Bachelor-Nachpruefung.tex (14611B)
1 \documentclass[a4paper]{article} 2 \usepackage{german} 3 \usepackage{stmaryrd} 4 \usepackage{pifont} 5 \usepackage{graphicx} 6 \usepackage{multirow} 7 \usepackage{color} 8 \usepackage{amsfonts} 9 \usepackage{amssymb} 10 \usepackage{multicol} 11 \usepackage{hyperref} 12 \hypersetup{ 13 colorlinks=true, 14 linkcolor=blue, 15 filecolor=magenta, 16 urlcolor=cyan, 17 pdftitle={Overleaf Example}, 18 pdfpagemode=FullScreen, 19 } 20 \usepackage{mathtools} 21 \DeclarePairedDelimiter\ev{\langle}{\rangle}% 22 \title{Fragebogen zu m"undlichen Pr"ufungen} 23 24 \pagestyle{empty} 25 26 \topmargin=-2cm 27 \headheight=0cm 28 \headsep=0cm 29 \textheight=28cm 30 \footskip=0cm 31 32 \oddsidemargin=-1cm 33 \evensidemargin=-1cm 34 \textwidth=18cm 35 \parindent=0cm 36 37 % Sind wir denn ein PDF? 38 % Code aus ifpdf.sty aber die Abhaengigkeit waere bloed. 39 \newif\ifpdf 40 \ifx\pdfoutput\undefined 41 \else 42 \ifx\pdfoutput\relax 43 \else 44 \ifcase\pdfoutput 45 \else 46 \pdftrue 47 \fi 48 \fi 49 \fi 50 51 52 \begin{document} 53 \begin{tabular}{p{1.6cm}p{15cm}} 54 55 \vspace{-0.8cm} 56 \multirow{2}{1.6cm}{ \includegraphics[width=16mm]{FS-Eule}} & 57 58 \vskip 0.7cm 59 \Large Fragebogen der Fachschaft zu \\ 60 & \Large {\bfseries m"undlichen Vordiplomspr\"ufungen} im Informatikstudium 61 \\ 62 \end{tabular} 63 64 \begin{tabular}{p{8.5cm}|p{7cm}} 65 Dieser Fragebogen gibt den KommilitonInnen, die nach 66 Dir die Pr"ufung ablegen wollen, einen Einblick in Ablauf 67 und Inhalt der Pr"ufung. Das erleichtert die Vorbereitung. & 68 \multirow{6}{7cm}{ 69 \begin{center} 70 Barcode: 71 \begin{tabular}{p{0.2cm}p{6.8cm}p{0.2cm}} 72 $\ulcorner$ 73 \vskip 2cm 74 $\llcorner$ & & $\urcorner$ 75 \vskip 2cm 76 $\lrcorner$ \\ 77 \end{tabular} 78 \end{center} 79 \textbf{Fach:} 80 \begin{tabular}{lllll} 81 %% entsprechende \boxempty durch \boxtimes ersetzen. 82 $\boxtimes$ LA II Info 83 % Algo I $\boxempty$ Algo II $\boxempty$ Betriebssysteme $\boxempty$ GdI $\boxempty$ HM\\ 84 % $\boxempty$ KomDat $\boxempty$ Programmierparadigmen $\boxempty$ SWT I \\ 85 % $\boxempty$ Theoretische Grundlagen der Informatik $\boxempty$ TI 86 \end{tabular} 87 } \\[10pt] 88 Bitte verwende zum Ausf"ullen einen schwarzen Stift. & \\ 89 Das erleichtert das Einscannen. & \\[0.5cm] 90 %% Bitte Pruefungsdatum, PrueferIn und BeisitzerIn eintragen. 91 \textbf{Pr"ufungsdatum:}..........................................19.04.2023 & \\[0.5cm] 92 \textbf{Pr"uferIn (Prof.):}.......................PD Dr. Gabriele Link & \\[0.5cm] 93 \textbf{BeisitzerIn:}...............................M. Sc. Sebastian Plenz & \\ 94 \end{tabular} 95 96 \begin{tabular}{|p{7cm}|p{2cm}|p{7.75cm}|} 97 \hline 98 Veranstaltung & Jahr & regelm"a"sig besucht? \\ 99 \hline 100 %% Beispiel: 101 %% \textbf{Vorlesung} & 2007 & Ich war fast immer da. \\ 102 \textbf{Vorlesung} & SS 2022 & Nein \\[0.2cm] 103 \hline 104 \textbf{\"Ubung} & SS 2022 & Ja \\[0.2cm] 105 \hline 106 \textbf{Tutorium} & SS 2022 & Ja. Dazu habe ich den MINT-Kurs im SS 2022, WS 107 2022/23 und den Crashkurs 2023 besucht. \\ 108 \hline 109 \end{tabular} 110 111 \begin{tabular}{p{8.5cm}|p{8.5cm}} 112 \vskip 0.2cm 113 %% Bitte die entsprechende \boxempty durch \boxtimes ersetzen. 