinten sieht dies so aus:
+    $
+    bb(y) = vec(1, xi, eta) omega = vec(y, x delta, z delta) phi = mat(0, ,
+    1,;0, delta,,;0,,,delta) vec(1,x,y,z) phi = P bb(x)
+    $
 ])
 #card(
   question: [Was ist die Fokaldistanz und was ist der Hauptpunkt?],
   answer: [
+    Die Fokaldistanz $delta$ ist der Abstand der Bildebene zur Kamera und
+    kontrolliert die Bildgröße.
 
+    Der Punkt $h$ der Bildebene, wo der Projektionsstrahl/das Auge senkrecht zur
+    Bildebene ist, heißt Hauptpunkt. 
 ])
 == Kamerabewegung
 #card(
   question: [Wie stellt sich eine Zentralprojektion in Matrizen dar,
 wenn das Objekt- und Kamerasystem verschieden sind?],
   answer: [
+    #TODO()[Bild]
 
+    Im Allgemeinen ist das Kamerasystme mit dem Koordinatenvektoren $dash(x) =
+    [xi delta eta]^t$ des Objektsystems bezogen, sondern über eine allgemeine
+    Koordinatentransformation $x = c + [c_1 c_2 c_3] dash(x)$, wobei sich die
+    $c$'s wie $x$ auf das Objektsystem beziehen. Wir fassen die
+    Koordinatentransformation mit Matrizen als $x = c + C dash(x)$ oder kürzer
+    als $bb(x) = mat(1, o^t; c, C) dash(bb(x)) = bb(C) dash(bb(x))$ zusammen.
+    Das zentralperspektivische Bild von $x$ hat somit die homogene Darstellung
+    $bb(y) = bb(T P C)^(-1) bb(x) = bb(A)$, wobei $bb(T)$ zusätzlch eine
+    Translation des Bildsystems beschreibt. 
+
+    Weil $C$ orthonormal ist, folgt $bb(C)^(-1) = mat(1, o^t; -C^t c, C^t)$. 
 ])
 == Fluchtpunkte
 #card(
   question: [Was versteht man unter Fluchtpunkten, de Spur, Horizont,
 Verschwindungsebene und Fluchtdreieck?],
   answer: [
+    Eine Gerade 
+    $
+    cal(G): x &= p + v lambda
+         bb(x)&= vec(1, p) + vec(0, v) lambda = bb(p) + bb(v) lambda
+    $
+    wird auf die Gerade $cal(G)': bb(A p) + bb(A v) lambda$ abgebildet, wobei
+    $bb(A)$ die Abbildungsmatrix ist. Dabei stellt $bb(A v)$ das Bild des
+    Fernpunkts $f_(cal(G))$ von $cal(G)$ dar. Es ist der Fluchtpunkt von
+    $cal(G)$ bzw. von $cal(G)'$.
 
+    Die Fluchtpunkte (der Geraden) einer Ebene $cal(E)$ bilden deren
+    Fluchtgeraden oder, wenn $cal(E)$ horizontal ist, deren Horizont. 
+
+    Der Schnitt einer Ebene $cal(E)$ mit der Bildebene heißt die Spur von
+    $cal(E)$. Sie ist parallel zu Fluchtgeraden von $cal(E)$. 
+
+    Die Ebene $cal(V)$ parallel zur Bildebene durch das Auge heißt
+    Verschwindungsebene. Sie wird auf die Ferngerade der Bildebene abgebildet,
+    aber das Auge hat kein Bild. 
 ])
 #card(
   question: [Wann sind Fluchtpunkte Fernpunkte?],
   answer: [
-    
+    Ist $cal(G)$ parallel zur Bildebene, ist ihr Fluchtpunkt ein Fernpunkt der
+    Bildebene. 
 ])
 #card(
   question: [Wo schneiden sich Spur und Fluchtgeraden einer Ebene?],
@@ -1251,7 +1374,20 @@ Verschwindungsebene und Fluchtdreieck?],
   question: [Erklären Sie, was die Spalten und Elemente der Matrix
 einer Zentralperspektive bedeuten!],
   answer: [
+    Eine Zentralperspektive hat die Darstellung $bb(y) = bb(A x)$ und
+    ausführlicher
+    $
+      vec(epsilon, y) rho = mat(1 alpha, epsilon_1 alpha_1, epsilon_2 alpha_2, 
+      epsilon_3 alpha_3; a alpha, a_1 alpha_1, a_2 alpha_2, a_3 alpha_3) vec(e,
+    x)
+    $
+    wobei $epsilon, epsilon_1, epsilon_2, epsilon_3, e in {0,1}$ und $alpha_i !=
+    0 != alpha$. Dabei wird vorausgesetzt, dass $[1, o]^t$ nicht in der
+      Verschwindungsebene liegt. 
 
+      Die Spalten von $bb(A)$ repräsentieren das Bild des Objektsystems, $a$ das
+      Bild des Ursprungs $[1, o]^t$ und $[epsilon_i, a_i]^t$ den Fluchtpunkt
+      $f_i$ der i-Achse. 
   ])
 == Kameradaten
 #card(
@@ -1259,13 +1395,37 @@ einer Zentralperspektive bedeuten!],
 Hauptrichtungsvektor, den Hauptpunkt und die
 Fokaldistanz aus der Matrix einer Zentralperspektive?],
   answer: [
+    Die Verschwindungsebene hat die Gleichung $
+    epsilon rho &= epsilon_1 alpha_1 x + epsilon_2 alpha_2 y + epsilon_3 alpha_3 z + alpha e \
+                &= [alpha epsilon_1 alpha_1, epsilon_2 alpha_2, epsilon_3,
+                alpha_3] vec(e, x, y, z) \
+                &= 0
+    $
+    und den nicht normierten Normalenvektor $n:= [epsilon_1 alpha_1, epsilon_2,
+    alpha_2, epsilon_3 alpha_3]$. Seine Vielfachen $n rho$ mit $rho != 0$ sind
+    die Hauptrichtungsvektoren. Das Auge $c$ wird durch den Lösung von $bb(A c)
+    = bb(o)$ repräsentiert und der Hauptpunkt durch $bb(h) = bb(A) vec(0, n)$,
+    woraus $h = sum a_i lambda_i$ mit $lambda_i = (epsilon_i alpha_i^2)/(n^t n)$
+    folgt. 
 
