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\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage{german}
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\usepackage{stmaryrd}
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\usepackage{pifont}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{multirow}
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\usepackage{color}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{multicol}
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\usepackage{hyperref}
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\hypersetup{
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colorlinks=true,
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linkcolor=blue,
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filecolor=magenta,
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urlcolor=cyan,
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pdftitle={Overleaf Example},
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pdfpagemode=FullScreen,
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}
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\usepackage{mathtools}
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\DeclarePairedDelimiter\ev{\langle}{\rangle}%
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\title{Fragebogen zu m"undlichen Pr"ufungen}
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\pagestyle{empty}
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\topmargin=-2cm
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\headheight=0cm
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\headsep=0cm
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\textheight=28cm
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\footskip=0cm
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\oddsidemargin=-1cm
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\evensidemargin=-1cm
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\textwidth=18cm
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\parindent=0cm
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% Sind wir denn ein PDF?
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% Code aus ifpdf.sty aber die Abhaengigkeit waere bloed.
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\newif\ifpdf
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\ifx\pdfoutput\undefined
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\else
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\ifx\pdfoutput\relax
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\else
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\ifcase\pdfoutput
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\else
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\pdftrue
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\fi
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\fi
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\fi
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\begin{document}
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\begin{tabular}{p{1.6cm}p{15cm}}
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\vspace{-0.8cm}
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\multirow{2}{1.6cm}{ \includegraphics[width=16mm]{FS-Eule}} &
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\vskip 0.7cm
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|
\Large Fragebogen der Fachschaft zu \\
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& \Large {\bfseries m"undlichen Vordiplomspr\"ufungen} im Informatikstudium
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\\
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\end{tabular}
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\begin{tabular}{p{8.5cm}|p{7cm}}
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Dieser Fragebogen gibt den KommilitonInnen, die nach
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Dir die Pr"ufung ablegen wollen, einen Einblick in Ablauf
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und Inhalt der Pr"ufung. Das erleichtert die Vorbereitung. &
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\multirow{6}{7cm}{
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\begin{center}
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Barcode:
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\begin{tabular}{p{0.2cm}p{6.8cm}p{0.2cm}}
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$\ulcorner$
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\vskip 2cm
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$\llcorner$ & & $\urcorner$
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\vskip 2cm
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$\lrcorner$ \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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\textbf{Fach:}
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\begin{tabular}{lllll}
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%% entsprechende \boxempty durch \boxtimes ersetzen.
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$\boxtimes$ LA II Info
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% Algo I $\boxempty$ Algo II $\boxempty$ Betriebssysteme $\boxempty$ GdI $\boxempty$ HM\\
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% $\boxempty$ KomDat $\boxempty$ Programmierparadigmen $\boxempty$ SWT I \\
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% $\boxempty$ Theoretische Grundlagen der Informatik $\boxempty$ TI
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\end{tabular}
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} \\[10pt]
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Bitte verwende zum Ausf"ullen einen schwarzen Stift. & \\
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Das erleichtert das Einscannen. & \\[0.5cm]
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%% Bitte Pruefungsdatum, PrueferIn und BeisitzerIn eintragen.
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\textbf{Pr"ufungsdatum:}..........................................19.04.2023 & \\[0.5cm]
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\textbf{Pr"uferIn (Prof.):}.......................PD Dr. Gabriele Link & \\[0.5cm]
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\textbf{BeisitzerIn:}...............................M. Sc. Sebastian Plenz & \\
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\end{tabular}
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\begin{tabular}{|p{7cm}|p{2cm}|p{7.75cm}|}
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\hline
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Veranstaltung & Jahr & regelm"a"sig besucht? \\
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\hline
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%% Beispiel:
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%% \textbf{Vorlesung} & 2007 & Ich war fast immer da. \\
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\textbf{Vorlesung} & SS 2022 & Nein \\[0.2cm]
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\hline
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\textbf{\"Ubung} & SS 2022 & Ja \\[0.2cm]
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\hline
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\textbf{Tutorium} & SS 2022 & Ja. Dazu habe ich den MINT-Kurs im SS 2022, WS
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2022/23 und den Crashkurs 2023 besucht. \\
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\hline
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\end{tabular}
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\begin{tabular}{p{8.5cm}|p{8.5cm}}
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\vskip 0.2cm
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%% Bitte die entsprechende \boxempty durch \boxtimes ersetzen.
