\documentclass[a4paper]{article}
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    colorlinks=true,
    linkcolor=blue,
    filecolor=magenta,      
    urlcolor=cyan,
    pdftitle={Overleaf Example},
    pdfpagemode=FullScreen,
    }
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter\ev{\langle}{\rangle}%
\title{Fragebogen zu m"undlichen Pr"ufungen}

\pagestyle{empty}

\topmargin=-2cm
\headheight=0cm
\headsep=0cm
\textheight=28cm
\footskip=0cm

\oddsidemargin=-1cm
\evensidemargin=-1cm
\textwidth=18cm
\parindent=0cm

% Sind wir denn ein PDF?
% Code aus ifpdf.sty aber die Abhaengigkeit waere bloed.
\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
\else
  \ifx\pdfoutput\relax
  \else
    \ifcase\pdfoutput
    \else
      \pdftrue
    \fi
  \fi
\fi


\begin{document}
\begin{tabular}{p{1.6cm}p{15cm}}

\vspace{-0.8cm}
\multirow{2}{1.6cm}{ \includegraphics[width=16mm]{FS-Eule}} & 

\vskip 0.7cm
\Large Fragebogen der Fachschaft zu \\
& \Large {\bfseries m"undlichen Vordiplomspr\"ufungen} im Informatikstudium 
\\
\end{tabular}

\begin{tabular}{p{8.5cm}|p{7cm}}
   Dieser Fragebogen gibt den KommilitonInnen, die nach 
   Dir die Pr"ufung ablegen wollen, einen Einblick in Ablauf 
   und Inhalt der Pr"ufung. Das erleichtert die Vorbereitung. & 
\multirow{6}{7cm}{
  \begin{center}
   Barcode:
   \begin{tabular}{p{0.2cm}p{6.8cm}p{0.2cm}} 
   $\ulcorner$
   \vskip 2cm
   $\llcorner$ & & $\urcorner$
   \vskip 2cm
   $\lrcorner$ \\
   \end{tabular}
  \end{center}
 \textbf{Fach:}
 \begin{tabular}{lllll}
%% entsprechende \boxempty durch \boxtimes ersetzen.
 $\boxtimes$ LA II Info
 %     Algo I $\boxempty$ Algo II $\boxempty$ Betriebssysteme $\boxempty$ GdI $\boxempty$ HM\\
 % $\boxempty$ KomDat $\boxempty$ Programmierparadigmen $\boxempty$  SWT I \\
 % $\boxempty$ Theoretische Grundlagen der Informatik $\boxempty$  TI 
  \end{tabular}
} \\[10pt]
   Bitte verwende zum Ausf"ullen einen schwarzen Stift. & \\
   Das erleichtert das Einscannen. & \\[0.5cm]
   %% Bitte Pruefungsdatum, PrueferIn und BeisitzerIn eintragen.
   \textbf{Pr"ufungsdatum:}..........................................19.04.2023 & \\[0.5cm]
   \textbf{Pr"uferIn (Prof.):}.......................PD Dr. Gabriele Link & \\[0.5cm]
   \textbf{BeisitzerIn:}...............................M. Sc. Sebastian Plenz & \\
\end{tabular}

\begin{tabular}{|p{7cm}|p{2cm}|p{7.75cm}|}
 \hline
 Veranstaltung &  Jahr  & regelm"a"sig besucht? \\
 \hline
 %% Beispiel:
 %% \textbf{Vorlesung} & 2007 & Ich war fast immer da. \\
 \textbf{Vorlesung} & SS 2022 & Nein \\[0.2cm]
 \hline
 \textbf{\"Ubung} & SS 2022 & Ja \\[0.2cm]
 \hline
 \textbf{Tutorium} & SS 2022 & Ja. Dazu habe ich den MINT-Kurs im SS 2022, WS
    2022/23 und den Crashkurs 2023 besucht.  \\
 \hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{p{8.5cm}|p{8.5cm}}
 \vskip 0.2cm
 %% Bitte die entsprechende \boxempty durch \boxtimes ersetzen.
 \textbf{Bestanden? $\boxtimes$ Ja / $\boxempty$ Nein} &
 \vskip 0.2cm
  %% Bitte Pruefungsdauer eintragen.
  \textbf{Pr"ufungsdauer: 20 Minuten} \\[0.5cm]

