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TeX
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\documentclass[11pt, a4paper, twoside]{article}
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\usepackage[
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a4paper,
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headsep=5mm,
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footskip=0mm,
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top=12mm,
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left=10mm,
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right=10mm,
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bottom=10mm
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]{geometry}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{makecell}
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\usepackage{multicol}
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\usepackage[noend]{algorithm2e}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{fancyhdr}
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning, graphs, graphdrawing}
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\usegdlibrary {trees}
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\usepackage{hyperref}
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\hypersetup{
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colorlinks=true,
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linkcolor=blue,
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filecolor=magenta,
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urlcolor=cyan,
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pdftitle={Overleaf Example},
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pdfpagemode=FullScreen,
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}
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\setlength{\algomargin}{0pt}
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\begin{document}
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\pagestyle{fancy}
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\fancyhead{}
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\fancyhead[L]{Theoretische Grundlagen der Informatik}
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\fancyhead[R]{Gero Beckmann - \url{https://github.com/Geronymos/}}
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\fancyfoot{}
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\fancyfoot[R]{\thepage}
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\newenvironment{definition}[1]{\noindent\textbf{#1:}}{}
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\section{Chomsky-Hierarchie}
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\hspace*{-.5cm}
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\begin{tabular}{ l l l l l }
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Chomsky & Wortproblem & Definition & Bsp & Maschinenmodell \\
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Typ 0 &
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semi-entscheidbar &
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\makecell{$G = (\Sigma, V, S, R)$ \\ $R beliebig$ }&
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universelle Sprache &
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NTM/DTM akzeptiert L \\
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Typ 1 &
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NP-Schwer &
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\makecell{$u \rightarrow v, |u| \leq |v|$ \\ $u \in V^+, S \notin V$ \\ $S \rightarrow \epsilon$ } &
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$L = \{ a^ib^ic^i | i \leq 1 \}$ &
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\makecell[l]{NTM mit Platzbedarf n \\ erkennt Wörter der Länge n in L \\ $\Rightarrow NTAPE(n)$ } \\
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Typ 2 &
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polynomiell &
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\makecell{$A \rightarrow v, A \in V$ \\ $v beliebig$} &
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$L = \{ a^ib^i | i \leq 1\}$ &
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CYK-Alg. erkennt L in polynom. Zeit, Chomsky-NF, NPDA \\
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Typ 3 &
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linear &
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\makecell{$A \rightarrow v, A \in V$ \\ $V \in \epsilon \cup \Sigma \cdot V$} &
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$L = \{ a^i | i \leq 1 \}$ &
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|
NEA/DEA erkennt L \\
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\end{tabular}
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\subsection{Automaten}
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DEA $A = (Q, \Sigma, \delta: Q \times \Sigma \rightarrow Q, s \in Q, F \subseteq Q)$ \\
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NEA $A = (Q, \Sigma, \delta: Q \times (\Sigma \cup \{ \epsilon \} \rightarrow 2^Q, s \in Q, F \subseteq Q)$ \\
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|
NPDA $M = (Q, \Sigma, \Gamma, q_0 \in Q, \delta: Q \times (\Sigma \cup
|
|
\{\epsilon\}) \times \Gamma \rightarrow 2^{Q \times \Gamma*}, F \subseteq Q)$ \\
|
|
DPDA \\
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|
DTM $M = (Q, \Sigma, \sqcup \notin \Sigma, \Gamma \supseteq \Sigma \cup
|
|
\{\sqcup\}, s \in Q, \delta: Q \times \Gamma \rightarrow Q \times \Gamma \times
|
|
\{L, R, N \}, F \subseteq Q)$ \\
|
|
NTM $M = (Q, \Sigma, \sqcup \notin \Sigma, \Gamma \supseteq \Sigma \cup
|
|
\{\sqcup\}, s \in Q, \delta: Q \times (\Gamma \cup \{\epsilon\}) \rightarrow 2^{Q \times \Gamma \times
|
|
\{L, R, N \}}, F \subseteq Q)$ \\
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\subsection{Pumping-Lemma}
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\begin{multicols}{2}
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Erfüllt:
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\begin{itemize}
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|
\item["$\exists$"] Wähle $n = 2$
|
|
\item["$\forall$"] Betrachte beliebiges $w \in L$ mit $|w| > 2$
|
|