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\textbf{Bestanden? $\boxtimes$ Ja / $\boxempty$ Nein} &
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\vskip 0.2cm
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%% Bitte Pruefungsdauer eintragen.
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\textbf{Pr"ufungsdauer: 20 Minuten} \\[0.5cm]
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\ding{46} Wie lange und wie hast Du Dich \underline{alleine bzw. mit anderen vorbereitet}?
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%% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
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Ich habe mich etwa 1,5 Wochen 2-6 Stunden auf die mündliche Prüfung vorbereitet. Ich habe
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mich etwa eine Woche alleine vorbereitet. Zwei Tage vor der Prüfung habe ich
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mich dann noch mit Kommilitonen getroffen, welche mir Fragen aus
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Protokollen/dem Skript gestellt und erklärt haben. Vergiss aber nicht dir
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auch eine Auszeit zu geben und dich mit Dingen zu beschäftigen, die dir Spaß
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machen.
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\vspace{.5cm}
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\ding{46} Fanden vor der Pr"ufung \underline{Absprachen} zu Form oder Inhalt statt? Wurden sie \underline{eingehalten}?
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%% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
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In der Einsicht hatte ich gesagt, dass ich mich mit Protokollen und dem Skript
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vorbereite. Sie meinte darauf, dass nur Grundlagen abgefragt werden. Das war
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auch der Fall.
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Die mündliche Prüfung ist komplett eigenständig vom
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Zweitversuch, anders als bei manchen Info-Modulen, bei denen man nur für die
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Differenz zum bestehen geprüft wird. Hier hätten mir nur 2 Punkte gefehlt :(
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&
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\ding{46} Welche \underline{Tips zur Vorbereitung} kannst Du geben? \begin{footnotesize}(Wichtige / Unwichtige Teile des Stoffes, gute B"ucher/ Skripten, Lernstil)\end{footnotesize}
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%% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
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Fange früh an dir wichtige Definitionen, Sätze und Beweise aus dem Skript zu
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schreiben. Lass dich dann abfragen, um Wissenslücken ausfindig zu machen und
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schließe diese Lücken, indem du in deine Zusammenfassung guckst/diese
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erweiterst. Das wiederholst du solange, bis du alles kannst :)
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Falls ein Thema mal komplexer ist/du eine andere Sichtweise brauchst, hilft
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es auch sich Videos darüber anzusehen (
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\href{https://www.youtube.com/@MathebyDanielJung}{Daniel Jung},
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\href{https://www.youtube.com/@MathePeter}{Mathepeter},
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\href{https://www.youtube.com/@WeitzHAWHamburg}{HAW Weitz},
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\href{https://www.youtube.com/@brightsideofmaths}{The Bright Side of Mathematics}
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).
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Zuletzt kann es helfen mit Personen zu sprechen, die in einer ähnlichen
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Situation stecken oder Erfahrung haben. Schau dazu mal auf dem
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\texttt{\#lineare-algebra} Kanal auf dem \textbf{KIT Mathe Info
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Discord-Server} oder in der Fachschaft vorbei.
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\\[1.8cm]
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\ding{46} Kannst Du Ratschl"age f"ur das \underline{Verhalten in der Pr"ufung} geben?
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%% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
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Ruhig bleiben. Alle sind nett. Wenn du auf eine Frage keine direkte Antwort
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hast, kannst du bitten die Frage zu wiederholen oder sage/schreibe das auf,
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das dir zu der Frage im entferntesten einfällt. Wenn dabei das richtige
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dabei ist, wird man dich darüber aufmerksam machen.
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&
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\ding{46} Wie war der \underline{Pr"ufungsstil des Pr"ufers / der Pr"uferin?} \begin{footnotesize}(Pr"ufungsathmosph"are, (un)klare Fragestellungen, Frage nach Einzelheiten oder eher gr"o"seren Zusammenh"angen, kamen h"aufiger Zwischenfragen oder lie"s er/sie Dich erz"ahlen, wurde Dir weitergeholfen, wurde in Wissensl"ucken gebohrt?)\end{footnotesize}
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%% Hier ist Platz fuer deinen Kommentar
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Professorin Link stellt Fragen und hakt dann nach, wenn sie die Antwort
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noch genauer haben möchte. Wenn man eine Frage fast richtig hat, gibt sie
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Tipps, um auf die richtige Antwort zu kommen.
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\\[0.5cm]
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\hline
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\end{tabular}
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{\large {\bfseries Inhalte der Pr"ufung:}} $\longrightarrow$ Bitte auf die R\"uckseite und weitere Bl\"atter!
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\begin{itemize}
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\item Schreibe bitte m"oglichst viele Fragen und Antworten auf.
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\item Wo wurde nach Herleitungen oder Beweisen gefragt oder sonstwie nachgehakt?
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\item Worauf wollte der Pr\"ufer / die Pr\"uferin hinaus?
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\item Welche Fragen geh\"orten nicht zum eigentlichen Stoff?
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\end{itemize}
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\newpage
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\textbf{Meine Antworten solltest du auf keinen Fall als Lerngrundlage verwenden.
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}Nimm am besten das Skript oder Folien, um die Fragen selbst einmal zu
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beantworten. Mit dem Protokoll versuche ich die Fragen und Antworten meiner
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mündlichen Prüfung möglichst nachzustellen. An jedes Detail kann ich mich dabei
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nicht mehr erinnern.
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\begin{multicols}{2}
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\subsection*{Was ist ihr Lieblingsthema?}
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Fangen wir doch mit Skalarprodukten an.
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\section{Skalarprodukt}
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\subsection*{Was ist ein Skalarprodukt?}
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Eine Abbildung $V \times V \rightarrow \mathbb{K}$, welche zwei Vektoren auf einen Skalar abbildet. Dabei haben wir
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je drei Kriterien für die Abbildung im Reellen und im Komplexen definiert.
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Fange ich erstmal im Reellen an. Die Abbildung muss ... sein.
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\begin{itemize}
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\item Symmetrisch
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\item Positiv Definit
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\item Bilinear
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\end{itemize}
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\subsection*{Was bedeutet positiv Definit?}
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$$
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\langle x,x\rangle > 0 \quad \forall x \in V
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$$
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\subsection*{Gilt pos. Def. für alle x in V?}
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Nein, nicht für den Nullvektor, weil der Nullvektor zu allen Vektoren orthogonal
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ist.
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\subsection*{Zeigen Sie, dass der Nullvektor zu allen Vektoren orthogonal ist. }
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(Wollte hier erst den Beweis aufschreiben, dass alle Vektoren in einem OGS lin.
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unabhängig sind. Bin dann aber doch noch auf das Richtige gekommen).
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$$
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\ev{0 \cdot w, v} \stackrel{bilinear}{=} 0 \cdot \langle w,v\rangle = 0
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$$
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\subsection*{Wann ist der Nullvektor nicht orthogonal?}
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Ich habe Nullvektor gesagt. Sie meinte irgendwas mit Orthogonalem Komplement.
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\subsection*{Jetzt kann man mit dem Skalarprodukt ja auch ein OGS erzeugen. Was
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ist ein OGS?}
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In einem OGS sind alle Vektoren orthogonal und lin. unabhängig zueinander und der Nullvektor ist
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nicht Teil eines OGS, weil der zu jedem Vektor orthogonal und linear Abhängig
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ist. (Hatte ich wohl falsch im Kopf).
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\subsection*{Der Nullvektor ist Teil eines OGS, weil er orthogonal zu den andern Vektoren
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ist. Zeigen Sie, dass in einem OGS alle Vektoren lin. unabhängig voneinander
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sind. }
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Lin. Unabhängig sind Vektoren, wenn der Nullvektor nur mit einer
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Linearkombination erstellt werden kann, bei der alle Koeffizienten Null sind.