114 \textbf{Bestanden? $\boxtimes$ Ja / $\boxempty$ Nein} & 115 \vskip 0.2cm 116 %% Bitte Pruefungsdauer eintragen. 117 \textbf{Pr"ufungsdauer: 20 Minuten} \\[0.5cm] 118 119 \ding{46} Wie lange und wie hast Du Dich \underline{alleine bzw. mit anderen vorbereitet}? 120 %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar 121 Ich habe mich etwa 1,5 Wochen 2-6 Stunden auf die mündliche Prüfung vorbereitet. Ich habe 122 mich etwa eine Woche alleine vorbereitet. Zwei Tage vor der Prüfung habe ich 123 mich dann noch mit Kommilitonen getroffen, welche mir Fragen aus 124 Protokollen/dem Skript gestellt und erklärt haben. Vergiss aber nicht dir 125 auch eine Auszeit zu geben und dich mit Dingen zu beschäftigen, die dir Spaß 126 machen. 127 128 \vspace{.5cm} 129 130 \ding{46} Fanden vor der Pr"ufung \underline{Absprachen} zu Form oder Inhalt statt? Wurden sie \underline{eingehalten}? 131 %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar 132 In der Einsicht hatte ich gesagt, dass ich mich mit Protokollen und dem Skript 133 vorbereite. Sie meinte darauf, dass nur Grundlagen abgefragt werden. Das war 134 auch der Fall. 135 136 Die mündliche Prüfung ist komplett eigenständig vom 137 Zweitversuch, anders als bei manchen Info-Modulen, bei denen man nur für die 138 Differenz zum bestehen geprüft wird. Hier hätten mir nur 2 Punkte gefehlt :( 139 & 140 \ding{46} Welche \underline{Tips zur Vorbereitung} kannst Du geben? \begin{footnotesize}(Wichtige / Unwichtige Teile des Stoffes, gute B"ucher/ Skripten, Lernstil)\end{footnotesize} 141 %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar 142 Fange früh an dir wichtige Definitionen, Sätze und Beweise aus dem Skript zu 143 schreiben. Lass dich dann abfragen, um Wissenslücken ausfindig zu machen und 144 schließe diese Lücken, indem du in deine Zusammenfassung guckst/diese 145 erweiterst. Das wiederholst du solange, bis du alles kannst :) 146 147 Falls ein Thema mal komplexer ist/du eine andere Sichtweise brauchst, hilft 148 es auch sich Videos darüber anzusehen ( 149 \href{https://www.youtube.com/@MathebyDanielJung}{Daniel Jung}, 150 \href{https://www.youtube.com/@MathePeter}{Mathepeter}, 151 \href{https://www.youtube.com/@WeitzHAWHamburg}{HAW Weitz}, 152 \href{https://www.youtube.com/@brightsideofmaths}{The Bright Side of Mathematics} 153 ). 154 155 Zuletzt kann es helfen mit Personen zu sprechen, die in einer ähnlichen 156 Situation stecken oder Erfahrung haben. Schau dazu mal auf dem 157 \texttt{\#lineare-algebra} Kanal auf dem \textbf{KIT Mathe Info 158 Discord-Server} oder in der Fachschaft vorbei. 159 \\[1.8cm] 160 161 \ding{46} Kannst Du Ratschl"age f"ur das \underline{Verhalten in der Pr"ufung} geben? 162 %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar 163 Ruhig bleiben. Alle sind nett. Wenn du auf eine Frage keine direkte Antwort 164 hast, kannst du bitten die Frage zu wiederholen oder sage/schreibe das auf, 165 das dir zu der Frage im entferntesten einfällt. Wenn dabei das richtige 166 dabei ist, wird man dich darüber aufmerksam machen. 167 & 168 \ding{46} Wie war der \underline{Pr"ufungsstil des Pr"ufers / der Pr"uferin?} \begin{footnotesize}(Pr"ufungsathmosph"are, (un)klare Fragestellungen, Frage nach Einzelheiten oder eher gr"o"seren Zusammenh"angen, kamen h"aufiger Zwischenfragen oder lie"s er/sie Dich erz"ahlen, wurde Dir weitergeholfen, wurde in Wissensl"ucken gebohrt?)\end{footnotesize} 169 %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar 170 Professorin Link stellt Fragen und hakt dann nach, wenn sie die Antwort 171 noch genauer haben möchte. Wenn man eine Frage fast richtig hat, gibt sie 172 Tipps, um auf die richtige Antwort zu kommen. 173 \\[0.5cm] 174 \hline 175 \end{tabular} 176 177 {\large {\bfseries Inhalte der Pr"ufung:}} $\longrightarrow$ Bitte auf die R\"uckseite und weitere Bl\"atter! 178 \begin{itemize} 179 \item Schreibe bitte m"oglichst viele Fragen und Antworten auf. 180 \item Wo wurde nach Herleitungen oder Beweisen gefragt oder sonstwie nachgehakt? 181 \item Worauf wollte der Pr\"ufer / die Pr\"uferin hinaus? 182 \item Welche Fragen geh\"orten nicht zum eigentlichen Stoff? 183 \end{itemize} 184 \newpage 185 186 \textbf{Meine Antworten solltest du auf keinen Fall als Lerngrundlage verwenden. 187 }Nimm am besten das Skript oder Folien, um die Fragen selbst einmal zu 188 beantworten. Mit dem Protokoll versuche ich die Fragen und Antworten meiner 189 mündlichen Prüfung möglichst nachzustellen. An jedes Detail kann ich mich dabei 190 nicht mehr erinnern. 191 192 \begin{multicols}{2} 193 \subsection*{Was ist ihr Lieblingsthema?} 194 195 Fangen wir doch mit Skalarprodukten an. 196 197 \section{Skalarprodukt} 198 199 \subsection*{Was ist ein Skalarprodukt?} 200 201 Eine Abbildung $V \times V \rightarrow \mathbb{K}$, welche zwei Vektoren auf einen Skalar abbildet. Dabei haben wir 202 je drei Kriterien für die Abbildung im Reellen und im Komplexen definiert. 203 204 Fange ich erstmal im Reellen an. Die Abbildung muss ... sein. 205 \begin{itemize} 206 \item Symmetrisch 207 \item Positiv Definit 208 \item Bilinear 209 \end{itemize} 210 211 \subsection*{Was bedeutet positiv Definit?} 212 213 $$ 214 \langle x,x\rangle > 0 \quad \forall x \in V 215 $$ 216 217 \subsection*{Gilt pos. Def. für alle x in V?} 218 219 Nein, nicht für den Nullvektor, weil der Nullvektor zu allen Vektoren orthogonal 220 ist. 221 222 \subsection*{Zeigen Sie, dass der Nullvektor zu allen Vektoren orthogonal ist. } 223 224 (Wollte hier erst den Beweis aufschreiben, dass alle Vektoren in einem OGS lin. 225 unabhängig sind. Bin dann aber doch noch auf das Richtige gekommen). 226 227 $$ 228 \ev{0 \cdot w, v} \stackrel{bilinear}{=} 0 \cdot \langle w,v\rangle = 0 229 $$ 230 231 \subsection*{Wann ist der Nullvektor nicht orthogonal?} 232 233 Ich habe Nullvektor gesagt. Sie meinte irgendwas mit Orthogonalem Komplement. 234 235 \subsection*{Jetzt kann man mit dem Skalarprodukt ja auch ein OGS erzeugen. Was 236 ist ein OGS?} 237 238 In einem OGS sind alle Vektoren orthogonal und lin. unabhängig zueinander und der Nullvektor ist 239 nicht Teil eines OGS, weil der zu jedem Vektor orthogonal und linear Abhängig 240 ist. (Hatte ich wohl falsch im Kopf). 241 242 \subsection*{Der Nullvektor ist Teil eines OGS, weil er orthogonal zu den andern Vektoren 243 ist. Zeigen Sie, dass in einem OGS alle Vektoren lin. unabhängig voneinander 244 sind. } 245 246 Lin. Unabhängig sind Vektoren, wenn der Nullvektor nur mit einer 247 Linearkombination erstellt werden kann, bei der alle Koeffizienten Null sind. 248 249 $$ 250 0 = \sum_{i=0}^n a_i v_i 251 $$ 252 $$ 253 a_i \neq 0 \quad \forall i \in {0,...,n} 254 $$ 255 256 Das können wir jetzt für das OGS nutzen (Beweis steht im Skript) 257 \begin{align*} 258 &v_1, ..., v_n \in OGS \\ 259 0 &= \ev{0, v_j} = \ev{ \sum_{i=0}^n a_i v_i, v_j } \\ 260 &= \sum_{i=0}^n a_i \ev{v_i, v_j} && \text{$\ev{vi,vj}$ ist 0 für $i \neq j$} \\ 261 &= a_j \ev{v_j, v_j} && \text{$\ev{v_j,v_j} > 0$ wegen pos} \\ 262 \Rightarrow a_j &= 0 263 \end{align*} 264 265 (Einziger Fehler: die Summe geht von $i = 1$ bis n) 266 267 \subsection*{Was ist eine Norm?} 268 269 Die Distanz zum Ursprung. Also eine Abbildung $V \rightarrow \mathbb{R}$ 270 271 \subsection*{Kann die Norm nur nach $\mathbb{R}$ abbilden oder auch nach $\mathbb{C}$?} 272 273 Nur nach $\mathbb{R}$. 274 275 \subsection*{Welche Werte kann die Norm annehmen?} 276 277 Positive Werte (Distanzen können nicht negativ sein). 278 279 \subsection*{Kann die Norm auch 0 sein?} 280 281 Ja 282 283 \subsection*{Dann kommen wir jetzt zu einer Gleichung, welche die Norm braucht. Schreiben Sie 284 die Dreieckungleichung auf.} 285 286 (Mist, die hatte ich nicht gelernt) 287 $$ 288 ||x+y||^2 \leq ||x||^2 + ||y||^2 289 $$ 290 291 \subsection*{Das sieht mir eher nach dem Pythagoras aus. Sie sind aber nah dran. } 292 293 $$ 294 ||x+y|| \leq ||x|| + ||y|| 295 $$ 296 Ich habe hier mit dem Dreieck argumentiert, dass die Hypotenuse maximal zu groß 297 sein kann wie die beiden Katheten. 298 299 \subsection*{Wann gilt bei der Dreiecksungleichung Gleichheit?} 300 301 Gleichheit gilt, wenn die Katheten auf der Hypotenuse liegen. 302 303 \subsection*{Jetzt leiten sie die Dreiecksungleichung her.} 304 305 (Uff, Mist. ICH HABE DAS NICHT GELERNT. ) 306 307 Naja, die Norm ist über das Skalarprodukt definiert: 308 $$ 309 ||x|| = \sqrt{\ev{x,x}} 310 $$ 311 312 Dann können wir die Definition der Norm einfach mal in die Dreiecksungleichung 313 einsetzen: 314 315 \begin{align*} 316 ||x+y|| &= \sqrt{\ev{x+y,x+y}} \\ 317 &= \sqrt{\ev{x,x}\ev{y,y}} && \text{(Link: das ist Falsch)} 318 \end{align*} 319 320 Dann schreibe ich das mal in Einzelschritten auf. Durch die Biliniearform gilt: 321 $$ 322 \ev{x,y+z} = \ev{x,y} + \ev{x,z} 323 $$ 324 $$ 325 \ev{x+y,z} = \ev{x,z} + \ev{y,z} 326 $$ 327 328 Also 329 330 \begin{align*} 331 \sqrt{\ev{x+y, x+y}} &= \sqrt{\ev{x+y, x} + \ev{x+y, y}} \\ 332 &= \sqrt{\ev{x,x} + \ev{y,x} + \ev{x,y} + \ev{y,y}} \\ 333 &= \sqrt{\ev{x,x} + 2\ev{x,y} + \ev{y,y}} 334 \end{align*} 335 336 Hier wusste ich nicht mehr weiter. Sie hat dann den Tipp 337 gegeben, dass es ja eine weitere Gleichung gibt, welche Normen 338 und Skalarprodukte verbindet. 339 340 Ich musste nicht genau welche Sie meint, also habe ich 341 aufgelistet was mir einfällt: 342 \begin{itemize} 343 \item Cauchy-Schwarze Ungleichung 344 \item Parallelogrammgleichung 345 \item Kosinussatz 346 \end{itemize} 347 348 \subsection*{Welche von denen könnte ihnen hier helfen?} 349 350 Cauchy-Schwarze Ungleichung (war geraten) 351 352 $$ 353 \ev{x,y}^2 \leq \ev{x,x}\ev{y,y} 354 $$ 355 356 Ich wollte erst die Summe $\ev{x,x} + \ev{y,y}$ durch $\ev{x,y}^2$ ersetzen, 357 habe dann aber gemerkt, dass CSU ja ein Produkt ist. Also musste ich $2\ev{x,y}$ ersetzen 358 359 $$ 360 \sqrt{\ev{x,x} + 2\ev{x,y} + \ev{y,y}} \leq \sqrt{\ev{x,x} + 2 361 \sqrt{\ev{x,x}\ev{y,y}} + \ev{y,y}} 362 $$ 363 364 Hier kam ich dann wieder nicht weiter. Sie meinte ich könnte mal 365 die andere Seite der Dreiecksungleichung anschauen. 366 367 $$ 368 ||x|| + ||y|| = \sqrt{\ev{x,x}} + \sqrt{\ev{y,y}} 369 $$ 370 371 Das half mir aber auch nicht weiter. Sie hat es dann aufgelöst: 372 $$ 373 \sqrt{\ev{x,x} + 2\sqrt{\ev{x,x}\ev{y,y}} + \ev{y,y}} = \sqrt{\ev{x,x}} + 374 \sqrt{\ev{y,y}} 375 $$ 376 377 (Macht Sinn, dass es das Selbe ist. Das sollte ich ja zeigen. Ich 378 wäre aber nicht auf die Umformung gekommen). 379 380 381 \section{Isometrien} 382 383 Aus Zeitgründen übersprungen. 384 \end{multicols} 385 \vspace{-.2cm} 386 \rule{\textwidth}{.1pt} 387 \vspace{-.7cm} 388 \section{Selbstadjungierte Abbildungen} 389 \vspace{-.2cm} 390 \begin{multicols}{2} 391 392 \subsection*{Was ist eine Selbstadjungierte Abbildung?} 393 394 Eine Abbildung die folgende Gleichung erfüllt: 395 396 $$ 397 \ev{f(v), w} = \ev{v, f(w)} 398 $$ 399 400 \vspace{-.5cm} 401 \subsection*{Wann sind Abbildungen selbstadjungiert?} 402 403 Eine Abbildung $f \in End(V)$ ist selbstadjungiert genau dann, wenn alle 404 Eigenwerte der Abbildung reell sind und die Eigenvektoren der Abbildung eine ONB 405 von V ergeben. (Spektralsatz über selbstadjungierte Endomorphismen) 406 407 \subsection*{Aus welchen VR kommen die Skalarprodukte und was sind v und w?} 408 409 Ich hatte erst folgendes Aufgeschrieben: 410 $$ 411 \ev{f(v), w}_w = \ev{v, f(w)}_v \quad v \in V, w \in W 412 $$ 413 414 Habe aber selber gemerkt, dass ich das mit der Definition von Isometrien 415 vertauscht hatte und habe es dann korrigiert zu 416 417 $$ 418 \ev{f(v), w}_v = \ev{v, f(w)}_v \quad v,w \in V 419 $$ 420 421 \end{multicols} 422 \vspace{-.2cm} 423 \rule{\textwidth}{.1pt} 424 \begin{multicols}{2} 425 \section{Jordan-Normalform} 426 427 \subsection*{Wir haben eine Abbildung und wir wissen die Abbildung hat einen Eigenwert und 428 wir wissen die Dimension des Eigenraums. Was können wir über die JNF aussagen?} 429 430 Wenn wir nur einen Eigenwert haben, besteht die JNF nur aus einem Jordanblock. 431 Die Dimension des Eigenraums ist die geometrische Vielfachheit und gibt an wie 432 viele Jordankästchen in dem Jordanblock sind. 433 434 \subsection*{Das war's. FIN. } 435 \columnbreak 436 437 \section{Ausgelassene Themen} 438 439 \begin{itemize} 440 \item Diagonalisierbarkeit 441 \item Gram-Schmidt-Orthogonalisierung 442 \item Isometrien 443 \item Euklidische Normalform 444 \end{itemize} 445 446 \subsection*{Viel Erfolg! Möge das [kœri] mit dir sein! } 447 448 \end{multicols} 449 450 \end{document} 451