  \ding{46} Wie lange und wie hast Du Dich \underline{alleine bzw. mit anderen vorbereitet}? 
  %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
  Ich habe mich etwa 1,5 Wochen 2-6 Stunden auf die mündliche Prüfung vorbereitet. Ich habe
    mich etwa eine Woche alleine vorbereitet. Zwei Tage vor der Prüfung habe ich
    mich dann noch mit Kommilitonen getroffen, welche mir Fragen aus
    Protokollen/dem Skript gestellt und erklärt haben. Vergiss aber nicht dir
    auch eine Auszeit zu geben und dich mit Dingen zu beschäftigen, die dir Spaß
    machen. 

    \vspace{.5cm}

  \ding{46} Fanden vor der Pr"ufung \underline{Absprachen} zu Form oder Inhalt statt? Wurden sie \underline{eingehalten}? 
  %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
  In der Einsicht hatte ich gesagt, dass ich mich mit Protokollen und dem Skript
    vorbereite. Sie meinte darauf, dass nur Grundlagen abgefragt werden. Das war
    auch der Fall. 

    Die mündliche Prüfung ist komplett eigenständig vom
    Zweitversuch, anders als bei manchen Info-Modulen, bei denen man nur für die
    Differenz zum bestehen geprüft wird. Hier hätten mir nur 2 Punkte gefehlt :( 
  &
  \ding{46} Welche \underline{Tips zur Vorbereitung} kannst Du geben? \begin{footnotesize}(Wichtige / Unwichtige Teile des Stoffes, gute B"ucher/ Skripten, Lernstil)\end{footnotesize}
  %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
    Fange früh an dir wichtige Definitionen, Sätze und Beweise aus dem Skript zu
    schreiben. Lass dich dann abfragen, um Wissenslücken ausfindig zu machen und
    schließe diese Lücken, indem du in deine Zusammenfassung guckst/diese
    erweiterst. Das wiederholst du solange, bis du alles kannst :)

    Falls ein Thema mal komplexer ist/du eine andere Sichtweise brauchst, hilft
    es auch sich Videos darüber anzusehen (
    \href{https://www.youtube.com/@MathebyDanielJung}{Daniel Jung},
    \href{https://www.youtube.com/@MathePeter}{Mathepeter},
    \href{https://www.youtube.com/@WeitzHAWHamburg}{HAW Weitz},
    \href{https://www.youtube.com/@brightsideofmaths}{The Bright Side of Mathematics}
    ).

    Zuletzt kann es helfen mit Personen zu sprechen, die in einer ähnlichen
    Situation stecken oder Erfahrung haben. Schau dazu mal auf dem
    \texttt{\#lineare-algebra} Kanal auf dem \textbf{KIT Mathe Info
    Discord-Server} oder in der Fachschaft vorbei. 
  \\[1.8cm]

  \ding{46} Kannst Du Ratschl"age f"ur das \underline{Verhalten in der Pr"ufung} geben? 
  %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
  Ruhig bleiben. Alle sind nett. Wenn du auf eine Frage keine direkte Antwort
    hast, kannst du bitten die Frage zu wiederholen oder sage/schreibe das auf,
    das dir zu der Frage im entferntesten einfällt. Wenn dabei das richtige
    dabei ist, wird man dich darüber aufmerksam machen. 
  &
  \ding{46} Wie war der \underline{Pr"ufungsstil des Pr"ufers / der Pr"uferin?} \begin{footnotesize}(Pr"ufungsathmosph"are, (un)klare Fragestellungen, Frage nach Einzelheiten oder eher gr"o"seren Zusammenh"angen, kamen h"aufiger Zwischenfragen oder lie"s er/sie Dich erz"ahlen, wurde Dir weitergeholfen, wurde in Wissensl"ucken gebohrt?)\end{footnotesize} 
  %% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
      Professorin Link stellt Fragen und hakt dann nach, wenn sie die Antwort
      noch genauer haben möchte. Wenn man eine Frage fast richtig hat, gibt sie
      Tipps, um auf die richtige Antwort zu kommen. 
  \\[0.5cm]
\hline
\end{tabular}