\item["$\exists$"] Wähle zerlegung $w = uvx$ mit $u = \epsilon, v = aa, x=a^{2(j-1)}$
|
|
\item["$\forall$"] Für alle $i \in \mathbb{N}_0: uv^ix = a^{2i}a^2(j-1) = a^{2(i+j-1)} \in L$
|
|
\end{itemize}
|
|
Widerlegen:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item["$\exists$"] Wähle $n = 2$
|
|
\item["$\forall$"] Betrachte beliebiges $w \in L$ mit $|w| > 2$
|
|
\item["$\exists$"] Wähle zerlegung $w = uvx$ mit $u = \epsilon, v = aa, x=a^{2(j-1)}$
|
|
\item["$\forall$"] Für alle $i \in \mathbb{N}_0: uv^ix = a^{2i}a^2(j-1) = a^{2(i+j-1)} \in L$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{multicols}
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|
\hspace{-1cm}
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|
\begin{minipage}[t]{.5\textwidth}
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|
\subsubsection{Potenzmengenkonstuktion NEA $\rightarrow$ DEA}
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|
\begin{minipage}{.5\textwidth}
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|
\begin{tabular}{c | c | c}
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|
Zustand & a & b \\
|
|
\hline
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|
$\{\underline{s}\}$ & $\{s, q_1\}$ & $\{f\}$ \\
|
|
$\{\underline{s}, q_1\}$ & $\{s, q_1\}$ & $\{f, q_2\}$ \\
|
|
$\{f\}$ & $\{f\}$ & $\{f\}$ \\
|
|
$\{f, q_2\}$ & $\{f\}$ & $\{f, q_1, q_2\}$ \\
|
|
$\{f, \underline{s}\}$ & $\{f, s, q_1\}$ & $\{f\}$ \\
|
|
$\{f, \underline{s}, q_1\}$ & $\{f, s, q_1\}$ & $\{f, q_2\}$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{.4\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[initial text=,shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
|
|
|
|
\node[state,initial,accepting] (S) {$S$};
|
|
\node[state] (q_1) [right of=S] {$q_1$};
|
|
\node[state] (q_2) [below of=q_1] {$q_2$};
|
|
\node[state] (f) [below of=S] {$f$};
|
|
|
|
\path[->]
|
|
(S) edge [loop above] node {a} ()
|
|
(S) edge node [below] {a} (q_1)
|
|
(S) edge node [left] {b} (f)
|
|
(q_1) edge [bend right] node [above] {a} (S)
|
|
(q_1) edge node [below] {b} (q_2)
|
|
(q_2) edge [bend right] node [above] {b} (q_1)
|
|
(q_2) edge [loop right] node {b} ()
|
|
(q_2) edge node {a} (f)
|
|
(f) edge [loop left] node {a,b} ()
|
|
;
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}[t]{.55\textwidth}
|
|
\subsubsection{Entfernen von $\epsilon$-Übergängen}
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|
\begin{minipage}{.5\textwidth}
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|
\begin{tabular}{c | c | c}
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|
Zustand & a & b \\
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|
\hline
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|
$S$ & $q_1$ & $S, q_1, q_2, q_3$ \\
|
|
$q_1$ & $q_2, q_3$ & $q_3$ \\
|
|
$q_2$ & $q_1$ & $S, q_2, q_3$ \\
|
|
$q_3$ & $q_1$ & $S, q_2, q_3$ \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{.5\textwidth}
|
|
\begin{tikzpicture}[initial text=,shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
|
|
|
|
\node[state,initial] (S) {$S$};
|
|
\node[state,accepting] (q_1) [right of=S] {$q_1$};
|
|
\node[state,accepting] (q_2) [below of=q_1] {$q_2$};
|
|
\node[state] (q_3) [below of=S] {$q_3$};
|
|
|
|
\path[->]
|
|
(S) edge node {b} (q_1)
|
|
(S) edge node [above left] {$\epsilon$} (q_2)
|
|
(q_1) edge node {a} (q_2)
|
|
(q_1) edge [bend left] node [above right] {b} (q_3)
|
|
(q_2) edge node {\epsilon} (q_3)
|
|
(q_3) edge node [below left] {a} (q_1)
|
|
(q_3) edge node {b} (S)
|
|
(q_3) edge [loop left] node {b} ()
|
|
;
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{\textwidth}
|
|
\begin{minipage}[t]{.35\textwidth}
|
|
\vspace{0pt}
|
|
\begin{tikzpicture}[initial text=,shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
|
|
|
|
\node[state,initial] (S) {$S$};
|
|
\node[state] (p) [right of=S] {$p$};
|
|
\node[state] (q) [right of=p] {$q$};
|
|
\node[state] (t) [below of=p] {$t$};
|
|
\node[state,accepting] (r) [below of=q] {$r$};
|
|
\node[state] (v) [below of=t] {$v$};
|
|
\node[state] (u) [below of=r] {$u$};
|
|
|
|
\path[->]
|
|
(S) edge [loop above] node {0} ()
|
|
(S) edge node {1} (p)
|
|
(p) edge [loop above] node {1} ()
|
|
(p) edge node {0} (q)
|
|
(q) edge [bend left] node {0} (S)
|
|
(q) edge node {1} (r)
|
|
(t) edge node [right] {0} (S)
|
|
(t) edge [bend right] node {1} (r)
|
|
(r) edge [bend right] node [above] {0} (t)
|
|
(r) edge node {1} (u)
|
|
(v) edge node {0} (S)
|
|
(v) edge node[left] {1} (r)
|
|
(u) edge node {0} (v)
|
|
(u) edge [loop right] node {1} ()
|
|
;
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}[t]{.17\textwidth}
|
|
\vspace{1cm}
|
|
\begin{tikzpicture} [binary tree layout]
|
|
\node[align=center] (1) {s,p,q,r,t,a,v \\ $\epsilon$ trennt}
|
|
child {
|
|
node {r}
|
|
}
|
|
child { node[align=center] {s,p,q,t,u,v \\ 1 trennt}
|
|
child { node[align=center] {s,p,u \\ 0 trennt}
|
|
child { node {s} }
|
|
child { node {p,u} }
|
|
}
|
|
child{
|
|
node {q,t,v}
|
|
}
|
|
};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}[t]{.4\textwidth}
|
|
\vspace{0pt}
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|
\subsection{Minimierung von Automaten}
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\begin{tikzpicture}[initial text=,shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
|
|
|
|
\node[state,initial] (S) {$[S]$};
|
|
\node[state] (p) [right of=S] {$[p]$};
|
|
\node[state] (q) [right of=p] {$[q]$};
|
|
\node[state,accepting] (r) [right of=q] {$[r]$};
|
|
|
|
\path[->]
|
|
(S) edge [loop above] node {0} ()
|
|
(S) edge node {1} (p)
|
|
(p) edge [loop above] node {1} (p)
|
|
(p) edge node {0} (q)
|
|
(q) edge[bend left] node {0} (S)
|
|
(q) edge node {1} (r)
|
|
(r) edge[bend right] node [above] {1} (p)
|
|
;
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{minipage}
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\subsection{Nerode-Relation}
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\subsection{Chomsky-NF}
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\begin{enumerate}
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\item ersetze alle $a \in \Sigma$ in regeln durch neue Variable $Y_a$ und füge
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$Y_a \rightarrow a$ hinzu.