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$$
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0 = \sum_{i=0}^n a_i v_i
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$$
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$$
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a_i \neq 0 \quad \forall i \in {0,...,n}
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$$
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Das können wir jetzt für das OGS nutzen (Beweis steht im Skript)
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\begin{align*}
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&v_1, ..., v_n \in OGS \\
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0 &= \ev{0, v_j} = \ev{ \sum_{i=0}^n a_i v_i, v_j } \\
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&= \sum_{i=0}^n a_i \ev{v_i, v_j} && \text{$\ev{vi,vj}$ ist 0 für $i \neq j$} \\
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&= a_j \ev{v_j, v_j} && \text{$\ev{v_j,v_j} > 0$ wegen pos} \\
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\Rightarrow a_j &= 0
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|
\end{align*}
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(Einziger Fehler: die Summe geht von $i = 1$ bis n)
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\subsection*{Was ist eine Norm?}
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Die Distanz zum Ursprung. Also eine Abbildung $V \rightarrow \mathbb{R}$
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\subsection*{Kann die Norm nur nach $\mathbb{R}$ abbilden oder auch nach $\mathbb{C}$?}
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Nur nach $\mathbb{R}$.
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\subsection*{Welche Werte kann die Norm annehmen?}
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Positive Werte (Distanzen können nicht negativ sein).
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\subsection*{Kann die Norm auch 0 sein?}
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Ja
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\subsection*{Dann kommen wir jetzt zu einer Gleichung, welche die Norm braucht. Schreiben Sie
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die Dreieckungleichung auf.}
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(Mist, die hatte ich nicht gelernt)
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$$
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||x+y||^2 \leq ||x||^2 + ||y||^2
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$$
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\subsection*{Das sieht mir eher nach dem Pythagoras aus. Sie sind aber nah dran. }
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$$
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||x+y|| \leq ||x|| + ||y||
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$$
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Ich habe hier mit dem Dreieck argumentiert, dass die Hypotenuse maximal zu groß
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sein kann wie die beiden Katheten.
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\subsection*{Wann gilt bei der Dreiecksungleichung Gleichheit?}
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Gleichheit gilt, wenn die Katheten auf der Hypotenuse liegen.
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\subsection*{Jetzt leiten sie die Dreiecksungleichung her.}
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(Uff, Mist. ICH HABE DAS NICHT GELERNT. )
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Naja, die Norm ist über das Skalarprodukt definiert:
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$$
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||x|| = \sqrt{\ev{x,x}}
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$$
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Dann können wir die Definition der Norm einfach mal in die Dreiecksungleichung
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einsetzen:
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\begin{align*}
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||x+y|| &= \sqrt{\ev{x+y,x+y}} \\
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&= \sqrt{\ev{x,x}\ev{y,y}} && \text{(Link: das ist Falsch)}
|
||
|
|
\end{align*}
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|
Dann schreibe ich das mal in Einzelschritten auf. Durch die Biliniearform gilt:
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||
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$$
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|
\ev{x,y+z} = \ev{x,y} + \ev{x,z}
|
||
|
|
$$
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||
|
|
$$
|
||
|
|
\ev{x+y,z} = \ev{x,z} + \ev{y,z}
|
||
|
|
$$
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||
|
|
|
||
|
|
Also
|
||
|
|
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||
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\begin{align*}
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||
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|
\sqrt{\ev{x+y, x+y}} &= \sqrt{\ev{x+y, x} + \ev{x+y, y}} \\
|
||
|
|
&= \sqrt{\ev{x,x} + \ev{y,x} + \ev{x,y} + \ev{y,y}} \\
|
||
|
|
&= \sqrt{\ev{x,x} + 2\ev{x,y} + \ev{y,y}}
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
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Hier wusste ich nicht mehr weiter. Sie hat dann den Tipp
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gegeben, dass es ja eine weitere Gleichung gibt, welche Normen
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und Skalarprodukte verbindet.
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Ich musste nicht genau welche Sie meint, also habe ich
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aufgelistet was mir einfällt:
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|
\begin{itemize}
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\item Cauchy-Schwarze Ungleichung
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|
\item Parallelogrammgleichung
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|
|
\item Kosinussatz
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\end{itemize}
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\subsection*{Welche von denen könnte ihnen hier helfen?}
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|
Cauchy-Schwarze Ungleichung (war geraten)
|
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$$
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\ev{x,y}^2 \leq \ev{x,x}\ev{y,y}
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$$
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Ich wollte erst die Summe $\ev{x,x} + \ev{y,y}$ durch $\ev{x,y}^2$ ersetzen,
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habe dann aber gemerkt, dass CSU ja ein Produkt ist. Also musste ich $2\ev{x,y}$ ersetzen
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\sqrt{\ev{x,x} + 2\ev{x,y} + \ev{y,y}} \leq \sqrt{\ev{x,x} + 2
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\sqrt{\ev{x,x}\ev{y,y}} + \ev{y,y}}
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Hier kam ich dann wieder nicht weiter. Sie meinte ich könnte mal
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die andere Seite der Dreiecksungleichung anschauen.
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||x|| + ||y|| = \sqrt{\ev{x,x}} + \sqrt{\ev{y,y}}
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Das half mir aber auch nicht weiter. Sie hat es dann aufgelöst:
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\sqrt{\ev{x,x} + 2\sqrt{\ev{x,x}\ev{y,y}} + \ev{y,y}} = \sqrt{\ev{x,x}} +
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\sqrt{\ev{y,y}}
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$$
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(Macht Sinn, dass es das Selbe ist. Das sollte ich ja zeigen. Ich
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wäre aber nicht auf die Umformung gekommen).
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\section{Isometrien}
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Aus Zeitgründen übersprungen.
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\end{multicols}
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\vspace{-.2cm}
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\rule{\textwidth}{.1pt}
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\vspace{-.7cm}
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\section{Selbstadjungierte Abbildungen}
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\vspace{-.2cm}
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\begin{multicols}{2}
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\subsection*{Was ist eine Selbstadjungierte Abbildung?}
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Eine Abbildung die folgende Gleichung erfüllt:
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\ev{f(v), w} = \ev{v, f(w)}
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$$
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\vspace{-.5cm}
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\subsection*{Wann sind Abbildungen selbstadjungiert?}
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Eine Abbildung $f \in End(V)$ ist selbstadjungiert genau dann, wenn alle
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Eigenwerte der Abbildung reell sind und die Eigenvektoren der Abbildung eine ONB
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von V ergeben. (Spektralsatz über selbstadjungierte Endomorphismen)
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\subsection*{Aus welchen VR kommen die Skalarprodukte und was sind v und w?}
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Ich hatte erst folgendes Aufgeschrieben:
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\ev{f(v), w}_w = \ev{v, f(w)}_v \quad v \in V, w \in W
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$$
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Habe aber selber gemerkt, dass ich das mit der Definition von Isometrien
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vertauscht hatte und habe es dann korrigiert zu
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$$
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\ev{f(v), w}_v = \ev{v, f(w)}_v \quad v,w \in V
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$$
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\end{multicols}
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\vspace{-.2cm}
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\rule{\textwidth}{.1pt}
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\begin{multicols}{2}
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\section{Jordan-Normalform}
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\subsection*{Wir haben eine Abbildung und wir wissen die Abbildung hat einen Eigenwert und
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wir wissen die Dimension des Eigenraums. Was können wir über die JNF aussagen?}
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Wenn wir nur einen Eigenwert haben, besteht die JNF nur aus einem Jordanblock.
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Die Dimension des Eigenraums ist die geometrische Vielfachheit und gibt an wie
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viele Jordankästchen in dem Jordanblock sind.
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\subsection*{Das war's. FIN. }
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\columnbreak
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\section{Ausgelassene Themen}
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\begin{itemize}
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\item Diagonalisierbarkeit
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\item Gram-Schmidt-Orthogonalisierung
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\item Isometrien
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\item Euklidische Normalform
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\end{itemize}
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\subsection*{Viel Erfolg! Möge das [kœri] mit dir sein! }
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\end{multicols}
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\end{document}
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