NP-complete, Chomsky-NF, layout
This commit is contained in:
parent
6e80f36996
commit
2eeef31091
142
sheet.tex
142
sheet.tex
|
|
@ -41,7 +41,7 @@
|
|||
\section{Chomsky-Hierarchie}
|
||||
\hspace*{-.5cm}
|
||||
\begin{tabular}{ l l l l l }
|
||||
Chomsky-Typ & Wortproblem & Definition & Bsp & Maschinenmodell \\
|
||||
Chomsky & Wortproblem & Definition & Bsp & Maschinenmodell \\
|
||||
|
||||
Typ 0 &
|
||||
semi-entscheidbar &
|
||||
|
|
@ -53,7 +53,7 @@
|
|||
NP-Schwer &
|
||||
\makecell{$u \rightarrow v, |u| \leq |v|$ \\ $u \in V^+, S \notin V$ \\ $S \rightarrow \epsilon$ } &
|
||||
$L = \{ a^ib^ic^i | i \leq 1 \}$ &
|
||||
\makecell{NTM mit Platzbedarf n \\ erkennt Wörter der Länge n in L \\ $\Rightarrow NTAPE(n)$ } \\
|
||||
\makecell[l]{NTM mit Platzbedarf n \\ erkennt Wörter der Länge n in L \\ $\Rightarrow NTAPE(n)$ } \\
|
||||
|
||||
Typ 2 &
|
||||
polynomiell &
|
||||
|
|
@ -70,11 +70,16 @@
|
|||
|
||||
\subsection{Automaten}
|
||||
DEA $A = (Q, \Sigma, \delta: Q \times \Sigma \rightarrow Q, s \in Q, F \subseteq Q)$ \\
|
||||
NEA $A = (Q, \Sigma, \delta: Q \times (\Sigma \cup \{ \epsilon \} \rightarrow 2^Q, s \in Q, F \subseteq Q)$
|
||||
NPDA \\
|
||||
NEA $A = (Q, \Sigma, \delta: Q \times (\Sigma \cup \{ \epsilon \} \rightarrow 2^Q, s \in Q, F \subseteq Q)$ \\
|
||||
NPDA $M = (Q, \Sigma, \Gamma, q_0 \in Q, \delta: Q \times (\Sigma \cup
|
||||
\{\epsilon\}) \times \Gamma \rightarrow 2^{Q \times \Gamma*}, F \subseteq Q)$ \\
|
||||
DPDA \\
|
||||
DTM \\
|
||||
NTM \\
|
||||
DTM $M = (Q, \Sigma, \sqcup \notin \Sigma, \Gamma \supseteq \Sigma \cup
|
||||
\{\sqcup\}, s \in Q, \delta: Q \times \Gamma \rightarrow Q \times \Gamma \times
|
||||
\{L, R, N \}, F \subseteq Q)$ \\
|
||||
NTM $M = (Q, \Sigma, \sqcup \notin \Sigma, \Gamma \supseteq \Sigma \cup
|
||||
\{\sqcup\}, s \in Q, \delta: Q \times (\Gamma \cup \{\epsilon\}) \rightarrow 2^{Q \times \Gamma \times
|
||||
\{L, R, N \}}, F \subseteq Q)$ \\
|
||||
|
||||
\subsection{Pumping-Lemma}
|
||||
|
||||
|
|
@ -95,9 +100,10 @@ Widerlegen:
|
|||
\end{itemize}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
Potenzmengenkonstuktion NEA $\rightarrow$ DEA
|
||||
|
||||
\hspace{-1cm}
|
||||
\begin{minipage}[t]{.5\textwidth}
|
||||
\subsubsection{Potenzmengenkonstuktion NEA $\rightarrow$ DEA}
|
||||
\begin{minipage}{.5\textwidth}
|
||||
\begin{tabular}{c | c | c}
|
||||
Zustand & a & b \\
|
||||
\hline
|
||||
|
|
@ -108,13 +114,14 @@ Potenzmengenkonstuktion NEA $\rightarrow$ DEA
|
|||
$\{f, \underline{s}\}$ & $\{f, s, q_1\}$ & $\{f\}$ \\
|
||||
$\{f, \underline{s}, q_1\}$ & $\{f, s, q_1\}$ & $\{f, q_2\}$ \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{.4\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[initial text=,shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
|
||||
|
||||
\node[state,initial,accepting] (S) {$S$};
|
||||
\node[state] (q_1) [right of=S] {$q_1$};
|
||||
\node[state] (q_2) [right of=q_1] {$q_2$};
|
||||