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\item ersetze $A \rightarrow B_1...B_m$ mit $m > 2$ durch $A \rightarrow B1C1,
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C_i \rightarrow B_{i+1}C_{i+1}, C_{m-2} \rightarrow B_{m-1}B_m$ für $1 \leq
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i < m-2$
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\item \begin{enumerate}
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|
\item Finde die Menge V' aller Variablen A für die $A \rightarrow^* \epsilon$ existiert
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\item Streiche alle Regeln $A \rightarrow \epsilon$; Für $A \rightarrow
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|
BC$ füge ein $A \rightarrow B falls C \in V'$, $A \rightarrow B falls B \in V'$
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|
\end{enumerate}
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\item \begin{enumerate}
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|
\item Finde alle Kreise $A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow ...
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|
\rightarrow A_n \rightarrow A_1$. Ersetze alle $A_i$ durch $A_1$ (rechts und links)
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\item Für jede regel $A \rightarrow B$ und jede Regel $B \rightarrow
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|
C$ füge Regel $A \rightarrow C$ hinzu, lösche Regel $A \rightarrow B$
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|
\end{enumerate}
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|
\end{enumerate}
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Falls $S \rightarrow^* \epsilon$ existierte, füge Startsymbol S' mit Regel $S'
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\rightarrow S | \epsilon$ hinzu.
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\section{Kellerautomaten}
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\section{NP-Vollständigkeit}
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Falls $L_1, L_2 \in NP, L_1 \propto L_2$ und $L_1$ NP-Schwer, dann ist auch
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$L_2$ NP-Schwer. "reduziere polynomiell von $L_1$ auf $L_2$"
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\subsection{$4COLOR \in NP$}
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Einen Lösungsvorschlag können wir in $O(|E|)$ verifizieren, indem wir für jede
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Kante $\{u,v\}$ überprüffen, ob $c(u) \neq c(v)$.
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\subsection{$3COLOR \propto 4COLOR$}
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\subsubsection{Transformation}
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Sei $G = (V,E)$ eine 3COLOR Instanz. Erstelle dann eine 4COLOR Instanz $G' =
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(V', E')$ mit $V' = V \cup \{u\}, E' = E \cup \{\{w,u\} | u \in V\}$. Die
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Transformation ist polynomial.
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\subsubsection{Äquivalenz/Korrektheit}
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Sei $G = (V,E)$ eine 3COLOR Instanz mit Lösung c. Dann ist c'(u) = c(u), u \in V
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mit c'(w) = 3 eine Lösung für die 4COLOR Insanz G', da nach Voraussetzung kein
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Nachbar von w die farbe 3 haben kann.
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Sei $G' = (V', E')$ eine 4COLOR Instanz mit Lösung c. Dann ist $c = c'|_v$ eine
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Lösung für die 4COLOR Instanz G' da per Konstruktion kein Knoten die leiche
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Farbe wie w haben kann.
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\section{Approximationsalgorithmen}
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\begin{tabular}{l c c}
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Approximationsalforithmen & Minimierungsproblem & Maximierungsproblem \\
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Absolute Approxomation (additiver Fehler) & $A(I) \leq OPT(I) + K$ & $A(I) \geq OPT(I) - K$ \\
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Relative Approxomation (multiplikativer Fehler) & $A(I) \leq OPT(I) \cdot K$ & $A(I) \geq \frac{OPT(I)}{K}$ \\
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|
$R_A(I)$ & $\frac{A(I)}{OPT(I)}$ & $\frac{OPT(I)}{A(I)}$
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\end{tabular}
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\section{Huffman-Kodierung}
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|
\end{document}
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