  {\large {\bfseries Inhalte der Pr"ufung:}} $\longrightarrow$ Bitte auf die R\"uckseite und weitere Bl\"atter!
  \begin{itemize}
   \item Schreibe bitte m"oglichst viele Fragen und Antworten auf.
   \item Wo wurde nach Herleitungen oder Beweisen gefragt oder sonstwie nachgehakt?  
   \item Worauf wollte der Pr\"ufer / die Pr\"uferin hinaus?
   \item Welche Fragen geh\"orten nicht zum eigentlichen Stoff?
\end{itemize}
\newpage

\textbf{Meine Antworten solltest du auf keinen Fall als Lerngrundlage verwenden.
}Nimm am besten das Skript oder Folien, um die Fragen selbst einmal zu
beantworten. Mit dem Protokoll versuche ich die Fragen und Antworten meiner
mündlichen Prüfung möglichst nachzustellen. An jedes Detail kann ich mich dabei
nicht mehr erinnern. 

\begin{multicols}{2}
\subsection*{Was ist ihr Lieblingsthema?}

Fangen wir doch mit Skalarprodukten an. 

\section{Skalarprodukt}

\subsection*{Was ist ein Skalarprodukt?}

Eine Abbildung $V \times V \rightarrow \mathbb{K}$, welche zwei Vektoren auf einen Skalar abbildet. Dabei haben wir
je drei Kriterien für die Abbildung im Reellen und im Komplexen definiert. 

Fange ich erstmal im Reellen an. Die Abbildung muss ... sein. 
\begin{itemize}
    \item Symmetrisch
    \item Positiv Definit
    \item Bilinear
\end{itemize}

\subsection*{Was bedeutet positiv Definit?}

$$
\langle x,x\rangle > 0 \quad \forall x \in V
$$

\subsection*{Gilt pos. Def. für alle x in V?}

Nein, nicht für den Nullvektor, weil der Nullvektor zu allen Vektoren orthogonal
ist. 

\subsection*{Zeigen Sie, dass der Nullvektor zu allen Vektoren orthogonal ist. }

(Wollte hier erst den Beweis aufschreiben, dass alle Vektoren in einem OGS lin.
unabhängig sind. Bin dann aber doch noch auf das Richtige gekommen).

$$
\ev{0 \cdot w, v} \stackrel{bilinear}{=} 0 \cdot \langle w,v\rangle = 0
$$

\subsection*{Wann ist der Nullvektor nicht orthogonal?}

Ich habe Nullvektor gesagt. Sie meinte irgendwas mit Orthogonalem Komplement. 

\subsection*{Jetzt kann man mit dem Skalarprodukt ja auch ein OGS erzeugen. Was
ist ein OGS?}

In einem OGS sind alle Vektoren orthogonal und lin. unabhängig zueinander und der Nullvektor ist
nicht Teil eines OGS, weil der zu jedem Vektor orthogonal und linear Abhängig
ist. (Hatte ich wohl falsch im Kopf).  

\subsection*{Der Nullvektor ist Teil eines OGS, weil er orthogonal zu den andern Vektoren
ist. Zeigen Sie, dass in einem OGS alle Vektoren lin. unabhängig voneinander
sind. }

Lin. Unabhängig sind Vektoren, wenn der Nullvektor nur mit einer
Linearkombination erstellt werden kann, bei der alle Koeffizienten Null sind. 

$$
0 = \sum_{i=0}^n a_i v_i
$$
$$
a_i \neq 0 \quad \forall i \in {0,...,n}
$$

Das können wir jetzt für das OGS nutzen (Beweis steht im Skript)
\begin{align*}
    &v_1, ..., v_n \in OGS \\
    0 &= \ev{0, v_j} = \ev{ \sum_{i=0}^n a_i v_i, v_j }                             \\ 
      &= \sum_{i=0}^n a_i \ev{v_i, v_j} && \text{$\ev{vi,vj}$ ist 0 für $i \neq j$} \\ 
      &= a_j \ev{v_j, v_j}              && \text{$\ev{v_j,v_j} > 0$ wegen pos}       \\
    \Rightarrow a_j &= 0 
\end{align*}

(Einziger Fehler: die Summe geht von $i = 1$ bis n)

\subsection*{Was ist eine Norm?}

Die Distanz zum Ursprung. Also eine Abbildung $V \rightarrow \mathbb{R}$

\subsection*{Kann die Norm nur nach $\mathbb{R}$ abbilden oder auch nach $\mathbb{C}$?}

Nur nach $\mathbb{R}$.

\subsection*{Welche Werte kann die Norm annehmen?}

Positive Werte (Distanzen können nicht negativ sein).

\subsection*{Kann die Norm auch 0 sein?}

Ja

\subsection*{Dann kommen wir jetzt zu einer Gleichung, welche die Norm braucht. Schreiben Sie
die Dreieckungleichung auf.}

(Mist, die hatte ich nicht gelernt)
$$
||x+y||^2 \leq ||x||^2 + ||y||^2
$$

\subsection*{Das sieht mir eher nach dem Pythagoras aus. Sie sind aber nah dran. }

$$
||x+y|| \leq ||x|| + ||y||
$$
Ich habe hier mit dem Dreieck argumentiert, dass die Hypotenuse maximal zu groß
sein kann wie die beiden Katheten. 

\subsection*{Wann gilt bei der Dreiecksungleichung Gleichheit?}

Gleichheit gilt, wenn die Katheten auf der Hypotenuse liegen. 

\subsection*{Jetzt leiten sie die Dreiecksungleichung her.}

(Uff, Mist. ICH HABE DAS NICHT GELERNT. )

Naja, die Norm ist über das Skalarprodukt definiert:
$$
||x|| = \sqrt{\ev{x,x}}
$$

Dann können wir die Definition der Norm einfach mal in die Dreiecksungleichung
einsetzen:

\begin{align*}
    ||x+y|| &= \sqrt{\ev{x+y,x+y}} \\ 
            &= \sqrt{\ev{x,x}\ev{y,y}} && \text{(Link: das ist Falsch)}
\end{align*}

Dann schreibe ich das mal in Einzelschritten auf. Durch die Biliniearform gilt:
$$
\ev{x,y+z} = \ev{x,y} + \ev{x,z}
$$
$$
\ev{x+y,z} = \ev{x,z} + \ev{y,z}
$$

Also

\begin{align*}
    \sqrt{\ev{x+y, x+y}} &= \sqrt{\ev{x+y, x} + \ev{x+y, y}}           \\
                      &= \sqrt{\ev{x,x} + \ev{y,x} + \ev{x,y} + \ev{y,y}} \\
                      &= \sqrt{\ev{x,x} + 2\ev{x,y} + \ev{y,y}}
\end{align*}

Hier wusste ich nicht mehr weiter. Sie hat dann den Tipp
gegeben, dass es ja eine weitere Gleichung gibt, welche Normen
und Skalarprodukte verbindet. 

Ich musste nicht genau welche Sie meint, also habe ich
aufgelistet was mir einfällt:
\begin{itemize}
    \item Cauchy-Schwarze Ungleichung
    \item Parallelogrammgleichung
    \item Kosinussatz
\end{itemize}

\subsection*{Welche von denen könnte ihnen hier helfen?}

Cauchy-Schwarze Ungleichung (war geraten)

$$
\ev{x,y}^2 \leq \ev{x,x}\ev{y,y}
$$

Ich wollte erst die Summe $\ev{x,x} + \ev{y,y}$ durch $\ev{x,y}^2$ ersetzen,
habe dann aber gemerkt, dass CSU ja ein Produkt ist. Also musste ich $2\ev{x,y}$ ersetzen

$$
\sqrt{\ev{x,x} + 2\ev{x,y} + \ev{y,y}} \leq \sqrt{\ev{x,x} + 2
\sqrt{\ev{x,x}\ev{y,y}} + \ev{y,y}}
$$

Hier kam ich dann wieder nicht weiter. Sie meinte ich könnte mal
die andere Seite der Dreiecksungleichung anschauen.

$$
||x|| + ||y|| = \sqrt{\ev{x,x}} + \sqrt{\ev{y,y}}
$$

Das half mir aber auch nicht weiter. Sie hat es dann aufgelöst:
$$
\sqrt{\ev{x,x} + 2\sqrt{\ev{x,x}\ev{y,y}} + \ev{y,y}} = \sqrt{\ev{x,x}} +
\sqrt{\ev{y,y}}
$$

(Macht Sinn, dass es das Selbe ist. Das sollte ich ja zeigen. Ich
wäre aber nicht auf die Umformung gekommen). 


\section{Isometrien}

Aus Zeitgründen übersprungen. 
\end{multicols}
\vspace{-.2cm}
\rule{\textwidth}{.1pt}
\vspace{-.7cm}
\section{Selbstadjungierte Abbildungen}
\vspace{-.2cm}
\begin{multicols}{2}

\subsection*{Was ist eine Selbstadjungierte Abbildung?}

Eine Abbildung die folgende Gleichung erfüllt:

$$
\ev{f(v), w} = \ev{v, f(w)}
$$

    \vspace{-.5cm}
\subsection*{Wann sind Abbildungen selbstadjungiert?}

Eine Abbildung $f \in End(V)$ ist selbstadjungiert genau dann, wenn alle
Eigenwerte der Abbildung reell sind und die Eigenvektoren der Abbildung eine ONB
von V ergeben. (Spektralsatz über selbstadjungierte Endomorphismen)

\subsection*{Aus welchen VR kommen die Skalarprodukte und was sind v und w?}

Ich hatte erst folgendes Aufgeschrieben: 
$$
\ev{f(v), w}_w = \ev{v, f(w)}_v \quad v \in V, w \in W
$$

Habe aber selber gemerkt, dass ich das mit der Definition von Isometrien
vertauscht hatte und habe es dann korrigiert zu 

$$
\ev{f(v), w}_v = \ev{v, f(w)}_v \quad v,w \in V
$$

\end{multicols}
\vspace{-.2cm}
\rule{\textwidth}{.1pt}
\begin{multicols}{2}
\section{Jordan-Normalform}

\subsection*{Wir haben eine Abbildung und wir wissen die Abbildung hat einen Eigenwert und
wir wissen die Dimension des Eigenraums. Was können wir über die JNF aussagen?}

Wenn wir nur einen Eigenwert haben, besteht die JNF nur aus einem Jordanblock. 
Die Dimension des Eigenraums ist die geometrische Vielfachheit und gibt an wie
viele Jordankästchen in dem Jordanblock sind. 

\subsection*{Das war's. FIN. }
\columnbreak

\section{Ausgelassene Themen}

\begin{itemize}
    \item Diagonalisierbarkeit
    \item Gram-Schmidt-Orthogonalisierung
    \item Isometrien
    \item Euklidische Normalform
\end{itemize}

    \subsection*{Viel Erfolg! Möge das [kœri] mit dir sein! }

\end{multicols}

\end{document}