\node[state] (f) [below of=q_1] {$f$};
|
||||
\node[state] (q_2) [below of=q_1] {$q_2$};
|
||||
\node[state] (f) [below of=S] {$f$};
|
||||
|
||||
\path[->]
|
||||
(S) edge [loop above] node {a} ()
|
||||
|
|
@ -129,11 +136,11 @@ Potenzmengenkonstuktion NEA $\rightarrow$ DEA
|
|||
;
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
Entfernen von $\epsilon$-Übergängen
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}[t]{.55\textwidth}
|
||||
\subsubsection{Entfernen von $\epsilon$-Übergängen}
|
||||
\begin{minipage}{.5\textwidth}
|
||||
\begin{tabular}{c | c | c}
|
||||
Zustand & a & b \\
|
||||
\hline
|
||||
|
|
@ -142,7 +149,8 @@ Entfernen von $\epsilon$-Übergängen
|
|||
$q_2$ & $q_1$ & $S, q_2, q_3$ \\
|
||||
$q_3$ & $q_1$ & $S, q_2, q_3$ \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[initial text=,shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
|
||||
|
||||
\node[state,initial] (S) {$S$};
|
||||
|
|
@ -162,9 +170,11 @@ Entfernen von $\epsilon$-Übergängen
|
|||
;
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
Minimierung von Automaten
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{\textwidth}
|
||||
\begin{minipage}[t]{.35\textwidth}
|
||||
\vspace{0pt}
|
||||
\begin{tikzpicture}[initial text=,shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
|
||||
|
||||
\node[state,initial] (S) {$S$};
|
||||
|
|
@ -193,7 +203,28 @@ Minimierung von Automaten
|
|||
;
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}[t]{.17\textwidth}
|
||||
\vspace{1cm}
|
||||
\begin{tikzpicture} [binary tree layout]
|
||||
\node[align=center] (1) {s,p,q,r,t,a,v \\ $\epsilon$ trennt}
|
||||
child {
|
||||
node {r}
|
||||
}
|
||||
child { node[align=center] {s,p,q,t,u,v \\ 1 trennt}
|
||||
child { node[align=center] {s,p,u \\ 0 trennt}
|
||||
child { node {s} }
|
||||
child { node {p,u} }
|
||||
}
|
||||
child{
|
||||
node {q,t,v}
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}[t]{.4\textwidth}
|
||||
\vspace{0pt}
|
||||
\subsection{Minimierung von Automaten}
|
||||
\begin{tikzpicture}[initial text=,shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
|
||||
|
||||
\node[state,initial] (S) {$[S]$};
|
||||
|
|
@ -212,42 +243,71 @@ Minimierung von Automaten
|
|||
;
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture} [binary tree layout]
|
||||
\node[align=center] (1) {s,p,q,r,t,a,v \\ $\epsilon$ trennt}
|
||||
child {
|
||||
node {r}
|
||||
}
|
||||
child { node[align=center] {s,p,q,t,u,v \\ 1 trennt}
|
||||
child { node[align=center] {s,p,u \\ 0 trennt}
|
||||
child { node {s} }
|
||||
child { node {p,u} }
|
||||
}
|
||||
child{
|
||||
node {q,t,v}
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\subsection{Nerode-Relation}
|
||||
|
||||
\subsection{Chomsky-NF}
|
||||
|
||||
\section{NP-Vollständigkeit}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item ersetze alle $a \in \Sigma$ in regeln durch neue Variable $Y_a$ und füge
|
||||
$Y_a \rightarrow a$ hinzu.