+    Die Fokaldistanz $delta$ lässt sich aus dem Hauptrichtungsvektor $n$ und
+    einem Vektor $v$ im Winkel von 45° zu $n$ ermitteln, da sie dem Abstand von
+    $f lt.tri bb(A v)$ zu $h$ entspricht. 
 ])
 #card(
   question: [Warum ist der Hauptpunkt der Höhenpunkt des
 Fluchtdreiecks?],
   answer: [
+    Jede $(3 times 4)$-Matrix $bb(A) = mat(1, alpha_1, alpha_2, alpha_3; a, a_1
+    alpha_1, a_2 alpha_2, a_3 alpha_3)$ vom Rang 3 repräsentiert eine
+    3-Punkt-Perspektive genau dann, wenn $h = sum a_i a_i^2 / (a_1^2 + a_2^2 +
+    a_3^2)$
+    der Höhepunkt des Dreiecks $a_1 a_2 a_3$ ist. 
 
+    Diese Bedingung ergibt sich aus Abschnitt 4.6 und sie beinhaltet zwei
+    Bedingungen, nämlich je eine für beide Koordinaten von h. Im Übrigen ist das
+    Fluchtdreieck einer 3-Punkt-Perspektive immer spitzwinklig, da alle $alpha_i
+    > 0$, weswegen der Hauptpunkt im Dreiecksinneren liegt.
 ])
 == Fluchtpunkte des Systems
 #card(
@@ -1273,14 +1433,34 @@ Fluchtdreiecks?],
 erkennen, ob und welche i-Punkt-Perspektive eine Matrix
 darstellt?],
   answer: [
+    Die Matirx $bb(A) = mat(epsilon_0 alpha, epsilon_1 alpha_1, epsilon_2
+    alpha_2, epsilon_3 alpha_3; a alpha, a_1 alpha_1, a_2 alpha_2, a_3 alpha_3)$
+    (vom Rang 3), repräsentiert eine i-Punkt-Perspektive, wobei $i = epsilon_1 +
+    epsilon_2, epsilon_3$. 
 
+    0-Punkt: $epsilon_i = 0$ \
+    1-Punkt: $epsilon_2 = 1, norm(a_1) = norm(a_3), a_1  bot a_3$ \
+    2-Punkt: $epsilon_1 = epsilon_2 = 1, a_3 bot a_2 - a_1, norm(a_3) sqrt(a_1^1
+    + a_2^2) = abs(alpha_1 alpha_2) norm(a_2 - a_1)$ \
+    3-Punkt: $epsilon_{1,2,3} = 1, h = sum a_i alpha_i^2 / (alpha_1^2 +
+    alpha_2^2 + alpha_3^2)$ der Höhenpunkt des Dreiecks $a_1 a_2 a_3$ ist. 
 ])
 == Urbilder
 #card(
   question: [Wie berechnet man das Urbild eines Punkts und einer
 Geraden unter einer Zentralperspektive?],
   answer: [
+    Möchten wir bei bekannter Matrix $bb(A)$ einer Zentralprojektion zu einem
+    gegbenen Bildpunkt $y$ den Urbildpunkt $x$ bestimmen, haben wir diese drei
+    Gleichungen für vier Unbekannte zu läsen: $bb(A) vec(1, x) omega = vec(1,
+    y)$. 
 
+    Eine Gerade $cal(V): bb(v)^t bb(y) = 0$ der Bildebene hat die Ebene $cal(U)
+    : bb(v)^t bb(A) vec(1,x) xi = bb(u)^t vec(1, x) xi = 0$ als Urbild und, wenn
+    wir $xi$ jeweils streichen, erhalten wir über zwei Geraden durch $y$ zwei
+    Gleichungen für die rdei Koordinaten des gesuchten Punkts $x$. Weitere
+    Geraden durch $y$ sind von den ersten beiden abhängig und führen nur zu
+    abhängigen Gleichungen. 
 ])
 
 == Kamerakalibrierung
@@ -1288,7 +1468,15 @@ Geraden unter einer Zentralperspektive?],
   question: [Wie kann man die Matrix bestimmen, die zu einem
 zentralperspektivischen Bild gehört?],
   answer: [
+    Die Gleichung $bb(v)^t bb(A) = sum v_i a_(i j) x_j = 0$ ist linear in den 12
+    Matrixelemenden $a_(i j)$. Kennt man sechts Pankte $x$ und ihre Bilder $y$,
+    kann man $bb(A)$ folglich daraus berchenen. 
 
+    Da $bb(A)$ homogen ist und zwei Bedingungen genügt, reichen zur Bestimmung
+    von $bb(A)$ sogar nur 4,5 Pankte, d.h. vier Punkte mit je zwei Geraden und
+    ein Punkt mit einer Geraden. Mehr zu kennen hilft aber numerische Fehler
+    entgegenzuwirken. Man bekommt dann überbestimmte Gleichungssysteme, die mit
+    Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate gelöst werden. 
 ])
 #card(
   question: [Wie viele Freiheitsgrade hat man für diese Matrizen und