|
||||
\item ersetze $A \rightarrow B_1...B_m$ mit $m > 2$ durch $A \rightarrow B1C1,
|
||||
C_i \rightarrow B_{i+1}C_{i+1}, C_{m-2} \rightarrow B_{m-1}B_m$ für $1 \leq
|
||||
i < m-2$
|
||||
\item \begin{enumerate}
|
||||
\item Finde die Menge V' aller Variablen A für die $A \rightarrow^* \epsilon$ existiert
|
||||
\item Streiche alle Regeln $A \rightarrow \epsilon$; Für $A \rightarrow
|
||||
BC$ füge ein $A \rightarrow B falls C \in V'$, $A \rightarrow B falls B \in V'$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item \begin{enumerate}
|
||||
\item Finde alle Kreise $A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow ...
|
||||
\rightarrow A_n \rightarrow A_1$. Ersetze alle $A_i$ durch $A_1$ (rechts und links)
|
||||
\item Für jede regel $A \rightarrow B$ und jede Regel $B \rightarrow
|
||||
C$ füge Regel $A \rightarrow C$ hinzu, lösche Regel $A \rightarrow B$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Falls $S \rightarrow^* \epsilon$ existierte, füge Startsymbol S' mit Regel $S'
|
||||
\rightarrow S | \epsilon$ hinzu.
|
||||
|
||||
\section{Kellerautomaten}
|
||||
|
||||
\section{NP-Vollständigkeit}
|
||||
|
||||
Falls $L_1, L_2 \in NP, L_1 \propto L_2$ und $L_1$ NP-Schwer, dann ist auch
|
||||
$L_2$ NP-Schwer. "reduziere polynomiell von $L_1$ auf $L_2$"
|
||||
|
||||
\subsection{$4COLOR \in NP$}
|
||||
Einen Lösungsvorschlag können wir in $O(|E|)$ verifizieren, indem wir für jede
|
||||
Kante $\{u,v\}$ überprüffen, ob $c(u) \neq c(v)$.
|
||||
|
||||
\subsection{$3COLOR \propto 4COLOR$}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Transformation}
|
||||
|
||||
Sei $G = (V,E)$ eine 3COLOR Instanz. Erstelle dann eine 4COLOR Instanz $G' =
|
||||
(V', E')$ mit $V' = V \cup \{u\}, E' = E \cup \{\{w,u\} | u \in V\}$. Die
|
||||
Transformation ist polynomial.
|
||||
|
||||
\subsubsection{Äquivalenz/Korrektheit}
|
||||
Sei $G = (V,E)$ eine 3COLOR Instanz mit Lösung c. Dann ist c'(u) = c(u), u \in V
|
||||
mit c'(w) = 3 eine Lösung für die 4COLOR Insanz G', da nach Voraussetzung kein
|
||||
Nachbar von w die farbe 3 haben kann.
|
||||
|
||||
Sei $G' = (V', E')$ eine 4COLOR Instanz mit Lösung c. Dann ist $c = c'|_v$ eine
|
||||
Lösung für die 4COLOR Instanz G' da per Konstruktion kein Knoten die leiche
|
||||
Farbe wie w haben kann.
|
||||
|
||||
\section{Approximationsalgorithmen}
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{l c c}
|
||||
Approximationsalforithmen & Minimierungsproblem & Maximierungsproblem \\
|
||||
Absolute Approxomation (additiver Fehler) & $A(I) \leq OPT(I) + K$ & $A(I) \geq OPT(I) - K$ \\
|
||||
Relative Approxomation (multiplikativer Fehler) & $A(I) \leq OPT(I) \cdot K$ & $A(I) \geq \frac{OPT(I)}{K}$ \\
|
||||
$R_A(I)$ & $\frac{A(I)}{OPT(I)}$ & $\frac{OPT(I)}{A(I)}$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\section{Huffman-Kodierung}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue